帶U型切口的非線性壓電能量采集器的動力學仿真研究

申 俊， 宋 芳

(1.上海工程技術大學 機械與汽車工程學院, 上海 201620；2.上海工程技術大學 工程實訓中心， 上海 201620)

隨著無線傳感器網絡節點的大范圍分布使用，如何給無線傳感器網絡節點供電成為一個難題。因此，學者們提出收集環境周圍的振動能量，將其轉化為電能給無線傳感器網絡節點供電[1-4]。目前，振動能量采集技術根據采集原理不同可以分為：電磁式、靜電式、壓電式和磁致伸縮式[5]。壓電式采集器具有結構簡單、環境適應能力強和輸出電壓大的優點[6-7]。因此，壓電振動采集器設備在微能量采集領域備受關注。傳統單一的線性壓電懸臂梁結構存在的問題是：當周圍環境中的振動能頻率偏離其結構本身的諧振頻率時，壓電懸臂梁輸出的電壓會大幅度下降[8]。引入磁場而具有非線性特性的壓電采集器相比傳統的線性壓電采集器而言，其對環境中的振動能具有相對較寬的采集頻帶，有利于提高機電轉換效率[9]。

Ando等[10]提出了由磁力構建的具有非線性雙穩態性質的MEMS振動采集器，實驗結果表明該采集器能有效收集低頻環境中的振動能。Shah等[11]進一步在磁力引入的壓電采集器中，研究了懸臂梁末端磁鐵和外部磁鐵的間距變化對采集器電壓輸出的影響，研究結果表明間距在8.5 mm時該采集器的采集效果最佳。為了證明磁力引入后壓電振動采集器的寬頻作用，Song等[12]設計了一種磁力耦合陣列式的壓電振動采集器。該采集器既能在雜亂的磁場中響應，又能在外界振動能的激勵下響應，并且該采集器具30 Hz的頻帶寬。

筆者考慮到磁場引入構成的非線性壓電采集器系統具有寬頻的優勢，提出了一種引入磁場的帶U型切口的非線性壓電振動采集器；建立了該采集器的理論模型，運用數值仿真研究了激振頻率的變化對該采集器電壓輸出的影響，以及內、外梁磁鐵間距變化對該采集器電壓輸出的影響。

1 系統模型和基本結構

該采集器的三維結構如圖1所示，其結構包括內部矩形懸臂梁(內梁)、外部U型懸臂梁(外梁)、壓電片、磁鐵1和磁鐵2。其中基底材料為銅；永磁鐵為Nd2Fe14B。

圖1 采集器三維結構示意圖Figure 1 Three dimensional structure diagram of harvester

該采集器可以等效為2個單自由度的彈簧-阻尼-質量系統，其等效模型如圖2所示。其中，內、外梁壓電片均表示為電容Cp，用導線將壓電片并聯，與外接負載電阻RL串聯，構成一個閉合電路。

圖2 采集器等效模型Figure 2 Harvester equivalent model

根據振動力學可以得到該能量采集系統的動力學模型方程[13-14]：

(1)

式中：Meq1，Ceq1,Keq1和Z1(t)分別為內部懸臂梁的等效質量、等效阻尼、等效剛度和磁鐵1沿垂直方向的位移；Meq2，Ceq2,Keq2和Z2(t)分別為外部U型懸臂梁的等效質量、等效阻尼、等效剛度和磁鐵2沿垂直方向的位移；u(t)為外部激振源；V(t)為該采集器輸出的電壓；φ為壓電陶瓷(PZT)的機電耦合系數；Fmv為2個磁鐵之間磁力沿垂直方向的分力。

根據基爾霍夫第一定律，可以得到采集器的機電耦合方程：

(2)

式(1)中Meq1，Ceq1和Keq1具體計算公式如下[15-16]：

(3)

式中：Ii為內梁中壓電片與基底銅粘合在一起后整體懸臂梁的慣性矩；Ei為內梁中壓電片與基底銅片粘合在一起后整體懸臂梁的彈性模量；li1，wi1，ti1和lp，wp，tp分別為內梁基底材料銅和陶瓷壓電片(PZT)的長、寬和厚度；m1為內梁末端磁鐵的質量；ρc為基底材料銅的密度，ρp為陶瓷壓電片(PZT)的材料的密度；ξc為采集器的阻尼比。

