屬性權(quán)重未知情形下的q階orthopair猶豫模糊TOPSIS法

金 貴，周禮剛，吳 澎，劉欣悅

1.安徽大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，合肥 320601

2.安徽大學(xué) 商學(xué)院，合肥 230601

多屬性決策問題是現(xiàn)代決策科學(xué)中重要的一部分。在決策過程中，因?yàn)闆Q策問題的復(fù)雜性和決策環(huán)境的不確定性，決策者很難用確定的數(shù)值去表達(dá)相關(guān)的決策信息。為此，Zadeh[1]提出了模糊集。在多屬性決策問題中，模糊集可以用來表征決策者不確定的決策信息。但在一些情況下，很難僅用一個(gè)數(shù)值去定義隸屬度。為了克服模糊集這一不足，Torra[2]對(duì)模糊集進(jìn)行了拓展，并提出了猶豫模糊集。猶豫模糊集包含若干個(gè)在[0，1]內(nèi)的數(shù)值，用來表示隸屬度。但是，模糊集和猶豫模糊集只有隸屬度沒有非隸屬度。基于此，Atanassov[3]提出了直覺模糊集（IFS），其隸屬度μ和非隸屬度ν滿足μ+ν≤1。然而，Yager[4]認(rèn)為IFS表示的信息范圍是有限的，并提出了q階orthopair模糊集(q-ROFS），其中隸屬度μ和非隸屬度ν滿足μq+νq≤1。如果q=1，q-ROFS退化成IFS。隨著q值的增大，可以表示更大范圍的模糊信息。本文在充分結(jié)合猶豫模糊集和q-ROFS優(yōu)點(diǎn)的基礎(chǔ)上，提出了q階orthopair猶豫模糊集(q-ROHFS），并將其運(yùn)用于決策過程中，以彌補(bǔ)上述模糊集理論的缺陷。

自從猶豫模糊集和q-ROFS相繼提出，它們受到了越來越多的學(xué)者的關(guān)注[5-9]。例如，文獻(xiàn)[10]提出了基于灰色關(guān)聯(lián)度分析的猶豫模糊多屬性決策方法。文獻(xiàn)[11]提出了一種基于正交投影法的猶豫模糊多屬性決策方法，并應(yīng)用在軍事訓(xùn)練方面。文獻(xiàn)[12]提出了一種改進(jìn)的猶豫模糊加權(quán)平均算子，并基于猶豫模糊決策算法建立了云制造系統(tǒng)選擇模型；文獻(xiàn)[13]研究了直覺猶豫模糊集的加權(quán)距離測(cè)度，并基于該測(cè)度提出了TOPSIS決策方法。文獻(xiàn)[14]給出了基于直覺猶豫模糊集知識(shí)測(cè)度的多屬性決策方法，并將此方法應(yīng)用到某互聯(lián)公司的空調(diào)安裝公司選擇的案例中。文獻(xiàn)[15]基于線性比例法提出了一種廣義猶豫模糊決策矩陣的規(guī)范化方法,并發(fā)展了一種廣義猶豫模糊動(dòng)態(tài)TOPSIS評(píng)價(jià)模型；文獻(xiàn)[16]基于q-ROHFS的基本運(yùn)算，構(gòu)建了q階orthopair猶豫模糊多屬性群決策模型。文獻(xiàn)[17]提出了基于q-ROHFS的新的距離測(cè)度，并利用該測(cè)度提出了TOPSIS多屬性決策方法，并應(yīng)用在能源問題中。

