軌跡圓法與動量定理法解決帶電粒子在磁場中運動問題的對比

■河南省開封高級中學 毛煒翔

利用軌跡圓法分析帶電粒子在磁場中運動問題的一般步驟為:畫軌跡、定圓心、求半徑、結合題意或臨界條件列輔助方程求解相關問題。利用軌跡圓法分析求解時對幾何關系和數學運算能力的要求較高,解題過程相對復雜。若借助動量定理分析帶電粒子在磁場中的運動問題,則對粒子運動軌跡的描繪、圓心的確定和半徑的求解等的要求都不高,常常可以獲得事半功倍的效果,給人另辟蹊徑的感覺。

一、借助動量定理處理帶電粒子在磁場中運動問題的理論分析

如圖1所示,帶正電粒子在垂直于紙面向里的勻強磁場中運動,速度大小為v,所受洛倫茲力f=qvB。根據運動的分解可將速度v沿x軸、y軸分解為vx和vy,與兩個分速度相對應的兩個洛倫茲力分量分別為fx=qBvy(力的方向沿x軸,與vy垂直),fy=qBvx(力的方向沿y軸,與vx垂直),則沿x軸方向根據動量定理得-∑fx·Δt=mΔvx,即-∑qBvy·Δt=mΔvx,變形得-qBy=mΔvx,同理沿y軸方向有∑fy·Δt=mΔvy,即∑qBvx·Δt=mΔvy,變形得qBx=mΔvy。

圖1

觀察上述表達式可以發現,帶電粒子在磁場中運動的過程中,借助運動的分解和動量定理計算時,粒子在x軸方向上的動量變化與在y軸方向上的運動距離有關聯;粒子在y軸方向上的動量變化與在x軸方向上的運動距離有關聯。

二、利用軌跡圓法和動量定理法處理帶電粒子在磁場中運動問題的對比

例1如圖2所示,質量為m,帶電荷量為q的粒子從直線邊界上的A點射入磁感應強度為B的勻強磁場區域,速度大小為v,方向與邊界線間的夾角為θ,并從同一邊界線上的B點飛出,求A、B兩點之間的距離。

圖2

解法一:軌跡圓法。

根據帶電粒子在單直線邊界勻強磁場中運動的對稱性可知,粒子飛出磁場時的速度大小不變,速度方向與邊界線間的夾角仍為θ,運動軌跡如圖3所示。設帶電粒子在磁場中運動的軌跡半徑為r,根據洛倫茲力提供向心力得解得。 設A、B兩點之間的距離為dAB,根據幾何關系得dAB= 2rsinθ,解得dAB=。

圖3

解法二:動量定理法。

根據帶電粒子在單直線邊界勻強磁場中運動的對稱性可知,粒子飛出磁場時的速度大小不變,速度方向與邊界線間的夾角仍為θ,運動軌跡如圖4所示。設帶電粒子入射點A和出射點B之間的距離為dAB,則其大小與垂直于邊界線方向的動量變化有關,根據動量定理得,解得。

圖4

點評:比較兩種解法的解答過程可以發現,借助動量定理求解時,避開了復雜的作圖和數學運算,但需要注意的是位移方向與動量變化方向兩者之間的垂直關系。

例2如圖5所示,真空中寬為d的區域內分布著勻強磁場,磁場方向垂直于紙面向里,質量為m,帶電荷量為-q的粒子以與邊界CD成θ角的速度v0垂直射入磁場中。要使粒子必能從邊界EF上射出,則勻強磁場的磁感應強度應滿足什么條件?

圖5

解法一:軌跡圓法。

粒子從入射點A進入磁場后在洛倫茲力的作用下做勻速圓周運動,要使粒子必能從邊界EF上射出,則相應的臨界軌跡必為過點A并與邊界EF相切的圓弧,如圖6所示,作出粒子在A、P兩點時的速度的垂線相交于O點,則O點即為該臨界軌跡的圓心。設臨界軌跡圓的半徑為R0,根據幾何關系得,解得。因此粒子必能從邊界EF上射出的運動軌跡圓的半徑R≥R0,即解得。

發電機振動評價不僅在電動機行業也在風力發電行業作為評價一個電動機能不能可靠運行的重要指標[4]，目前國內外對發電機振動問題也做了很多研究，而在彈性支撐選擇對發電機振動影響方面研究的還是比較少的。本文以某款雙饋風力發電機為原型，對其在兩種剛度彈性支撐下進行模態仿真分析，對比彈性支撐剛度對發電機振動頻率的影響，進而尋找更有效的減少發電機振動的措施。

圖6

解法二:動量定理法。

粒子從入射點A進入磁場后在洛倫茲力的作用下做勻速圓周運動,要使粒子必能從邊界EF上射出,則相應的臨界軌跡必為過點A并與邊界EF相切的圓弧,粒子射出磁場時的速度方向沿邊界EF向下,設粒子在垂直邊界EF方向上的位移為d,其數值大小與平行于邊界EF的動量變化有關。以粒子的末速度方向為正方向,根據動量定理得,解得B0=。要使粒子必能從邊界EF上射出,則勻強磁場的磁感應強度B≤。

