非平穩(wěn)工況下遲延狀態(tài)空間模型的建模分析

張 勇， 陳瑞陽(yáng)， 顧 亞， 楊 溢

(1.內(nèi)蒙古科技大學(xué)信息工程學(xué)院，內(nèi)蒙古 包頭 014010; 2.常熟理工學(xué)院電氣與自動(dòng)化工程學(xué)院，江蘇 蘇州 215100)

0 引 言

建模是控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)與研究中很重要的一個(gè)環(huán)節(jié)[1-2]。一般來(lái)說(shuō)，在根據(jù)復(fù)雜工業(yè)現(xiàn)場(chǎng)的實(shí)際操作變量與可測(cè)量數(shù)據(jù)建立數(shù)學(xué)模型的方法分為兩類(lèi)：基于模型參數(shù)估計(jì)的系統(tǒng)辨識(shí)和無(wú)模型的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)。系統(tǒng)辨識(shí)是一種灰箱建模方法，需要在機(jī)理分析的基礎(chǔ)上給出系統(tǒng)模型的結(jié)構(gòu)和階次，進(jìn)而借著過(guò)程數(shù)據(jù)辨識(shí)相應(yīng)的模型參數(shù)。BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)建模方法則不然，這種方法不需要了解系統(tǒng)太多的先驗(yàn)知識(shí)，只需要獲知系統(tǒng)的輸入輸出數(shù)據(jù)就可以對(duì)復(fù)雜系統(tǒng)進(jìn)行模型構(gòu)建。

對(duì)于復(fù)雜時(shí)滯控制系統(tǒng)的辨識(shí)問(wèn)題，Ding和Chen[3]提出了一種基于輔助模型的雙速率采樣數(shù)據(jù)系統(tǒng)遞推最小二乘算法；Chen等[4]提出了基于輔助模型的多新息多變量非線(xiàn)性系統(tǒng)的算法；Han等[5]討論了基于最小二乘法的多速率多輸入系統(tǒng)的輔助模型辨識(shí)方法；顧亞[6]針對(duì)單步遲延狀態(tài)空間模型提出了一種處理未知中間變量的輔助模型遞推最小二辨識(shí)算法。

近年來(lái)，學(xué)者們對(duì)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的研究主要有以下幾個(gè)方面：通過(guò)對(duì)附加動(dòng)量因子和自適應(yīng)學(xué)習(xí)率的改進(jìn)來(lái)改善神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)；Elman神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)合粒子群優(yōu)化算法分析神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)穩(wěn)定性；隨機(jī)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的指數(shù)穩(wěn)定性的問(wèn)題。

上述研究成果都是假設(shè)系統(tǒng)輸入是平穩(wěn)的，然而在實(shí)際的工業(yè)過(guò)程監(jiān)控與優(yōu)化中，工況變化時(shí)有發(fā)生，并體現(xiàn)在實(shí)際現(xiàn)場(chǎng)基于數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)方法的預(yù)測(cè)結(jié)果不能如實(shí)地跟隨系統(tǒng)工況的變化。高爐冶煉過(guò)程中，入爐礦石配比結(jié)構(gòu)發(fā)生變化時(shí)，整個(gè)現(xiàn)場(chǎng)的操作環(huán)境和操作變量都會(huì)隨之變化[7-8]，而此時(shí)的數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)模型給出的爐溫和高爐鐵水質(zhì)量等預(yù)測(cè)結(jié)果往往誤差很大[9]，煤化工氣化爐入爐水煤漿的成分發(fā)生變化，相關(guān)操作參數(shù)也跟隨變化，而此時(shí)預(yù)測(cè)的產(chǎn)氣量也往往會(huì)有誤差。

時(shí)滯是高爐冶煉、煤化工以及其他復(fù)雜工業(yè)過(guò)程的主要特征之一。在高爐冶煉和煤化工的連續(xù)實(shí)際工業(yè)生產(chǎn)過(guò)程中，每一位工程技術(shù)人員對(duì)于參數(shù)變量的操作不可能完全相同且無(wú)差錯(cuò)，這就給工業(yè)控制系統(tǒng)的建模分析增加了難度。因此，本文給出了時(shí)序數(shù)列的平穩(wěn)性數(shù)學(xué)描述來(lái)模擬實(shí)際現(xiàn)場(chǎng)操作參數(shù)的這一變化。由于復(fù)雜工業(yè)過(guò)程變工況數(shù)據(jù)缺少真實(shí)標(biāo)準(zhǔn)，同時(shí)又難以獲取，本文以單步遲延狀態(tài)空間模型為復(fù)雜工業(yè)過(guò)程模擬對(duì)象，研究非平穩(wěn)假設(shè)和變工況條件下，參數(shù)估計(jì)方法與神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)方法的各自適應(yīng)性。

