AMB轉子系統動力學分析與控制研究

李 山，卿 豪，楊 奕，李 耀

(1.重慶理工大學， 重慶 400054；2.重慶市能源互聯網工程技術研究中心， 重慶 400054)

AMB作為一種新型的使用電磁力提供承載力的高性能軸承，與傳統軸承相比具有無接觸摩擦、無油污、壽命長等優點。無接觸的優點使得它在高速電機中得到廣泛應用。此外，它在船舶、航空發動機渦輪泵、定位系統、飛輪儲能系統、航天器集成電源等方面也有廣泛的應用[1-3]。AMB系統主要由電磁執行器、轉子、位移傳感器、控制單元和功率放大器構成，磁懸浮軸承組成及基本控制回路見圖1。由位移傳感器檢測轉子實時位移信號反饋至控制器中，產生的電流信號通過功放形成相應的線圈電流作用于磁軸承線圈，進而在磁鐵鐵心中產生磁場，得到所需的電磁力[4]。

關于AMB控制系統的一般研究方法是建立數學模型，確定控制算法，研究控制策略。由于精確的數學模型能更好地體現磁軸承特性，早期數學模型一般采用經典線性化模型。隨著更高的控制精度要求和多元化的應用場景需求，研究者建立了不同的數學模型。姜豪等[5]對運動平臺上的磁軸承-轉子系統進行了動力學建模，考慮大幅運動等非線性因素，通過實驗驗證了模型的可行性。何海婷等[6]研究了基于BP神經網絡的飛輪儲能系統的非線性模型，更為準確地描述了AMB非線性特性，但其復雜的非線性模型為后續控制帶來了艱巨挑戰。

圖1 磁懸浮軸承組成及基本控制回路結構框圖

PID作為AMB中最常見的控制算法，因設計的物理概念清晰而具有高度實用性，很多學者對PID改進算法進行了研究。不完全微分PID算法[7]中，由于濾波器的加入使得其能有效抵抗噪音干擾。姜豪等[8]基于擴展卡爾曼濾波提出了改進PID算法，有效解決了信號噪聲對控制精度的影響問題。郝建勝等[9]提出了基于BP神經網絡的PID算法，其適應能力和動態效果較不完全微分PID算法均有改善。

值得注意的是，AMB系統本身并不屬于單純的控制學問題，而是涉及轉子動力學、機械學、測試技術等多學科技術。線圈電流在磁場建立的過程中不能突變，需要一定的建立時間，克服轉子重力的瞬間，須建立較大磁場，但傳統PID控制下的采樣速度與磁場建立速度不匹配，且磁軸承的氣隙極小，很可能造成超調問題。對于磁軸承這一特殊對象，超調意味著轉子過沖，過沖的最嚴重后果是轉子被上端線圈吸死，線圈電流保持極大值，造成控制電路發熱甚至燒毀硬件。輕微的過沖會造成轉子碰壁，碰壁后便引入不確定力作用影響，造成轉子的不規律振動，對轉子控制有較大影響。此過程一般發生于轉子靜態懸浮階段，需減緩轉子在第一次起浮時的過沖碰壁現象，不引入外界不確定力的作用，以更好地實現穩定懸浮。

為減緩轉子在第一次起浮時存在的過沖碰壁情況，減緩過沖主要有2種方式：① 對于上端軸承線圈的電流，適時控制減緩其上升速度；② 對于下端線圈及時介入，產生反作用力限制過沖速度。上端電流的減緩和下端線圈的介入均需要一定預判條件，不能盲目施加，這一研究涉及轉子動力學分析。AMB系統雖然呈現復雜的非線性特性，但在機械結構固定的前提下，轉子在這一非線性環境中的運動學遵循相同的規律?；谝陨戏治觯岢鲆环N基于動力學分析的AMB系統控制策略。對轉子進行理論動力學分析，為保證動力學分析的正確性，將實測與理論動力學做對比分析實驗；將修正后的動力學理論分析應用于控制研究理論推導，通過仿真和實驗驗證控制理論的可行性。

1 模型解析

磁軸承-轉子系統的部分結構如圖2所示，A、B為兩端的徑向磁軸承。假設轉子質量分布均勻，C點為AMB轉子的幾何中心或者質心，以此建立相關坐標系[10]。著重研究徑向4自由度，軸向運動可視為與徑向完全解耦(線性討論范圍)，能獨立進行處理，故軸向軸承及相關元件被省略。

