傳感器彈性元件本構模型參數擬合研究

范海倫， 祖洪飛， 向 忠， 彭來湖

(浙江理工大學 機械與自動控制學院， 浙江 杭州 310018)

多維位姿測量[1]系統是保證機械手定位及軌跡精度的關鍵裝置，傳統的多維位姿測量多是通過多個單自由度位移傳感器或編碼器[2-3]來實現的，測量系統結構復雜，成本高，且容易產生多軸累積誤差，難以滿足精密位移測量的需求。因此，迫切需要一種精度高、結構簡單的單體集成多維位姿傳感器。通過測試對比，最終選取聚氨酯作為彈性體軟軸的材料，在進一步研究該傳感器傳感特性的過程中，要對彈性體的運動及形變情況進行分析。由于聚氨酯為非線性材料，很難通過直接計算得到精確的解析解，因此通常需要借助仿真工具進行分析，而進行仿真分析的前提是要得到該材料的超彈性本構模型。本構模型描述了彈性體應力-應變關系，而其應力-應變關系是最終得到該傳感器應變-位移關系的基礎及核心，因此獲得合適的超彈性本構模型就成為研究該傳感器的關鍵所在。

對于彈性體材料的本構模型，國內外學者進行了大量的研究，并提出了多個模型：魏志剛等[4]基于彈性體的第1、第3主伸長率提出了一種新的本構模型，該模型對初始參數依賴小，只需通過試驗就能獲得較為可靠的模型參數，但該試驗需構建特定的主坐標系，具有一定的局限性；馮希金等[5]針對未硫化橡膠，結合單軸拉壓與剪切試驗，使用Yeoh 應變能函數的廣義Maxwell黏超彈性模型對未硫化橡膠進行擬合，發現該模型可以較好地描述未硫化橡膠的參數特征，為以后研究未硫化橡膠提供了一種新的思路；劉高沖等[6]對聚氨酯彈性體進行了靜態與動態的單軸壓縮試驗，最終得到了聚氨酯彈性體與應變率相關本構模型，從而可以較好地描述應變率對聚氨酯彈性體的影響。上述文獻對各種橡膠材料在不同的溫度及不同的應變幅值下的本構模型進行了研究分析，但都是對彈性體應力-伸長比之間的關系進行研究，沒有深入探討應力-應變關系。

課題組以聚氨酯彈性體作為傳感器彈性元件進行研究，研究了聚氨酯彈性體壓縮狀態下的本構模型，由于篇幅有限對于彎曲以及拉伸暫時不做研究。以圓柱狀聚氨酯彈性體壓縮試樣為研究對象，在不同的應變率下對試樣進行循環加載；然后，采用多種超彈性本構模型對其加載曲線的應力-應變關系進行擬合，對比分析各本構模型的擬合精度，選取最合適的本構模型。

1 彈性體材料本構模型

與金屬材料的線彈性不同，聚氨酯等彈性體橡膠材料的應力-應變關系呈非線性變化，該類材料發生大變形后可以恢復原始狀態，即變形可逆，因此可以看作超彈性材料，并且可以認為它們各向同性，對于此類材料，它們的應變能函數可表示為：

W=W(I1,I2,I3)。

(1)

式中：I1,I2,I3分別為Cauchy-Green變形張量的第1，第2，第3基本不變量。

超彈性材料的柯西應力張量可以表示為：

(2)

式中：p為靜水壓力，I為單位張量，B為變形張量。

對于單軸壓縮、拉伸，設伸長率為λ，3個主伸長率關系為λ1=λ，λ2=λ3=λ-1/2，又由于超彈性材料可以看作各向同性不可壓縮，所以I3=1。則：

(3)

將式(3)代入式(2)可推導出真實應力

(4)

又因真實應力σT與工程應力σ滿足σT=λσ，則工程應力

(5)