1 問(wèn)題描述

一類(lèi)遲延系統(tǒng)可表述為：

式中：u(t)∈R1和y(t)∈R1——遲延系統(tǒng)的輸入和輸出；

x(t)∈Rn——遲延系統(tǒng)的狀態(tài)變量；

v(t)∈R1——白噪聲；

A∈ Rn×n，B∈ Rn×n，f∈ Rn×1和c∈ R1×n——遲延系統(tǒng)參數(shù)。

在輸入輸出采集數(shù)據(jù)集 {u(t),y(t)}的基礎(chǔ)上估計(jì)遲延系統(tǒng)中未知參數(shù)的辨識(shí)方法，以及以遲延系統(tǒng)輸入輸出數(shù)據(jù)為訓(xùn)練樣本，運(yùn)用BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)方法逼近系統(tǒng)輸出的建模方法均可以構(gòu)建系統(tǒng)過(guò)程模型。系統(tǒng)辨識(shí)和神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)建模方法均已在工業(yè)過(guò)程建模領(lǐng)域得到了廣泛的應(yīng)用。如圖1所示，針對(duì)工業(yè)現(xiàn)場(chǎng)中工況變化時(shí)有發(fā)生的問(wèn)題，本文以遲延系統(tǒng)為研究對(duì)象，在系統(tǒng)輸入 {u(t)}平穩(wěn)狀態(tài)和非平穩(wěn)狀態(tài)下分別研究和分析這兩類(lèi)方法的優(yōu)劣。

圖1 基于數(shù)據(jù)的復(fù)雜系統(tǒng)建模結(jié)構(gòu)圖

1.1 平穩(wěn)工況的數(shù)學(xué)描述

平穩(wěn)工況在數(shù)學(xué)上表示為特定時(shí)間序列的平穩(wěn)性。在實(shí)際工業(yè)生產(chǎn)中，時(shí)間序列數(shù)據(jù)很難滿(mǎn)足嚴(yán)格意義上的均值、方差以及方差函數(shù)為恒定值的平穩(wěn)性要求，張勇等[10]研究了適合一般工程意義的寬平穩(wěn)特征下的無(wú)偏參數(shù)估計(jì)。以本文所研究的遲延系統(tǒng)為例，適用于工程領(lǐng)域的寬平穩(wěn)時(shí)間序列近似平穩(wěn)的條件是時(shí)間序列的二階平穩(wěn)。

對(duì)于描述復(fù)雜工業(yè)過(guò)程的遲延系統(tǒng)(1)，常規(guī)狀態(tài)下會(huì)一直運(yùn)行在平穩(wěn)工況下，其輸入采樣序列滿(mǎn)足如下3個(gè)條件則認(rèn)為該系統(tǒng)運(yùn)行在平穩(wěn)工況下，若則：

1){u(t)}是一個(gè)有限方差過(guò)程，即當(dāng)t→T，任取

2){u(t)}的均值函數(shù)E(ut)= μu(t)= μu是一個(gè)常數(shù)且當(dāng)t→T時(shí)，該均值不隨時(shí)間t的變化而變化。這是一個(gè)嚴(yán)格的平穩(wěn)過(guò)程。而在實(shí)際的生產(chǎn)生活中，μu的 值允許有小范圍的波動(dòng)，即任取m≤T，有

3) {u(t)}的自相關(guān)函數(shù) co v(s,t)=γ(s,t)，只取決于|t-s|，令t=s+τ，其中 τ代表時(shí)滯或滯后；在實(shí)際的工業(yè)現(xiàn)場(chǎng)，一組時(shí)間序列的自相關(guān)函數(shù)值一般近似相等：

當(dāng)遲延系統(tǒng)的輸入滿(mǎn)足平穩(wěn)工況條件時(shí)，系統(tǒng)輸入輸出均滿(mǎn)足平穩(wěn)工況的條件，這時(shí)可以應(yīng)用傳統(tǒng)的辨識(shí)方法對(duì)遲延系統(tǒng)的參數(shù)進(jìn)行辨識(shí)從而獲取其辨識(shí)模型。