圖2 磁懸浮軸承-轉子系統結構示意圖

以八極式主動磁懸浮軸承(active radial magnetic bearing，ARMB)為研究對象，表1為其基本結構參數。圖3為隔開極式八極主動磁軸承實驗樣機結構示意圖，四對極分開的磁極結構有利于減少磁極間的漏磁，方便控制。一對極定轉子的磁路等效模型示意圖如圖4所示，其磁極極化順序為N-S-S-N。

表1 ARMB基本結構參數

圖3 隔開極式八極主動磁軸承實驗樣機機構示意圖

圖4 一對極定轉子的磁路等效模型示意圖

忽略鐵心磁阻，考慮漏磁影響，根據等效磁路可得到

(1)

式中：ik為第k個磁極上的繞組電流；Rs、Rr為定子、轉子磁阻；N為線圈匝數；σ為漏磁系數。

從轉子12點鐘位置按順時針方向排列，第2個磁極所對氣隙磁阻為Rgk1，其余氣隙磁阻按照順時針排序方式分別為Rgk2，Rgk3，…，Rgk8。

氣隙磁阻計算式為

(2)

式中：lg為定子磁極對應的氣隙長度。

氣隙磁密計算式為

(3)

式中：As為定子徑向面積；S為定子內徑；lef為鐵心有效長度；β為定子齒槽占空比；np為定子極數。

定子徑向面積計算式為

(4)

式中：d為軸承內徑；b為軸承寬度。

基于場能理論，徑向磁鐵的力fx與線圈電流i平方成正比關系，與位移平方成反比關系，呈現非線性特性。但在某些工作點附近，作用力可以線性化：

fx(x，i)=kii-ksx

(5)

(6)

式中：μ0為真空磁導率；N為磁軸承單極匝數；i1為磁軸承偏置電流；α為磁極偏角。

根據表1的徑向磁懸浮軸承相關參數，計算得到

f=24.46i-61.16x

(7)

不同電流下，轉子所受電磁力f與其距離位移傳感器的距離x的關系曲線如圖5所示。當電流i一定時，轉子距位移傳感器的距離x與電磁力f成反比。即轉子距離傳感器/線圈越近，受到的電磁力越大。

圖5 不同電流下f-x關系曲線

2 主動徑向磁軸承運動學分析

2.1 磁軸承轉子受力分析

磁軸承轉子在靜態懸浮過程中不考慮外界擾動力影響，故轉子作用力為自身重力和電磁力。上文對軸承電磁力進行了初步分析，下面對其做進一步分析。

PWM調制方式下，由于功放電路設計原因，本文方法中占空比D與電流呈反相關。通過實測得占空比與電流關系曲線(圖6)，通過擬合得到二者的關系表達式：

i=-0.007 6D+5.205 6

(8)

圖6 D-i關系曲線

將式(8)代入式(7)，得電磁力與上端位移傳感器以及占空比關系表達式：

f(x，D)=127.33-61.16x-0.186D

(9)

已知占空比D的取值范圍為0～800，位移x的取值范圍為0～1.2 mm，得到如圖7的三維圖。S1軸表示轉子上端與上端位移傳感器距離x(單位mm)，D軸表示占空比，F軸表示電磁力f(單位N)。

圖7 f-i-D關系圖

2.2 磁軸承轉子動力學分析

在磁軸承的初步動力學分析過程中不考慮復雜的控制，對上端軸承線圈通入固定電流(即固定占空比D)。在磁力的作用下轉子被吸到頂端，安裝在轉子四周的位移傳感器將實時數據通過串口輸出到PC端。為更直觀地描繪轉子運動軌跡，將傳感器示數轉換成轉子軸心坐標。

如圖8所示，R1為轉子實際運動空間圓圓心；R2為轉子徑向截面圓心，半徑為15 mm；s1、s3分別為上端和左端位移傳感器示數。

圖8 轉子軸心推算模型示意圖

為測得基于傳感器示數下空間圓的半徑，進行多次吸合實驗，篩選后取平均值，選取傳感器示數下氣隙為1.17 mm(尺寸氣隙為1.2 mm)，空間圓的半徑R為15.59 mm。建立以空間圓圓心為原點、氣隙長度為直徑的圓形坐標系，忽略轉子質量分布不均衡問題，將轉子等效為其軸心的點。

下面推導轉子軸心坐標。令點A和B的坐標分別為(0，y1)、(x2，0)，其中y1=15.59-s1/100，x2=s3/100-15.59。

轉子軸心坐標(x0，y0)可由表達式(10)推導。

(10)

(11)