屬性權(quán)重的確定是決策過程中一個(gè)重要問題，賦權(quán)方式是否科學(xué)直接影響評(píng)價(jià)的最終結(jié)果。基于上述文獻(xiàn)綜述可知，大量工作主要集中研究了屬性權(quán)重已知的q階orthopair猶豫模糊多屬性決策問題。同時(shí)，鮮有文獻(xiàn)考慮了決策信息之間的聯(lián)系。因此，避免主觀賦權(quán)的不足，有必要對(duì)這方面進(jìn)行研究。本文首先簡(jiǎn)要地回顧一些有關(guān)猶豫模糊集、q-ROFS和q-ROHFS的概念以及q-ROHFS的運(yùn)算法則。其次，基于q-ROHFS的概念，提出基于Theil不等系數(shù)的加權(quán)距離測(cè)度，并基于該距離測(cè)度，構(gòu)建以離差最大化為目標(biāo)的屬性權(quán)重確定模型。基于以上工作，提出一種新的TOPSIS多屬性決策方法。最后，將該多屬性決策方法應(yīng)用到能源方案挑選問題中，并對(duì)參數(shù)q進(jìn)行靈敏度分析以及將該方法與現(xiàn)存多屬性決策方法進(jìn)行比較分析。

1 預(yù)備知識(shí)

定義1[17]設(shè)X={x1,x2,…,xn}為論域，稱H={＜xi,h(xi)|xi∈X＞}為X上的猶豫模糊集，其中h(xi)表示X的元素xi屬于H的所有可能隸屬度組成的集合。

記h={h1,h2,…,hl}為猶豫模糊數(shù)，且滿足條件0≤hi≤1，hi≤hi+1。

定義2[17]設(shè)X={x1,x2,…,xn}為論域，稱Q={＜xi,(μQ(xi),νQ(xi))＞q|xi∈X}(q＞1)為X上的q階orthopair模糊集(q-ROFS），其中μQ:X→[0,1]，νQ:X→[0,1]是X上的模糊集，μQ(xi)、νQ(xi)表示xi屬于Q的隸屬度和非隸屬度，且有0≤μqQ(xi)+νqQ(xi)≤1。

2 新的q階orthopair猶豫模糊距離測(cè)度

設(shè)Qj={Qj(xi)|xi∈X}∈q-ROHFS，Qj(xi)=Qji=＜hQj(xi),gQj(xi)＞q∈q-ROHFS，i=1,2,…,n,j=1,2，由于在一般情況下，Q1和Q2中的q階orthopair猶豫模糊元素的長(zhǎng)度不等，即l(hQ1(xi))≠l(hQ2(xi)),l(gQ1(xi))≠l(gQ2(xi))為了能夠比較Q1和Q2，需要對(duì)它們進(jìn)行擴(kuò)充，使得它們的長(zhǎng)度相等。

定義6[18]設(shè)#M、#N分別為l(hQj(xi))、l(gQj(xi))的最小公倍數(shù)，則Qji可擴(kuò)充成：

其中，q≥1，k1=1,2,…,#M，k2=1,2,…,#N。

j=1,2,3，則基于Theil不等系數(shù)的q階orthopair猶豫模糊集的加權(quán)距離測(cè)度d(Q1,Q2)滿足以下性質(zhì)：

（1）0≤d(Q1,Q2)≤1；

（2）d(Q1,Q2)=d(Q2,Q1)；

證明

（3）根據(jù)定義7可得：

3 q階orthopair猶豫模糊TOPSIS法

在q階orthopair猶豫模糊決策矩陣A=(Aji)m×n=(＜hAj(ci),gAj(ci)＞q)m×n中，對(duì)于屬性ci而言，決策方案Aj與其他方案At之間的基于Theil不等系數(shù)的q階orthopair猶豫模糊集的加權(quán)距離測(cè)度用Dji(ω)表示，可定義為：

其中，i=1,2,…,n，j,t=1,2,…,m，k1=1,2,…,#M，k2=1,2,…,#N。

多屬性決策，一般是對(duì)這些方案綜合屬性值的排序進(jìn)行比較。因此，對(duì)方案屬性值偏差越大的屬性應(yīng)該賦予越大的權(quán)重。

在q階orthopair猶豫模糊信息環(huán)境下，屬性權(quán)重的選擇應(yīng)使所有屬性對(duì)所有決策方案的總離差最大。基于該思想和文獻(xiàn)[19]的啟發(fā)，為了求解屬性權(quán)重，構(gòu)建了如下最優(yōu)化模型：

