豎直振動無黏液滴的法拉第不穩定性分析1)

劉德華 黎一鍇

(北京理工大學機械與車輛學院,北京 100081)

引言

當液滴置于沿豎直方向上下振動的壁面上,其表面會產生不穩定的Faraday 波.這種不穩定現象廣泛存在于噴涂加工[1]、噴墨打印[2-3]、超聲霧化[4-5]和聲場懸浮[6-8]等諸多工業應用中.因為其中涉及到各種有趣的物理現象,如液體表面的模態選擇[9-10]、時空混沌[11-12]和液體霧化[13],所以學者們從理論分析[14]、實驗[15]和數值模擬[16]等方面對Faraday 不穩定性進行了廣泛研究.

Faraday 不穩定現象最早由Faraday[17]在實驗中發現,他觀察到液體表面波的振動頻率是振動基板振動頻率的一半或者與其相等.這一規律首先被Benjamin 和Ursell[18]解釋,他們使用了線性無黏假設的Mathieu 方程來描述液體平面Faraday 波的振幅增長情況.但是Benjamin 和Ursell[18]的理論無法解釋黏性流體的實驗現象,直到Eisenmenger[19]將線性阻尼項添加到Mathieu 方程中,才解釋了黏性的影響.Kumar 等[20-21]將Floquet 理論應用到線性化的N-S 方程中,進一步地研究了Faraday 不穩定性中的黏性耗散問題,得到的振動加速度振幅的閾值與實驗結果一致.

除了平面液層外,液滴的Faraday 不穩定性也非常值得關注.Rayleigh[22]首先推導出了無黏液滴的自由振蕩頻率表達式,發現表面張力是液滴表面維持在平衡位置的恢復力.后來,Chandrasekhar[23]探究了自然振蕩中液滴的黏性效應,發現液滴邊界層內的黏性耗散效應是液滴表面振蕩衰減的原因.相比于液滴的自由振蕩,引入外力的液滴振動系統得到了更廣泛的關注.Terrones 和Corrara[24]對恒定徑向加速度作用下的球形液滴R-T 不穩定性進行了線性分析.Li 等[25]研究了在任意徑向加速度作用下的黏性液滴的R-T 不穩定性,推導出了耦合不同球模的遞推色散關系,從理論上確定了穩定液滴的臨界尺寸、最不穩定模式及其增長速率.Ebo-Adou 等[26-27]利用Floquet 分析,從理論和數值模擬兩方面研究了受時間周期徑向加速度的液滴Faraday 不穩定性,但是他們的研究主要聚焦于單流體問題上,忽略了環境流體的影響.吳清等[28]進一步考慮了環境流體可壓縮性的影響,發現環境流體的可壓縮性會促使液滴破碎.Li 等[29]則考慮了環境流體的密度的影響,發現增加液滴周圍環境流體的密度將縮小可能激發的球模范圍.姚慕偉等[30]則將Faraday 不穩定性的研究從黏性液滴拓展到黏彈性非牛頓液滴,發現零剪切黏度和應變馳豫時間的增加具有抑制液滴表面波增長的作用,提高了使液滴表面發生諧波不穩定的激勵幅值.

本文利用Floquet 方法,將前人對Faraday 不穩定性的研究從徑向加速度拓展到豎直加速度,推導得到了液滴表面波線性增長率與模態數以及流動參數之間的色散關系,并對液滴的中性穩定邊界在豎直激勵與徑向激勵情況進行對比分析,得到了仰角θ 對中性不穩定邊界的影響規律,豐富了液滴Faraday不穩定性的理論研究.

1 理論求解

1.1 物理模型和控制方程

本文建立的物理模型如圖1 所示.將坐標系固連在基板上,假設液滴整體受到一個隨時間周期變化的均勻慣性體積力的作用;另外,本文的物理模型不考慮動態接觸角的影響,這個假設在高頻振動(～ kHz)范圍內液滴表面波波長遠小于液滴尺寸時也是近似合理的.液滴的物理模型用到其他假設和條件如下:環境氣體密度遠小于液滴密度,忽略環境氣體的影響;液滴為不可壓的無黏流體;液滴為標準的半球形.