式(3)可以寫(xiě)成如下形式：

用e(t)替代式(4)中的 α (z)v(t)可得：

其中z-1為單位移位算子定義如下多項(xiàng)式：

定義參數(shù)向量 θ和信息向量 φ (t)：

所以式(5)可以寫(xiě)成：

將上式展開(kāi)并作移項(xiàng)處理可以寫(xiě)成向量的形式：

所以可以得到遲延系統(tǒng)的辨識(shí)表達(dá)式：

由式(12)系統(tǒng)辨識(shí)表達(dá)式定義并極小化準(zhǔn)則函數(shù)：

其中為t時(shí)刻的LS估計(jì)，ARX模型LS估計(jì)的已被證明的收斂條件為模型中的噪聲項(xiàng)為白噪聲時(shí)間序列，若不滿(mǎn)足該條件，則最小二乘參數(shù)估計(jì)是有偏的。很明顯，式(14)中的噪聲項(xiàng)e(t)不滿(mǎn)足該收斂條件。

由上文可知，由于噪聲項(xiàng)e(t)中含有多項(xiàng)式 α (z)，因此要獲得該單步遲延狀態(tài)空間模型的最小二乘估計(jì)表達(dá)式需要定義一個(gè)新的噪聲向量 φv(t)和參數(shù)向量：

根據(jù)辨識(shí)模型對(duì)該遲延系統(tǒng)進(jìn)行參數(shù)估計(jì)，參數(shù)向量 θ為需要辨識(shí)的目標(biāo)，由遲延系統(tǒng)的辨識(shí)模型表達(dá)式可知，噪聲項(xiàng)不滿(mǎn)足收斂條件中噪聲項(xiàng)為白噪聲序列的要求。由最小二乘表達(dá)式(18)可知，該遲延系統(tǒng)的遞推最小二乘參數(shù)估計(jì)是有偏的，所以很難獲得系統(tǒng)精度很高的辨識(shí)模型。

1.2 非平穩(wěn)工況的數(shù)學(xué)描述

在實(shí)際工業(yè)過(guò)程中，操作條件和操作環(huán)境的變換時(shí)有發(fā)生，系統(tǒng)工況隨之發(fā)生變化。這種變化在數(shù)學(xué)上表述為系統(tǒng)的輸入 {u(t)}隨著時(shí)間的推移而發(fā)生跳變，因而就會(huì)產(chǎn)生不滿(mǎn)足平穩(wěn)工況要求的現(xiàn)象。

當(dāng)系統(tǒng)的輸入數(shù)據(jù)發(fā)生變化，輸入數(shù)據(jù)時(shí)間序列的統(tǒng)計(jì)特性將隨之發(fā)生變化，將不再滿(mǎn)足平穩(wěn)時(shí)間序列的要求。輸入數(shù)據(jù)時(shí)間序列的統(tǒng)計(jì)特性（均值、方差、協(xié)方差）中的一個(gè)或者多個(gè)會(huì)隨著時(shí)間的變化而變化。假設(shè) ，若H>T非平穩(wěn)時(shí)間序列的統(tǒng)計(jì)特性有如下特征：

1)對(duì) 于 {u(h)}的方 差 函數(shù) ，任取m≤H，有

2) {u(h)}的均值函數(shù)E(uh)= μu(h)= μu， μu是一個(gè)常數(shù)，且當(dāng)h→H時(shí) μu隨著時(shí)間h的變化而變化，任取

3) {u(h)}的自相關(guān)函數(shù)cov(s,h)≠ γ(s,h)。

當(dāng)一組時(shí)間序列滿(mǎn)足以上一個(gè)或者多個(gè)統(tǒng)計(jì)特征時(shí)，該時(shí)間序列是非平穩(wěn)的，其可以表征實(shí)際工業(yè)現(xiàn)場(chǎng)的工況變化現(xiàn)象。

在文獻(xiàn)[10]中，張勇給出了輸出誤差系統(tǒng)最小二乘估計(jì)協(xié)方差矩陣在平穩(wěn)信號(hào)和非平穩(wěn)信號(hào)下應(yīng)該滿(mǎn)足的要求，仿真結(jié)果證明了平穩(wěn)信號(hào)下最小二乘參數(shù)估計(jì)的精度高于非平穩(wěn)信號(hào)下的參數(shù)估計(jì)，該論文研究了非平穩(wěn)信號(hào)寬平穩(wěn)情況下的參數(shù)估計(jì)問(wèn)題。本文的輸入數(shù)據(jù)信號(hào)集會(huì)發(fā)生比較大的跳變，比文獻(xiàn)[10]所要研究的問(wèn)題更為復(fù)雜，且更具有現(xiàn)實(shí)的工程意義。

對(duì)于常規(guī)的參數(shù)辨識(shí)來(lái)說(shuō)，通常都是研究在某一種特定工況下參數(shù)辨識(shí)的精度問(wèn)題或者是改變系統(tǒng)噪聲方差以獲得不同隨機(jī)噪聲來(lái)對(duì)特定方法的辨識(shí)精度作對(duì)比分析；神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)建模一般也是基于某種特定工況下相關(guān)數(shù)據(jù)的建模分析。