其中：

針對(duì)q階orthopair猶豫模糊多屬性決策問題，提出基于新的距離測(cè)度的TOPSIS多屬性決策方法，具體步驟如下：

步驟1分別計(jì)算l(hAj(ci))、l(gAj(ci))的最小公倍數(shù)為#M、#N(i=1,2,…,n,j=1,2,…,m)，將原始q階orthopair猶豫模糊集矩陣A進(jìn)行規(guī)范化處理，規(guī)范化后的矩陣為A*，可表示為

步驟3通過求解模型式（5）可得屬性權(quán)重向量ω=(ω1,ω2,…,ωn)T。

步驟4根據(jù)公式（3），計(jì)算各方案Aj到A+、A-的基于Theil不等系數(shù)的q階orthopair猶豫模糊集的加權(quán)距離：

4 q階orthopair猶豫模糊TOPSIS法的應(yīng)用

當(dāng)今世界，能源發(fā)展問題已經(jīng)成為許多國(guó)家共同的話題。文獻(xiàn)[17]提出，為了全面、客觀地評(píng)判能源方案，應(yīng)從經(jīng)濟(jì)c1、科技c2、環(huán)境c3、社會(huì)政治c4等4個(gè)方面進(jìn)行綜合評(píng)價(jià)。假設(shè)現(xiàn)有5個(gè)能源方案Aˉ={A1,A2,A3,A4,A5}，專家組根據(jù)自身的知識(shí)、經(jīng)驗(yàn)以及已有的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)確定出每個(gè)能源方案Aj(j=1,2,3,4,5)關(guān)于屬性ci(i=1,2,3,4)的q階orthopair猶豫模糊評(píng)價(jià)信息Aji，得到的q階orthopair猶豫模糊決策矩陣A=(Aji)5×4，如表1所示[17]。

表1 q階orthopair猶豫模糊決策矩陣Table 1 q-rung hesitant fuzzy decision making matrix

步驟1分別計(jì)算l(hAj(ci)),l(gAj(ci))的最小公倍數(shù)為#M=12,#N=6(i=1,2,…,n)將原始q階orthopair猶豫模糊集矩陣A進(jìn)行規(guī)范化處理，規(guī)范后的矩陣為A*，則拓展后的決策矩陣為A*=(Aji*)5×4，其中：

步驟3求解模型（5）得到屬性權(quán)重向量：ωi=(ω1,ω2,ω3,ω4)T=(0.216 2,0.245 5,0.286 3,0.252 1)T

步驟6根據(jù)步驟5可得η5＞η4＞η3＞η1＞η2。易知A5＞A4＞A3＞A1＞A2，即A5是最優(yōu)的選擇方案。

以下將討論參數(shù)q對(duì)基于Theil不等系數(shù)的q階orthopair猶豫模糊集的加權(quán)距離測(cè)度對(duì)決策過程的影響。圖1描述了參數(shù)q對(duì)各屬性權(quán)重的影響。圖2描述了參數(shù)q對(duì)各方案綜合評(píng)價(jià)值的影響。從圖1可以看出，隨著q的增大，ω1不斷地增大，ω2先減小后增大，ω3先減小后趨于平穩(wěn)，ω4先增大再減小后趨于穩(wěn)定，雖然各屬性權(quán)重變化趨勢(shì)不同，但受距離測(cè)度的影響不斷減弱，逐漸趨于平穩(wěn)。圖2表明隨著q的不斷增大，η1和η3先增大后趨于穩(wěn)定，η2未受太大的影響，η4和η5先減小后趨于穩(wěn)定，可以看出，無論參數(shù)q的取值怎樣變化，方案的排序結(jié)果沒有發(fā)生大變化。即方案5始終是最佳方案。