圖1 液滴受豎直振動示意圖Fig.1 Schematic diagram of a droplet subjected to vertical oscillation

ρ 為液滴密度,σ 為表面張力系數,R0為液滴初始半徑,r 和θ 分別為球坐標系中的徑向距離和仰角,θ ∈[0,π/2],er和eθ分別為徑向和仰角方向上的單位向量.液滴加速度A 在球坐標系下表示為

其中,A0為加速度振幅,Ω=2πf 為角頻率,f 為慣性力頻率,t 為時間.

液滴內不可壓縮無黏流體運動的控制方程為

其中u 是速度矢量,p 是壓力.

液滴球形表面的表達式為

其中,η(θ,φ,t) 為液滴表面的擾動位移,φ 為球坐標系中的方位角.

液滴表面的運動學邊界條件為

將方程(4)代入方程(5)中,得

其中,ur是速度矢量u 的徑向分量.

由液滴球形表面上法向和切向方向上的應力平衡條件,可得液滴表面的動力學邊界條件.液滴表面法向方向上的應力平衡方程為

其中Ra和Rb是曲率半徑,σ 是應力張量

其中,I 是單位向量.

液滴表面切向方向上的應力平衡方程為

其中,ej=eθ或eφ分別表示液滴表面對仰角方向和方位角方向的單位矢量.

1.2 控制方程和邊界條件的線性化

對初始靜止狀態的控制方程線性化,為了書寫方便,仍用u 表示擾動速度,并代入控制方程和邊界條件中;忽略動量方程中的非線性對流項.從而得到線性化的流體流動的控制方程為

對液滴表面的運動學邊界條件方程(6)進行線性化處理,得

對于法向方向的動力學邊界條件,將方程(8)代入方程(7)中,得

其中,曲率半徑滿足

從而使η 達到一階精度.將方程(14)代入方程(13)中,得到法相方向上線性化的動力學邊界條件

將液滴表面的擾動位移 η(θ,φ,t) 看作是由一系列球諧函數疊加而成,l 和m 分別為球諧函數中的級數和階數.則擾動位移可表示為

其中,ηn(l,m) 是n 階Fourier 系數,β+iγ 是Floquet指數,n 是Fourier 階數,而 ξn≡β+i(γ+nω) 的實部,即β,可視為增長率.

將方程(17)代入方程(16)中,得到擾動位移的表達式為

其中,因為當l=0 時,對應液滴整體膨脹或收縮,違反質量守恒定律,所以不予考慮;當l=1 時,對應液滴的移動,而非表面變形,所以也不予考慮.

從而,方程(18)與線性化的控制方程(10)和(11)和線性化的邊界條件(12)和(15)構成了一個關于ξn的本征值問題,通過求解這個本征值問題的非零解,可以得到線性增長率 ξn與模態數(l,m)及流動參數之間的色散關系.

1.3 線性化問題的求解

無黏液滴內部的速度勢函數 φ 滿足u=? φ,代入液滴內部的連續性方程(10)中得到

在球坐標系中,考慮到φ 的解在r=0 時不發散,則方程(19)的通解為

其中,Bn(l,m) 為待定系數.將方程(20)代入液滴表面運動學邊界條件(12)中,得到

對液滴的動量方程(11) 在徑向方向上積分,得到

其中,C 是時間函數的積分常數.

將方程(21)和(22)代入方程(20)中,得到液滴表面的壓強分布

1.4 色散關系

分別由分離變量法以及方程u=? φ、式(21)和式(22),可以得到

將液滴表面壓強分布方程(23)和方程(34)代入液滴表面法向方向上線性化的動力學邊界條件(15)中,得

方程(26)為無黏不可壓的半球形液滴作正弦運動所引起的Faraday 不穩定性的解析解,也表征了液滴表面波線性增長率 ξn與模態數 (l,m) 以及流動參數之間的色散關系,其中,m 的影響在cosθ 中體現.