根據吸合實驗數據，通過位移傳感器數據計算出軸心坐標，并繪制不同占空比下轉子被吸到頂端的軸心軌跡圖，見圖9。當占空比D大于245時，磁軸承上端線圈無法克服轉子自身較大的慣性力，故保持靜止狀態。

圖9 軸承上端給力軌跡

已知AD芯片單通道采樣時間為0.1 ms，對前后端8個通道進行采樣需0.8 ms。此外，PWM頻率為10 kHz，故進行一次PID調節的時間設置為1 ms。從而得知，PC端輸入數據時間間隔為1 ms。據此，對采集的數據進行計算分析得到轉子實際運動相關量，包括加速度a、速度v、位移s。D=170時的吸合實驗轉子加速度曲線見圖10。

從圖10可以看出，轉子加速度在達到32 m/s2后急劇下降并反向，此過程是由轉子碰壁造成的。由于碰壁后轉子受力情況無法分析，故后續分析時均不考慮碰壁后數據情況。

圖10 D=170時實測加速度曲線

理論動力學推導以時間間隔1 ms、占空比170為前提。軸承的電磁力雖產生于氣隙與轉子邊緣之間，應以轉子上端最遠處為推導點，但轉子軸心在豎直方向的運動情況與轉子上端相同，故可將轉子的運動分析看做是在轉子軸心處、受力按實際受力分析的過程。

將D=170代入式(9)，得到：

f(x，170)=95.4-61.16x

(12)

假設在1 ms內轉子的加速度不變，間隔時間為Δt，轉子質量為m；0 ms時，轉子運動量為a0，v0、s0均為0，0～1 ms內轉子運動量為a1，v1，s1并以此類推，則0～1 ms內，由牛頓第二定律可知

(13)

此過程中，轉子并未運動，上端位傳數據為1.2 mm，則有：

(14)

(n-1)～nms內：

(15)

對式(15)進行迭代運算，得到軸承在定占空比D=170時，轉子加速度的理論推導數據。通過散點數據擬合得到圖11中的理論曲線，同時將實測曲線碰壁后以及未克服慣性力前的數據舍棄，與理論數據同次擬合，得到圖11中的實測曲線。轉子速度與位移的理論與實測對比曲線分別見圖12、13。

圖11 加速度曲線

圖12 速度曲線

圖13 位移曲線

可以看出，理論與實測曲線趨勢一致，但存在一定偏差，這一方面是實測運動量數據未考慮水平運動分量的影響；另一方面，從軸承上端給力軌跡可以看出，上端軸承作用時，軸心軌跡曲線偏左，可能是由于磁場分布導致兩極電磁力的合力偏左，使得軸承受到的電磁力并非在豎直方向上。如圖14，理想狀態下，上端兩極電磁力fa、fb產生的合力為F1，處于豎直方向，但由于加工等問題，兩極電磁力實際為fc、fd，產生的電磁合力為F2，與理論電磁力F1之間存在電磁力偏移角Δα。

圖14 電磁力偏移示意圖

從圖14可知，F2在豎直方向的分量為F2cos(Δα)，水平方向的分量為F2sin(Δα)。

對于水平方向，軸承僅受F2sin(Δα)作用，水平加速度為

(16)

在靜止狀態下，根據實測曲線取15個控制周期(即15 ms)，可得到軸承在水平方向的位移為sx=2.25sinΔα。從圖8可知，軸承在水平方向可移動的最大距離應小于0.6 mm，故2.25sinΔα<0.6，從而Δα<15°。

對于豎直方向，軸承受到F2cos(Δα)和重力共同作用，豎直方向加速度為

(17)

靜止狀態下，ay=20cosΔα-11。根據圖11的實測加速度曲線可知，豎直方向上由于慣性力的作用，ay應達到10 m/s2左右才能克服軸承的較大慣性力，故Δα≈0。綜上，Δα值取0°～15°。

取Δα=0°，Δα=8°，Δα=15°，對理論運動量曲線進行修正，同時將水平方向運動分量合成至實測運動曲線中對實測曲線進行修正。修正后的運動量曲線如圖15～17所示。

從修正曲線可以看出，當Δα=8°時，理論與實測運動曲線更趨近。

通過以上動力學分析發現：研究證明了理論動力學分析的正確性，可將其運用至后續控制理論推導；分析理論推導與實際動力學分析存在偏差的原因，對理論動力學進行修正，使其具有更貼近實際的推導價值。

