磁懸浮列車相關問題賞析

■浙江省桐鄉第一中學 李 鑫

磁懸浮列車問題是相對獨立的一類題型,探其源頭,可以上溯到2006年全國中學生物理競賽復賽的第5題。磁懸浮列車問題包含了相對運動、受力分析、能量計算、電機補償等子問題,下面借助三道例題,將相關子問題進行有序排列,由易到難,幫助同學們有效練習。

例1電磁驅動是現代產業中的重要技術。如圖1所示是磁懸浮列車的電磁驅動模型:列車軌道沿x軸方向,軌道區域內固定一系列電阻r=0.5 Ω 的獨立線圈,每個線圈通以I0=10 A 的電流后將產生如圖所示的磁場,磁感應強度大小均為B=1 T,相鄰區域內的磁場方向相反。固定在列車底端的金屬框abcd可視為一矩形線圈,其電阻R=0.01 Ω,ab邊的長度為l,與磁場的寬度相同,bc邊的長度L=0.5 m,平行于y軸,金屬框ad、bc兩邊總處于方向相反的磁場中。驅動列車時,固定在軌道上的獨立線圈依次通電,等效于金屬框所在區域的磁場以速度v0=12 m/s勻速向x軸正方向移動,驅使列車前進,若列車所受阻力恒為f=200 N。(提示:當線圈與磁場存在相對速度v相時,動生電動勢E=BLv相)求:

圖1

(1)列車啟動時刻,金屬框中感應電流的方向和大小。

(2)列車所能達到的最大速率。

(3)當列車以恒定速率勻速行駛時,整個系統驅動列車的效率。

解析:(1)列車啟動時刻,根據楞次定律可知,金屬框中感應電流的方向為adcba,金屬框ad、bc兩邊切割磁感線產生的感應電動勢E=2BLv0,金屬框中的感應電流

解得I=1.2×103A。

(2)當列車達到最大速率時,有F安=f,其中F安=2BIL,又有vmax,解得vmax=10 m/s。

(3)當列車以恒定速率勻速行駛時,有P動力=F安vmax=fvmax,P熱=2I20r+I2R,η=,解得η=80%。

點評:求解(1)問時要注意金屬框的左右兩條邊都在切割磁感線,兩條邊產生的感應電動勢應該疊加。(2)問的第一個易錯點是忽略金屬框的左右兩條邊都將受到安培力的作用,即F安=2BIL;第二個易錯點是忽略計算感應電動勢時應代入磁場和金屬框的相對速度,而不是磁場的速度或金屬框的速度。(3)問是本題的亮點,要求考生充分思考列車在以恒定速率勻速行駛過程中的能量轉化問題,不僅要清楚使得金屬框運動起來的動力的功率,還要清楚回路中產生的熱功率,明晰產生磁場需要外界供給電流,產生熱損耗。

方法提純:確定電源,識別電路,注意相對運動與感應電動勢的關系;對切割磁感線的導體進行受力分析時,注意受到安培力的導體的數量;依據動力學關系寫出相應方程,注意達到穩定狀態時的情況;計算功率時注意區分作用在金屬框上安培力的功率、金屬框的熱功率、外界供給電流的熱功率。

例2如圖2甲所示,間距為L的足夠長平行光滑金屬導軌MN、PQ固定在同一水平面內,導軌左端接有阻值為R的定值電阻,質量為m,電阻為r的金屬桿ab垂直跨接在導軌上,整個裝置處于磁感應強度為B的勻強磁場中,磁場方向豎直向下。沿水平方向施加外力F(未知量)拉金屬桿ab,使之由靜止開始運動,電阻R兩端的電壓隨時間變化的關系如圖2 乙所示,t0時刻對應的電壓為U0。已知金屬桿ab在運動過程中受到的阻力為其對地速度的k倍,設金屬桿ab在運動過程中始終處于磁場區域內,導軌電阻忽略不計。(提示:可以用F-t圖像下方的“面積”代表力F的沖量)求:

圖2

(1)t0時刻,金屬桿ab的速度。

(2)0～t0時間內,外力F的沖量I。

(3)若磁場有界,開始時金屬桿ab靜止在磁場區域的右邊界處,如圖3所示?，F使磁場以速度v1勻速向右移動,則當金屬桿ab達到恒定速度時(此時金屬桿ab處于磁場中),外界供給導軌、金屬桿ab系統的功率多大?