2 結果與分析

2.1 無黏液滴的中性穩定邊界

將擾動位移的表達式(18)與方程(26)聯立,可以得到類似于Mathieu 方程的形式

方程(27)與標準Mathieu 方程相比多了與空間有關的cosθ 項,為了分析方程(27)的解的情況,需要將方程中與空間有關的cosθ 項、與時間有關的cos(ωt)項和擾動位移表達式(18)中的系數進行耦合.

根據勒讓德函數關系,有

結合上式,由傅里葉變換可得

本文的目的主要是比較液滴豎直振動與徑向振動的區別,徑向振動液滴的情況參考了文獻[26].在該文獻中的模型為軸對稱的液滴,即m=0,因此在本研究中,同樣取m=0.此時,系數 ηn(l,m) 退化為

對于不穩定問題,首先要考慮的是穩定和不穩定之間的邊界或臨界值.在以往關于徑向加速度作用下球形Faraday 不穩定性的研究中,這個邊界可以通過求解無窮維系數矩陣的本征值得到.在本研究中采用了類似的方法.

當 Re(ξn)=0 時,液滴表面保持中性穩定.為了確定中性穩定的邊界,根據 ξn=β+i(γ+nω),令 β=0,方程(30)可化為

將方程(32)按實部和虛部展開,并寫成矩陣的形式:M x=λx,其中,M 為特征矩陣,λ 為特征值,x 為由的實部和虛部所組成的列向量.

當 γ?=0 時,M 為 2n×(l-2) 階方陣,x 為2n×(l-2)維的列向量.因為n 不等于0,而當n=1 時,系數中會出現,所以需要利用方程(32)得到的表達式

通過求解不同q 值下矩陣M 的特征值,即可得到無黏液滴在 λ -q 坐標系下的中性穩定邊界.雖然M 為無窮維的實矩陣,但是隨著n 和l 的增加,低階的特征值將趨于收斂.因此,通常選取足夠大的N和L 來截斷M,從而求解M的特征值.實際情況下總是出現亞簡諧(n=0)和一階簡諧(n=1)不穩定性.出于重點關注液滴低階不穩定性的目的,本文選取N=5,L=10,此時,較小n 和l 已經收斂.

圖2 為 λ -q 坐標系下無黏液滴的簡諧不穩定圖.純直線表示豎直振動液滴的不穩定邊界,直線帶圓點標記的表示徑向振動液滴的不穩定邊界.中性不穩定邊界將 λ -q 坐標平面劃分成若干穩定區域和不穩定區域,并且中性穩定邊界與λ軸相交于其中l=2,3,4,··· .當(λ,q)位于不穩定區域,液滴表面模態將產生不穩定.

圖2 徑向振動和豎直振動的液滴簡諧不穩定邊界對比圖Fig.2 Comparison diagram of droplet harmonic instability boundary subjected to vertical and radial oscillation

由圖2 可知,即使當q 非常小,即實驗中的加速度振幅非常小時,仍然存在組合 (λ,q) 使液滴表面產生不穩定.另外,豎直振動的液滴表面波不穩定區域要明顯小于徑向振動的,且前者基本被后者包含,這就意味著在 q 一定的情況下,使液滴表面產生特定不穩定模態的λ 的取值范圍變窄.尤其是對于 l=2 的情況,豎直振動的液滴表面波不穩定區域的上下邊界線幾乎重合在一起,在實際的實驗中將很難出現這種不穩定模態.

另外,徑向振動液滴的各不穩定區域之間會出現重疊,當組合 (λ,q) 位于重疊區域時,表面波會出現不同模態間的競爭和轉捩.而豎直振動的液滴,在較小的q 值下,各不穩定區域之間不會出現重疊.

圖3 為 λ -q 坐標系下無黏液滴的亞簡諧不穩定圖.純直線表示豎直振動液滴的不穩定邊界,直線帶圓點標記的表示徑向振動液滴的不穩定邊界.不同于圖2 的是,豎直振動液滴的表面波不穩定區域的邊界重合在一起,這意味著液滴表面不會出現亞簡諧的不穩定波.