點評:利用動量定理求解此題時用到了運動的分解和動量定理公式,不需要畫軌跡、定圓心、求半徑,求解過程更加簡捷。

例3(2020年高考天津卷)如圖7所示,在xOy平面的第一象限內存在方向垂直于紙面向里,磁感應強度為B的勻強磁場。一帶電粒子從y軸上的M點射入磁場,速度方向與y軸正方向之間的夾角θ=45°。粒子經過磁場偏轉后在N點(圖中未畫出)垂直穿過x軸。已知OM=a,粒子的電荷量為q,質量為m,重力不計。則( )。

圖7

A.粒子帶負電荷

C.粒子在磁場中運動的軌跡半徑為a

解法一:軌跡圓法。

粒子向下偏轉,受到的洛倫茲力斜向下,根據左手定則可知,粒子帶負電荷,選項A 正確。粒子的運動軌跡如圖8所示,根據粒子的速度方向與y軸正方向之間的夾角θ=45°可知,∠OMO1=∠OO1M=45°,OM=OO1=a,則粒子在磁場中運動的軌跡半徑,根據洛倫茲力提供向心力得,解得,選項B、C錯誤。根據幾何關系得N點與O點之間的距離,選項D 正確。

圖8

解法二:動量定理法。

粒子向下偏轉,受到的洛倫茲力斜向下,根據左手定則可知,粒子帶負電荷,選項A 正確。根據題意可知,粒子運動的初、末狀態如圖9所示,粒子在磁場中運動的過程中,沿y軸方向的位移大小為a,其大小與粒子在x軸方向上的動量變化有關。因為粒子在N點垂直穿過x軸,所以粒子沿水平方向的分速度由減小為0,根據動量定理得-qBa=,解得,則粒子在磁場中運動的軌跡半徑,選項B、C錯誤。同理,設N點與O點相距為Δx,其大小與粒子在y軸方向上的動量變化有關。設沿y軸向上為正方向,根據動量定理得-qBΔx=(-mv)-mvcosθ,解得,選項D 正確。

圖9

答案:AD

點評:對比兩種解法可以看出,巧妙運用動量定理求解帶電粒子在磁場中運動相關問題時,更加關注的是粒子在初、末狀態時的動量變化,以及相對應的距離。

例4如圖10所示,真空中存在一寬度為d,磁感應強度為B的勻強磁場,磁場方向垂直于紙面向外,相互平行沿豎直方向的虛線M、N是磁場的左右邊界線。O是邊界線M上的一點,從O點平行于紙面向磁場區域發射速率為v的某種帶正電的粒子,粒子射入磁場時的速度方向與邊界線M成α=53°角,粒子從邊界線N上某點飛出磁場,速度方向與邊界線N成β=37°角(圖中未畫出),不計粒子自身重力,已知sin 37°=0.6,cos 37°=0.8。

圖10

(2)為了使得粒子不從邊界線N上射出,沿平行于紙面,水平向左的方向加上勻強電場,則該電場的場強需要滿足什么條件?

解析:(1)粒子穿越磁場的過程中,在水平方向上的位移為d,其大小與粒子在豎直方向上的動量變化有關。取豎直向下為正方向,根據動量定理得,解得。

(2)若粒子不能從邊界線N上射出,則臨界條件為粒子的運動軌跡與邊界線N相切。設粒子運動到邊界線N上時的速度大小變為v′,粒子在疊加場中運動時只有靜電力做功,根據動能定理得。因為粒子受到的靜電力方向水平向左,對沿豎直方向的動量變化無影響,而粒子在疊加場中運動的過程中,沿豎直方向的動量變化大小與其在水平方向上的位移d有關,所以可以在豎直方向上列動量定理方程,取豎直向下為正方向,則qBd=mv′-(-mvcosα),解得。

點評:施加電場以后,粒子的運動軌跡不再是圓周,無法使用畫軌跡、定圓心、求半徑的常規方法求解半徑,無法進而求解粒子運動到邊界線N上時的速度v′。借助動量定理,僅需考慮粒子沿豎直方向初、末狀態的動量變化及沿水平方向的位移,便可輕松求得速度v′,使得題目的求解達到“柳暗花明又一村”的境界。

綜上所述,借助動量定理解決帶電粒子在磁場中的運動問題,避開了利用軌跡圓法處理相關問題時的“畫軌跡、定圓心、求半徑”等步驟,更加關注的是粒子在初、末狀態時沿x軸和y軸的距離及與距離相對應的動量變化。當然,軌跡圓法是解決此類問題的常用方法,同學們應當牢牢掌握并能熟練運用。而利用動量定理處理帶電粒子在磁場中的運動問題,給同學們提供了一種全新的解決問題的方法和技巧,可以開拓思維,提高解題能力,提升學科素養。