圖1 參數(shù)q對(duì)ωi的影響Fig.1 Influence of q onωi

圖2 參數(shù)q對(duì)ηj的影響Fig.2 Influence of q onηj

最后將驗(yàn)證基于Theil不等系數(shù)距離的確定屬性權(quán)重的TOPSIS決策方法的優(yōu)越性和有效性，首先用直覺猶豫模糊集（IHFS）代替q-ROHFS表示決策信息，它是q-ROHFS在q=1時(shí)的特殊情況，但是會(huì)發(fā)現(xiàn)有些決策信息不能被表示，比如上述案例中A1關(guān)于屬性c1的評(píng)估值為＜{0.3,0.4,0.5},{0.7,0.8}＞q，其包含的隸屬度0.5與非隸屬度0.7之和大于1，從而體現(xiàn)了q-ROHFS的優(yōu)越性。接著與文獻(xiàn)[17]提出的基于q階orthopair猶豫模糊廣義加權(quán)距離測(cè)度的多屬性決策方法進(jìn)行比較，發(fā)現(xiàn)兩種方法有著相同的排序結(jié)果，進(jìn)一步說明了本文提出方法的有效性。相較于文獻(xiàn)[17]提出的決策方法，本文提出了一種新的距離測(cè)度，除此之外，文獻(xiàn)[17]的屬性權(quán)重是給定的，而本文通過屬性權(quán)重模型將其定量化，更好地利用了數(shù)據(jù)之間的聯(lián)系，從而提供了更加客觀的過程。基于相同的決策信息和信息測(cè)度，文獻(xiàn)[20]利用得分函數(shù)和精確函數(shù)對(duì)方案進(jìn)行排序擇優(yōu)，相較之下，本文采用的新TOPSIS法能充分運(yùn)用原實(shí)時(shí)數(shù)據(jù)的信息，其結(jié)果能精確地反映各方案之間的差距。以上與現(xiàn)存多屬性決策方法的對(duì)比，更能凸顯出基于Theil不等系數(shù)距離的確定屬性權(quán)重的TOPSIS決策方法的優(yōu)越性。

5 結(jié)束語(yǔ)

多屬性決策是一個(gè)很重要的實(shí)際問題，它最基礎(chǔ)、最重要的研究方向是如何表達(dá)這些模糊信息。IHFS和PHFS均是處理模糊信息的好方法，然而，q-ROHFS適用范圍更廣，即μq+νq≤1，IHFS和PHFS都是它的特殊情況。因?yàn)閝-ROHFS有參數(shù)q，所以它可以更靈活地表示信息，展現(xiàn)的空間范圍更廣。

基于這些優(yōu)點(diǎn)，首先提出了基于Theil不等系數(shù)的q-ROHFS的距離測(cè)度，并討論了它的性質(zhì)。其次，提出了基于Theil不等系數(shù)距離的屬性權(quán)重確定模型，用來更客觀地確定屬性權(quán)重。基于上述研究，提出了一種新的TOPSIS多屬性決策方法。最后，通過實(shí)例與比較分析說明了該方法的可行性和有效性。

新的多屬性決策方法的優(yōu)點(diǎn)總結(jié)如下：（1）因?yàn)樘岢龅姆椒ò瑓?shù)q，所以可以容易地反映出決策者的風(fēng)險(xiǎn)偏好；（2）從總離差最大化的原則出發(fā)，提出了基于單目標(biāo)優(yōu)化模型的屬性權(quán)重確定模型，使得決策過程更具有說服力。

在未來的研究中，致力于提出基于q-ROHFS其他信息測(cè)度。同時(shí)，也會(huì)將提出的方法運(yùn)用到其他領(lǐng)域。例如物流管理、風(fēng)險(xiǎn)評(píng)估和醫(yī)療診斷[21]等。