1.1 Mooney-Rivilin本構模型

Rivilin在研究應變能函數一般形式時，推導出了各向同性不可壓縮材料的應變能函數

(6)

式中Cmn為常數，且滿足C00=0。

Mooney[7]在式(1)的基礎上，取其前2項，其他各項的Cmn=0,有：

W=C10(I1-3)+C01(I2-3)。

(7)

式(7)被稱為Mooney-Rivilin公式。將式(7)代入式(5)可求得Mooney-Rivilin模型應力-伸長率關系式：

(8)

伸長率λ與應變ε滿足：λ=1+ε。式(8)整理后可寫為:

(9)

將式(9)進行泰勒展開，因為ε最大為0.2，ε?ε4，因此酌情保留到展開式的三次項或者四次項。

(10)

則Mooney-Rivilin模型應力-應變關系式為:

σ=2C10(4ε3-3ε2+3ε)+2C01(10ε3-6ε2+3ε)。

(11)

Mooney-Rivilin模型廣泛應用于現代工程中，對拉伸不超過200%的橡膠材料試驗數據具有較好的擬合，但是研究發現其對壓縮試驗數據擬合效果較差。

1.2 Yeoh本構模型

在Mooney-Rivilin本構方程的基礎上，Yeoh[8]提出了3項應變能函數，該應變能函數只含有1個應變張量不變量I1，而不含有第2應變張量不變量I2，因此Yeoh本構方程也被稱為減縮多項式方程。其應變能函數

W=C10(I1-3)+C20(I1-3)2+C30(I1-3)3。

(12)

將式(12)代入式(5)可求得Yeoh模型應力-伸長率關系式,整理后得到應力-應變關系式：

σ=2C10(4ε3-3ε2+3ε)+36C20ε3+54C30(-ε-1)。

(13)

因Yeoh模型不含有I2項,但是含有I1的更高次項，所以其對中等及以上應變具有較好的擬合效果，但是不能很好地描述等雙軸拉伸狀態。

1.3 Biderman本構模型

Biderman[9]在Yeoh模型的基礎上增添了應變張量不變量I2，試驗結果表明：單軸拉壓狀態下，相對于Yeoh模型，Biderman模型具有更好的擬合效果。其應變能函數

W=C10(I1-3)+C20(I1-3)2+C30(I1-3)3+C01(I2-3)。

(14)

整理得到應力-應變關系式：

σ=2C10(6ε5-5ε4+4ε3-3ε2+3ε)+2C01(21ε5-15ε4+10ε3-6ε2+3ε)+4C20(24ε5-15ε4+9ε3)+162C30ε5。

(15)

需要說明的是，由于最后一項C30系數展開式只有ε5，因此其他系數項皆保留到ε5。

1.4 Ogden本構模型

Ogden[10]并沒有使用應變張量不變量表述橡膠本構的應變能函數，而是使用主伸長率來代替應變張量不變量，這樣簡化了描述應變能函數。其應變能函數

(16)

式中：i和n表示材料參數的項數；λi為主伸長率；μi，αi分別為試驗確定的材料常數。

Ogden模型對材料的各種變形皆有較好的擬合效果，但是工程中一般使用不超過4項展開式，因為若超過4項，其擬合參數過多，迭代時間增加，誤差增大，仿真困難。因此課題組選用Ogden模型3項展開式。工程應力

(17)

2 試驗方法與試樣

本試驗所采用的聚氨酯壓縮試樣密度為1.2 g/cm3,邵氏硬度(90±2)A,直徑為20 mm，高度10 mm的圓柱體，試驗使用WDW-5電子萬能試驗機，并參照GB/T7757—2009進行。試驗共制備5個壓縮試樣，分別對5個試樣進行試驗，取5次試驗的平均值進行數據擬合。