圖3

解析:(1)t0時刻,電阻R兩端的電壓為U0,設金屬桿ab的速度為v0,則金屬桿ab切割磁感線產生的感應電動勢E=BLv0,根據歐姆定律得,解得。

(2)根據U-t圖像可知,電阻R兩端的電壓隨時間呈線性變化,則,即,解得,因此金屬桿ab做勻加速直線運動,加速度。根據牛頓第二定律得F-f-F安=ma,又有,解得F=ma+,因此0～t0時間內,外力F的沖量。

(3)當金屬桿ab受到的阻力等于安培力時,金屬桿ab以恒定速度v2做勻速運動,產生的感應電動勢E=BL(v1-v2),感應電流,金屬桿ab受到的安培力F安=BIL,根據平衡條件得解得。系統消耗的功率包括金屬桿ab的發熱功率和克服阻力的功率,即P=I2(R+r)+kv2·v2,解得P=。

點評:(1)(2)兩問屬于勻變速運動問題,根據U-t圖像可以斷定金屬桿ab做勻加速直線運動。因為金屬桿ab所受安培力和速度成正比,所以安培力和時間也成正比,為了保證金屬桿ab所受外力為恒力,施加在金屬桿ab上的拉力肯定和時間呈線性關系。(3)問屬于磁懸浮列車問題,著重考查功率問題,且本題中不涉及外界供給電流問題,因此本題中的函數表達式雖然比例1 中的復雜,但其物理過程比例1中的簡潔。

例3科研人員為超高建筑物設計出了一種磁動力電梯,其工作原理是利用移動的磁場來帶動電梯向上或向下運動,可簡化為如圖4所示的模型:PQ和MN是兩根平行豎直軌道,軌道間有垂直于軌道平面的等大反向的勻強磁場B1和B2,磁感應強度大小B1=B2=B,兩磁場可以向上運動。電梯轎廂固定在金屬框abcd內(轎廂未畫出)。已知電梯載人時的總質量為m,運動時所受阻力為f,金屬框ab、cd兩邊的長度為L,兩磁場的寬度均與金屬框bc邊的長度相同,金屬框的總電阻為R,重力加速度為g。

圖4

(1)假設兩磁場同時豎直向上以速度v0做勻速直線運動來啟動電梯,設經過時間t1電梯速度達到最大,求電梯向上運行的最大速度vmax和這一過程中電梯上升的距離x。

(2)假如電梯達到最大速度vmax后向上做勻速直線運動,求經過時間t2金屬框中產生的焦耳熱。

(3)假設兩磁場由靜止開始向上做勻加速直線運動來啟動電梯,當兩磁場運動的時間為t3時,電梯正以速度v1向上做勻加速直線運動,求兩磁場開始運動后到電梯開始運動所需要的時間t4。

解析:(1)電梯達到最大速度vmax時,電梯所受合外力為零,根據法拉第電磁感應定律可得,金屬框ab邊切割磁感線產生的感應電動勢E1=BL(v0-vmax),金屬框cd邊切割磁感線產生的感應電動勢E2=BL(v0-vmax),金屬框產生的總電動勢E=E1+E2=2BL(v0-vmax),金屬框中的感應電流,金屬框受到的安培力F安=,根據平衡條件得F安=mg+f,解得。根據動量定理得F安t1- (mg+f)t1=mvmax,即4B2L2x=4B2L2v0t1- (mg+,解得x=。

(2)電梯達到最大速度vmax后向上做勻速直線運動,根據法拉第電磁感應定律得,則經過時間t2金屬框中產生的焦耳熱。

(3)為實現電梯向上做勻加速直線運動,其加速度必須與磁場由靜止開始向上做勻加速直線運動的加速度相等,設該加速度為a,在t3時刻,金屬框產生的總感應電動勢E=2BL(at3-v1),金屬框中的感應電流,對電梯應用牛頓第二定律得,解得a=。在電梯開始運動的瞬間,金屬框產生的總感應電動勢E=2BLat4,金屬框中的感應電流,對電梯應用牛頓第二定律得0,解得。

點評:本題是磁懸浮列車問題的進一步變形,與前兩個例題相比有三點變化。第一,從水平方向上的運動換到了豎直方向上的運動,分析金屬框的受力情況時不要遺忘阻力和重力;第二,前兩個例題中的磁場都是勻速運動,而本題中的磁場可以做勻加速直線運動,同學們需要認識到不管磁場是做勻速運動還是做勻變速運動,磁懸浮列車問題關注的都是研究對象達到相對穩定狀態時的情況,在穩定狀態下,金屬框做的是勻變速運動,且金屬框的加速度與磁場的加速度相同;第三,本題融入了動量定理的應用,需要應用動量定理和累積思想去求解位移。