本文利用遲延系統(tǒng)平穩(wěn)工況和非平穩(wěn)工況下的辨識(shí)模型輸出與神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型輸出作對(duì)比。研究最小二乘方法、輔助模型最小二乘方法和神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)建模方法在變工況條件對(duì)于單步遲延狀態(tài)空間模型建模的優(yōu)劣。

2 輔助模型最小二乘辨識(shí)算法

式(1)的輔助模型最小二乘參數(shù)估計(jì)，首先定義一個(gè)中間變量：

定義參數(shù)向量φ(t)：

綜合式(6)～式(8)和式(20)可得：

所以，可得遲延系統(tǒng)的辨識(shí)模型：

給出如下準(zhǔn)則函數(shù)并極小化：

所以有

輔助模型算法原理結(jié)構(gòu)圖如圖2所示。

圖2 輔助模型算法原理結(jié)構(gòu)圖

因此式(1)參數(shù)向量θ的輔助模型遞推最小二乘辨識(shí)算法如下：

通過(guò)移位算子的性質(zhì)，將具有時(shí)滯的狀態(tài)空間模型轉(zhuǎn)換為輸入輸出表示，然后基于輔助模型識(shí)別技術(shù)識(shí)別輸入輸出表示的參數(shù)。該方法具有處理信息向量中未測(cè)量變量的優(yōu)點(diǎn)。

3 BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法

BP（back propagation）神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法是構(gòu)建復(fù)雜系統(tǒng)的一類(lèi)典型方法[11-13]，它可以有效解決連續(xù)有界非線(xiàn)性函數(shù)的逼近問(wèn)題，尤其是經(jīng)典的三層BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)對(duì)于任意精度的非線(xiàn)性函數(shù)逼近效果顯著。

應(yīng)用BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法逼近單步遲延狀態(tài)空間模型，網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)為多輸入單輸出結(jié)構(gòu)。在允許誤差范圍內(nèi)通過(guò)對(duì)隱含層節(jié)點(diǎn)數(shù)和學(xué)習(xí)訓(xùn)練函數(shù)等參數(shù)的合理設(shè)置可以得到合適的網(wǎng)絡(luò)模型。由于輸入輸出變量間的強(qiáng)關(guān)聯(lián)性，為了更好地反映遲延系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性并將輸入輸出變量時(shí)序數(shù)據(jù)的時(shí)滯關(guān)系考慮在神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型中，將單步遲延狀態(tài)空間模型式(1)的BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)逼近模型表示為：

對(duì)于單隱層的BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)，假設(shè)該系統(tǒng)模型有M組樣本數(shù)據(jù)(ui,yi)：

隱含層的節(jié)點(diǎn)數(shù)為P，激活函數(shù)為f(x)的單隱層神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)表達(dá)式為：

神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)期望輸出Y與神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)輸出O的誤差表達(dá)式為：

BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)權(quán)值的迭代修正公式設(shè)計(jì)方法即神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的訓(xùn)練調(diào)優(yōu)方法選擇負(fù)梯度下降方法。隱含層節(jié)點(diǎn)數(shù)的選取以神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型獲得的命中率最高為最優(yōu)。隱含層節(jié)點(diǎn)數(shù)選取的經(jīng)驗(yàn)公式如下：

式中：N——隱含層節(jié)點(diǎn)數(shù)；

n——輸入層節(jié)點(diǎn)數(shù)；

m——輸出層節(jié)點(diǎn)數(shù)。

其中，a一 般選取 [0 ,10]內(nèi)的整數(shù)。

較高的命中率和最小的平均相對(duì)誤差是隱含層節(jié)點(diǎn)數(shù)選取的前提。依據(jù)公式(35)確定隱含層節(jié)點(diǎn)數(shù)的理想范圍是 [2 .2,12.2]。

設(shè)定迭代誤差即迭代終止條件：ΔJ(e)=J(e)t+1-所以可以將隱含層的節(jié)點(diǎn)數(shù)范圍擴(kuò)大到 [2 ,13]。經(jīng)過(guò)不斷調(diào)試，最終隱含層節(jié)點(diǎn)數(shù)確定為13。BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)圖如圖3所示。

圖3 BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)圖

4 仿真實(shí)例

例1：神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)逼近拋物函數(shù)