試驗儀器與試驗材料如圖1所示。課題組試驗所用的工程應變為20%，分別進行0.010 0，0.001 0，0.000 3 s-1的3種應變率加載試驗。試驗先將測得的力-位移曲線轉化為應力-應變曲線，再對轉化后的應力-應變曲線進行本構方程擬合。最終得到不同工況下的最優循環加卸載本構模型。

圖1 試驗儀器與試驗材料Figure 1 Test equipment and materials

彈性體材料在加載卸載時，其卸載應力要遠低于加載應力，經過多次循環加載、卸載，其應力應變曲線才會幾乎重合，這種現象就稱為Mullins[11]效應。為消除Mullins效應，得到穩定加載曲線，需要在常溫下對試樣進行多次循環加載試驗，此處采用的工程應變速率為0.001 0 s-1，最大工程應變為20%。

圖2所示為聚氨酯壓縮循環加載9次的力-位移曲線。加載過程中發現在第3次加載后力-位移曲線趨于穩定，在第5次加載后力-位移曲線基本穩定。獲取穩定的加載力-位移曲線對于后續的彈性體受力分析和模型創建具有重要的意義，因為彈性體在循環加載、卸載的工況下工作，若使用未消除應力軟化的數據進行分析會導致模型誤差很大。因此，課題組在對試樣循環加載、消除Mullins軟化效應的基礎上進行后續試驗。

圖2 循環加載力-位移曲線Figure 2 Cyclic loading force-displacement curve

3 本構模型的試驗結果與分析

為獲得合適的超彈性模型以準確地描述聚氨酯應力-應變關系，課題組分別對Mooney-Rivilin,Yeoh，Biderman以及Ogden這4種模型，在不同應變率下的數據進行了擬合分析。首先將試驗所得數據進行處理，在試驗機上直接測得力-位移關系數據，并將其轉化為應力-應變關系，轉換關系如下：

(18)

(19)

式中：F為加載力，d為試樣直徑，l0為初始厚度，l1為變形后的厚度，s為試驗數據中的位移。

課題組沒有使用傳統的ABAQUS等仿真分析軟件對其進行本構模型擬合，而是使用Origin專業繪圖軟件對其擬合。將試驗數據整理后導入繪圖軟件中，使用非線性擬合將前文本構模型的應力-應變公式輸入其中，實現對試驗數據的擬合。試驗得到應力-應變曲線如圖3所示。

圖3 壓縮加載應力-應變曲線Figure 3 Compressive loading stress-strain curve

由圖3可見，試驗數據呈現“S”型，符合超彈性物質的性質。在3種加載應變率下，試驗曲線形狀幾乎相同，在微小應變下曲線重合。在相同的應變下，隨著應變率的增加聚氨酯彈性體受到的應力增大。

3.1 Mooney-Rivilin本構模型

如圖4(a)所示，Mooney-Rivilin模型對3種應變率下的試驗數據擬合偏離較遠，尤其是在小應變情況下，這與其對壓縮狀態擬合較差的結論相符。在0%～3%應變范圍內，擬合曲線呈現負值， 這與實際情況不符，且在應變達到17%左右時擬合曲線有應力減小的趨勢，這與試驗數據持續上升的趨勢也相反。因此，我們認為Mooney-Rivilin模型不能對本試驗所用的壓縮狀態下的聚氨酯彈性體應力-應變關系進行描述。

Mooney-Rivilin模型的擬合數據如表1所示。表1中C10為負值，而C01為正值，這與多數文獻中對其他彈性體材料的擬合結果相反，一般情況下C10為正值，而C01為負值，這進一步說明了該模型不適合本試驗中所使用的聚氨酯彈性體。

表1 Mooney-Rivilin模型擬合參數Table 1 Mooney-Rivilin model fitting parameters

3.2 Yeoh本構模型

圖4(b)所示為Yeoh本構模型應力-應變擬合結果，可以看出Yeoh本構模型擬合效果明顯優于Mooney- Rivilin本構模型。當應變為0%～4%時，Yeoh本構模型的應力高于試驗數據較多；當應變為4%～12%時，Yeoh本構模型應力逐漸接近試驗數據；當應變為12%～19%時，擬合效果最好。Yeoh本構模型擬合參數如表2所示。不同于硅膠等硬度較小的彈性體，課題組所采用的聚氨酯彈性體硬度較大，擬合參數第1、第3項為負值，第2項為正值，因此中等應變的擬合效果較好。