圖3 徑向振動和豎直振動的液滴亞簡諧不穩定邊界對比圖Fig.3 Comparison diagram of droplet subharmonic instability boundary subjected to vertical and radial oscillation

豎直振動的液滴與徑向振動相比,二者差別明顯,其差異表現為 簡諧情況時,液滴表面波的不穩定區域變小,液滴在受到外部激勵時將更難失穩;亞簡諧情況時,液滴表面波的中性穩定邊界重合在一起,液滴不穩定波將難以出現亞簡諧模態.

從振動形式來看,徑向振動液滴的不穩定表面波的振動情況可以看作是參數振動,而豎直振動液滴所出現的表面波振動頻率與外加振動頻率相同的情形近似為受迫振動時的情形.

對于附著在固壁上的半球液滴,需滿足無穿透條件,使得級數l 和階數m 滿足條件:l+m 為偶數[31].也就是m=0 或者其他偶數時,l 取偶數的解才有物理意義;m=奇數時,l 取奇數才有物理意義.但是對于本研究中的模型,壁面只是施加慣性力的媒介,因此,在m=0 時,l 取奇數的解依然具有一定意義.

2.2 對空間參數θ 的近似計算

豎直振動的液滴,其表面的加速度可以分解成沿徑向的分量和沿切向的分量,這就使得液滴表面的Faraday 波不僅隨時間周期變化,而且在空間上也是不均勻的.這種空間上的不均勻主要受仰角θ 的影響,為了更加直觀地體現空間上的不均勻性,本文對空間參數θ 在大模態數下進行了近似計算.

保留方程(25)中的空間相關項cosθ,由傅里葉變換得

省略 ηn(l,m) 中的 (l,m),將方程(34) 代入方程(25),并根據的線性無關性,最后得到

由圖4 和圖5 可以直觀地發現,仰角θ 對于中性穩定邊界的影響體現為 θ=0 處的Faraday 不穩定邊界圖與徑向振動液滴的相同;隨著仰角θ 的增大,不穩定區域的邊界逐漸收窄,不穩定區域減小,意味著各種不穩定模態更難出現;當 θ=90°時,豎直加速度沿徑向的分量為0,不滿足Faraday 不穩定出現的條件,因此其圖像表現為不穩定區域的上下邊界重合在一起.

圖4 --θ 空間坐標系下第一象限的Faraday 不穩定邊界圖Fig.4 Faraday instability boundary diagram of the first quadrant in --θ space coordinates

圖5 (a)-(g)分別為 θ=0°,15°,30°,45°,60°,75°,90° 時的中性穩定邊界圖Fig.5 (a)-(g) are neutral stability boundary diagrams when θ=0°,15°,30°,45°,60°,75°,90°,respectively

圖5 (a)-(g)分別為 θ=0°,15°,30°,45°,60°,75°,90° 時的中性穩定邊界圖(續)Fig.5 (a)-(g) are neutral stability boundary diagrams when θ=0°,15°,30°,45°,60°,75°,90°,respectively (continued)

豎直振動的液滴,其表面Faraday 波的空間不均勻性的直觀體現為隨著仰角θ 的增大,當地的液滴表面變得更穩定.而通過2.1 節的理論分析結果來看,空間不均勻性導致了表面波亞簡諧模態的消失,使得豎直振動的液滴表面波,只會出現簡諧模態.

3 結論

本文對受時間周期豎直加速度的無黏液滴的Faraday 不穩定進行了線性分析,得到的主要結論如下.

(1)利用Floquet 方法,得到了液滴表面波線性增長率與模態數以及流動參數之間的色散關系,基于Mathieu 方程的求解方法,得到了無黏液滴在Faraday不穩定性下的中性穩定邊界.

(2)豎直振動的液滴與徑向振動的液滴相比差別明顯:簡諧情況下總體的不穩定區域較小,說明液滴在受到外部激勵時將更難失穩;亞簡諧情況下的不穩定邊界重合在一起,液滴不會出現亞簡諧的不穩定波.這意味著使液滴表面產生特定不穩定模態的特征頻率的取值范圍更小,特定的不穩定模態更難激發.

(3)通過對空間參數cos θ 進行近似處理,得到了仰角θ 對中性不穩定邊界的影響規律,即液滴表面仰角越大的位置中性不穩定區域越小,在受到外部激勵后越容易保持穩定.

附錄