圖15 加速度修正曲線

圖16 速度修正曲線

圖17 位移修正曲線

3 控制策略分析

3.1 PWM調制下電流的建立

對轉子實測數據做進一步分析，發現在上端線圈作用時，轉子克服慣性需要的時間隨著占空比D的增加而增加。不妨如此考慮，當轉子質量一定時，其慣性力也為定值，要克服此較大慣性力，上端線圈電流所建立的磁場應為同一值，即上端線圈的電流需達到某一定值。為表現線圈電流建立過程，繪制PWM調制下的電流建立曲線，見圖18。

圖18 PWM調制線圈電流建立過程

從圖18可以看出，線圈電流建立過程不僅與占空比有關系，與線圈電流上升和下降斜率也有很大關系。假設克服慣性力的線圈電流為I0，由于硬件設計關系，線圈電流在Toff階段建立，D1占空比下，在時間t1可建立I0，而D2占空比下要在t2時刻才能建立相同電流。過大的占空比會導致電流下降為0或負值，導致更長的周期也無法克服轉子慣性力，這也是實際測量中經常遇到的問題。

線圈電流上升斜率由式(18)決定：

(18)

式中：udc是直流母線電壓，udc=5 V；L為線圈電感；R為包括線圈電阻、電流采樣電阻在內的線圈等效電阻。線圈電阻R的計算式為:

(19)

式中：ρ為銅電阻率，取0.017 2 Ω/m；L為導線長度；S為線圈直徑。導線長度可由式(20)估算。

(20)

式中：D1為線圈內徑；D2為線圈外徑。從磁軸承設計機構看，線圈外徑可用定子外徑減去定子內徑、再減去極靴寬度代替，線圈內徑即極靴寬度，得到線圈長度估算值為8 026.8 mm，從而得到線圈電阻為0.275 Ω。與并聯的大值采樣電阻相比，R值可忽略不計。于是放大器允許的電流最大變化率為：

(21)

由于功放采用的是雙極式T型結構，故線圈電流的下降斜率與上升斜率相同。

3.2 控制過程分析

磁軸承靜態穩定懸浮控制過程中，避免轉子碰壁需減緩其過沖情況。減緩過沖主要采用2種控制策略：① 對于上端線圈，適時減緩電流上升速度，引入微分參數。但微分參數引入過早會影響電流前期建立的快速性，引入過晚會導致減緩過沖效果不明顯；② 僅靠減緩上端電流和轉子自身重力作用來減緩過沖，效果并不明顯，需要下端線圈的介入，并與上端線圈配合作用。下端線圈介入過早可能導致轉子無法起浮，介入過晚則不能起到減緩過沖效果。

根據動力學分析可知，控制過程中，首先克服轉子自身的較大慣性力，其次是向上的加速過程，這2個階段均由上端線圈單獨作用，為減緩轉子過沖需介入下端線圈使轉子進入減速過程。

上端線圈引入微分參數條件與下端線圈介入條件的限制為：① 上下線圈共同作用后使得轉子軸心到達中心點的速度十分接近0；② 上端作用下轉子位移與下端作用下轉子位移的和小于0.6 mm。磁軸承轉子實際控制過程中，占空比D是時刻變化的，控制電流無法得知。但占空比存在變化范圍，可根據此范圍和限制條件確定上端線圈引入微分參數的條件以及下端線圈介入的條件。上端線圈作用時間最小模式為：上端線圈直通，即上端線圈最大出力，下端線圈最小出力(能有效減速的力)。上端線圈作用時間最大模式為：上端線圈較小出力(能克服轉子慣性力)，下端線圈直通。

最小模式下，下端較小出力且能有效減速的占空比通過推算值為470。圖19(a)為最小模式下轉子的速度曲線。上端線圈作用3個周期到達最小位移作用點0.18 mm后，介入下端線圈作用8個周期，可使轉子速度在接近懸浮中心時降到0附近，此時總位移為0.558 30 mm，小于0.6 mm，如圖19(b)所示。

圖19 上D=0，下D=470時轉子速度位移曲線

同理，最大模式下，推算上端能克服慣性力的最大占空比為225。圖20(a)為轉子速度曲線。上端線圈作用17個周期到達最大位移作用點0.35 mm后，介入下端線圈作用3個周期，位移曲線速度和位移均滿足要求，圖20(b)為位移曲線。

綜上，對于變化的占空比，下端線圈在最小模式位移作用點后介入并在最大模式位移作用點之前介入，即下端線圈介入作用點范圍為0.18～0.35 mm，此范圍內均能滿足限制條件，可有效減緩轉子過沖。最佳介入點需要通過仿真實驗進一步比較后確定。磁軸承轉子系統控制策略流程如圖21所示。將0.18～0.35 mm作用點范圍作為判斷是否引入上端微分參數和下端線圈介入的條件。