設(shè)拋物線(xiàn)系統(tǒng)：

拋物線(xiàn)系統(tǒng)遞推最小二乘方法辨識(shí)模型參數(shù)θ1=[0.88,1.85,2.80]T，輔助模型最小二乘方法辨識(shí)模型參數(shù)θ2=[0.95,1.98,2.96]T。拋物線(xiàn)系統(tǒng)辨識(shí)模型輸出曲線(xiàn)如圖4所示。

圖4 模型輸出y 隨時(shí)間t變化曲線(xiàn)（例1）

以0.1為步長(zhǎng)，將拋物線(xiàn)系統(tǒng)在集合[ 0 ,7]和[-2,9]之間的輸入輸出數(shù)據(jù)集分別作為BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練集和測(cè)試集，拋物線(xiàn)系統(tǒng)BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)建模輸出曲線(xiàn)如圖4所示。

取數(shù)據(jù)長(zhǎng)度t=23，3種方法模型輸出誤差如圖5所示。

圖5 模型輸出誤差隨時(shí)間t變化曲線(xiàn)（例1）

由仿真曲線(xiàn)可以得出：當(dāng)測(cè)試數(shù)據(jù)超出訓(xùn)練數(shù)據(jù)的界限范圍，拋物線(xiàn)系統(tǒng)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型的輸出結(jié)果跟隨性很差，對(duì)輸入變化的適應(yīng)性很差，輸出會(huì)發(fā)生震蕩。根據(jù)誤差曲線(xiàn)的變化，可以得出拋物線(xiàn)系統(tǒng)輔助模型最小二乘辨識(shí)模型比遞推最小二乘辨識(shí)模型和神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型的輸出誤差要小。

例2：?jiǎn)尾竭t延二階仿真系統(tǒng)：

對(duì)該二階仿真系統(tǒng)運(yùn)用輔助模型遞推最小二乘辨識(shí)算法估計(jì)系統(tǒng)的參數(shù)。當(dāng)噪聲方差 σ2=0.12，遺忘因子 F F=1.0時(shí)，系統(tǒng)的噪信比 δns=5.62%。

由仿真結(jié)果可得出該系統(tǒng)的輸入輸出函數(shù)為：

選取單步遲延狀態(tài)空間模型式(1)噪聲方差為0.1時(shí)的2 950組數(shù)據(jù)作為訓(xùn)練集，50組數(shù)據(jù)作為測(cè)試集。

1)兩次改變輸入數(shù)據(jù)的邊界條件來(lái)模擬工況的變化，并分別選取原模型50組數(shù)據(jù)作為測(cè)試集。

2)選取一組理想的最小二乘辨識(shí)參數(shù)作為模型參數(shù)，獲得相應(yīng)輸入數(shù)據(jù)下的最小二乘辨識(shí)模型輸出。

3)選取一組理想輔助模型最小二乘辨識(shí)參數(shù)作為模型參數(shù)，獲得相應(yīng)輸入數(shù)據(jù)下的輔助模型最小二乘辨識(shí)模型輸出，仿真曲線(xiàn)如圖6～圖7所示。

圖6 模型輸出y 隨時(shí)間t變化曲線(xiàn)（例2）

圖7 模型輸出誤差隨時(shí)間t變化曲線(xiàn)（例2）

由仿真曲線(xiàn)可以得出：就輸出誤差來(lái)看，運(yùn)用輔助模型最小二乘方法獲得的模型輸出誤差最小，誤差范圍為 [- 1，1]。當(dāng)工況發(fā)生變化時(shí)，運(yùn)用輔助模型最小二乘方法獲得的模型輸出誤差最平穩(wěn)，對(duì)系統(tǒng)工況變化的適應(yīng)性最好，而神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)建模方法獲得的模型輸出誤差越來(lái)越大，對(duì)系統(tǒng)工況變化的適應(yīng)性最差。

5 結(jié)束語(yǔ)

3 種經(jīng)典方法均可以對(duì)模型結(jié)構(gòu)和階次已知的系統(tǒng)來(lái)進(jìn)行建模分析。對(duì)于遲延系統(tǒng)的建模而言，在平穩(wěn)工況下，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)建模因其強(qiáng)大的非線(xiàn)性函數(shù)逼近能力可以獲得較好的模型輸出和較小的輸出誤差。當(dāng)工況發(fā)生變化時(shí)，遲延狀態(tài)空間系統(tǒng)輔助模型最小二乘辨識(shí)模型輸出誤差最小，對(duì)系統(tǒng)工況變化的適應(yīng)性最好，而神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)由于進(jìn)入再學(xué)習(xí)狀態(tài)，其模型的輸出誤差相對(duì)較大，對(duì)系統(tǒng)工況變化的適應(yīng)性相對(duì)較差。