表2 Yeoh模型擬合參數Table 2 Yeoh model fitting parameters

3.3 Biderman本構模型

Biderman本構模型的擬合結果如圖4(c)所示，擬合參數如表3所示。可以發現，Biderman本構模型在3種應變率下對試驗數據的擬合效果均非常好，這表明Biderman本構模型能夠很好地描述聚氨酯彈性體的受力情況。其原因是相對于Yeoh本構模型，Biderman本構模型增加了應變不變量I2項，參數也增加了C01項，因此不僅可以對小應變更好地進行描述，對中等應變以及大應變的契合程度也更高。

表3 Biderman模型擬合參數Table 3 Biderman model fitting parameters

3.4 Ogden本構模型

Ogden本構模型的擬合結果如圖4(d)所示，擬合參數如表4所示。由擬合效果可知，Ogden本構模型對試驗數據的擬合效果相對于Mooney-Rivilin、Yeoh這2種本構模型為佳，僅次于Biderman模型。在應變為0%～1%時，模型的應力為負值，這點與試驗不符。Ogden本構模型對于試驗試樣大于2%的應變擬合效果較好。相對于前2種模型，Ogden本構模型具有更好的擬合效果，這與Ogden本構模型包含更多的參數有關，但因為Ogden本構模型參數較多，所以其擬合所需要的收斂時間更長，擬合參數的初始設定也更加繁瑣。

表4 Ogden模型擬合參數Table 4 Ogden model fitting parameters

卡方值表示試驗數據與擬合曲線的相關程度，如果卡方值小于0.05，則說明雙方是顯著相關的，也就是說擬合結果是符合的。卡方值大于0，數值越小表明相關性越顯著，擬合效果越好。表5所示為4種模型擬合參數的卡方值對比，可以很明顯地看出這4種模型在3種應變率下的擬合效果， Mooney-Rivilin和Yeoh 2種模型卡方值均大于0.05，不符合要求。Biderman模型與Ogden模型3種應變率下的卡方值均小于0.05，試驗數據與擬合曲線顯著相關，這2種模型卡方值對比可以看出相同應變率下Biderman模型卡方值更小，相關性更顯著，擬合程度也就更好。

表5 4種模型擬合參數卡方值Table 5 Chi-square values of four-modelfitting parameters

4 結論

課題組使用電子萬能試驗機對聚氨酯彈性體進行準靜態下壓縮試驗。對預處理試樣進行不同應變率的壓縮加載試驗，將得到的數據處理之后導入專業繪圖工具，最后利用4種本構模型對試驗數據進行擬合。通過對實驗數據擬合對比分析，可以得到如下結論：

1) 聚氨酯類彈性體具有應力軟化效應，若要得到準確的實驗數據，需要多次循環加載以消除Mullins效應。

2) Mooney-Rivilin本構模型對試驗數據的擬合效果很差；Yeoh本構模型在小形變偏離較大而中等形變狀態下擬合稍有偏離；擁有6個參數的Ogden本構模型對試驗數據的擬合效果較好，但由于參數較多，收斂時間增大且初始值設定較為麻煩；對該試樣擬合效果最好的是Biderman本構模型，不僅擬合程度最佳，并且參數數量適中，該模型能夠很好地描述聚氨酯單軸壓縮加載狀態下的力學行為。

3) 本研究應力-應變曲線的擬合為后續材料的仿真建模提供了可靠的前提條件以及對進一步研究聚氨酯材料的熱力學行為和黏彈性行為提供了一定的參照。