圖20 上D=225，下D=0時轉子速度位移曲線

4 系統仿真分析

基于Simulink環境，對磁懸浮軸承系統進行建模仿真(圖22)。

圖21 磁軸承轉子系統控制策略流程框圖

圖22 磁軸承仿真模型示意圖

圖23、24分別為磁軸承上端、下端控制電流波形，圖25為上下氣隙波形。經理論推導，上端線圈作用周期為(3～17)T(T為1 ms)后介入下端線圈以及引入微分參數。但該部分控制周期未考慮轉子克服慣性力前的電流積累階段。

圖23 磁軸承頂端控制電流仿真結果

圖24 磁軸承底端控制電流仿真結果

圖25 磁軸承上下氣隙仿真結果

從圖23可以看出，0.1 s時上端線圈開始作用；結合圖25可以看出，轉子位移并未發生變化，一直作用到0.2 s時，控制電流急劇增加，為克服瞬時慣性力，轉子開始運動，此后上端線圈作用，轉子運動0.01 s左右(即10個作用周期，此控制周期在3～17T內)，0.21 s時下端線圈開始作用，見圖24。從圖25可以看出，介入下端線圈后轉子氣隙變化變緩，0.24 s時到達平衡氣隙處后穩定懸浮。

從仿真結果來看，上端作用10個周期后，即在0.26 mm作用點時介入下端線圈和上端微分參數可實現轉子良好的靜態懸浮。

5 實驗樣機驗證

圖26為磁軸承實驗系統的樣機及實驗平臺實物圖。磁軸承實驗系統主要由磁懸浮軸承、控制單元、位移傳感器、電源、上位機等組成，電源供電為24 V。

圖26 樣機及實驗平臺實物圖

5.1 不完全微分PID控制

為對比不完全微分PID控制與介入作用點控制的差別，首先進行不完全微分PID控制實驗。為更直觀地表現轉子的運動軌跡，應用2.2節轉子軸心軌跡推導，繪制轉子軸心軌跡圖。圖27分別為比例參數P、積分參數I、微分參數D、不完全微分參數D2下的調節軌跡。

從圖27中可以看出，基于不完全微分PID控制時存在轉子過沖碰壁情況，隨著各參數的不斷整定，轉子碰壁情況逐漸改善，特別是引入不完全微分參數D2=60時，轉子基本實現懸浮狀態，進一步表明微分參數有利于減緩過沖碰壁現象。

圖27 參數調試軌跡圖

5.2 作用點控制實驗

引入不完全微分的PID控制雖能實現轉子的基本懸浮，但穩定效果較差。通過動力學分析可知，下端線圈和上端微分參數引入的作用點范圍為0.18～0.35 mm，仿真實驗表明取0.26 mm時懸浮效果較好，故樣機實驗時取0.18、0.26、0.35 mm作用點做對比分析。如圖28所示，(a)、(b)分別為以距離中心點以下0.35 mm和0.18 mm處為作用點的軌跡圖，可以看出，相較于純不完全微分PID，轉子的懸浮效果得到了明顯改善，0.24 mm作用點的改善效果更好，如圖28(c)所示。繪制其三維軌跡圖如圖29所示。

圖28 不同作用點轉子平面軌跡圖

圖29 作用點為0.35時三維軌跡圖

圖30為0.18、0.35、0.24 mm作用點下，軸心在豎直方向的坐標定量分析對比?？梢悦黠@看出，0.24 mm作用點的懸浮效果最好。圖31為不完全微分PID控制下P=110、0.24 mm作用點的定量分析對比圖，可發現引入作用點控制后，懸浮效果顯著提高。另外，轉子未懸浮狀態與懸浮狀態的實物圖如圖32所示。

圖30 3種作用點下轉子軸心縱坐標曲線

圖31 P=110與0.24 mm作用點轉子軸心縱坐標曲線

圖32 磁軸承轉子實物圖

6 結論

1) 線性化的磁軸承數學模型下，修正后的轉子理論運動過程與轉子實際運動過程基本一致，驗證了理論推導的正確性。

2) 基于限制條件，推導出上端線圈引入微分參數及下端線圈介入的作用范圍為0.18～0.35 mm。

3) 作用點在0.26 mm處時，轉子實現了良好的靜態懸浮；樣機實驗時，作用點在0.24 mm處的懸浮精度高于0.18 mm和0.35 mm作用點處。較傳統不完全微分PID控制，新控制策略具有優勢，進一步提高了懸浮精度。