其中：

(4)

(5)

式中：Ec為基底材料銅的彈性模量，Ep為陶瓷壓電片(PZT)的彈性模量。

式(1)中Meq2，Ceq2和Keq2的計算公式為：

(6)

式中：Io1為外部U型矩形懸臂梁的直角拐角前部分整體的慣性矩；Io2為外部U型直角拐角后部分的慣性矩；Eo1為外部U型矩形懸臂梁直角拐角前粘有壓電片部分整體的彈性模量；Eo2為外部U型直角拐角后部分的彈性模量；lo1，wo1，to1分別為外部U型矩形梁的長、寬和厚度；lo2為外部U型梁直角拐角末端的長度；m2為外梁末端磁鐵的質量。

其中：

(7)

(8)

式中：Eo2為外部U型直角拐角后部分的彈性模量，數值上Eo2=Ec；wo2和to2分別為外部U型梁直角拐角末端的寬度和厚度。

采集器尺寸如圖3所示。

圖3 采集器尺寸示意圖Figure 3 Dimension diagram of harvester

2 系統非線性勢函數分析

2.1 磁力計算

圖4所示為磁鐵1和磁鐵2的幾何尺寸示意圖。磁鐵1和磁鐵2在平衡位置處產生的排斥力為[17]：

圖4 磁鐵幾何尺寸示意圖Figure 4 Schematic diagram of magnet geometry

(9)

式中：l1,w1和h1分別為磁鐵的長度、寬度和高度；D為2塊磁鐵之間水平方向間距；Br為永磁鐵的磁性能參數；μ0為真空導磁率。

2.2 勢函數分析

圖5所示為采集器受力分析圖。由圖可知磁鐵在垂直方向磁力的分力Fmv的表達式為：

圖5 采集器受力分析Figure 5 Stress analysis of harvester

(10)

不考慮磁鐵在平衡位置時磁鐵所受重力對懸臂梁的影響，由圖5可知d1和d2間滿足如下關系[18]：

(11)

2塊磁鐵沿垂直方向的磁力為：

(12)

當磁鐵1和磁鐵2在任意時刻位于某一位置時，如Z1(t)=zo1，Z2(t)=zo2，則該采集器內梁的勢能V1與外梁的勢能V2表達式分別為：

(13)

表1 采集器材料參數Table 1 Material parameters of energy harvester

表2 采集器結構尺寸參數Table 2 Structural dimension parameters of harvester mm

圖6 采集器勢能系統Figure 6 Harvester potential energy system

由圖6可知，在外界的隨機激勵下，該采集器的V1和V2隨著d1的取值而產生隨機變化。這種隨機變化體現在勢函數會從單勢阱過渡到雙勢阱。因此，在該采集器受到外界的振動激勵源作用時，內梁在某一時刻處于單穩態振蕩；而其外梁則可能處于雙穩態振蕩模式。由于2者處于隨機變化的振蕩模式下，當磁鐵1越過水平位置時，必然會牽引磁鐵2的運動；當磁鐵2越過水平位置時，必然也會牽引磁鐵1的運動；從而為內、外懸臂梁做大幅度持續振蕩創造了條件，有利于提高采集器對振動能量的采集效率。

3 仿真分析

仿真過程中采用的外界隨機激勵u(t)=Acos (2πft),該激勵為余弦激勵，激勵源的幅值大小為A=0.1；在仿真過程中通過選取不同余弦激勵的激勵頻率f對式(1)和(2)在MATLAB中采用Runge-Kutta法進行數值分析。

由于環境中振動能量大多是低頻振動源，因此仿真過程中選取的頻率變化范圍為0～40 Hz，頻率的步長取為1 Hz；不斷調整采集器內、外梁末端磁鐵間距D，獲取采集器均方根電壓輸出響應結果。如圖7所示為該采集器隨激振頻率f和不同間距D的變化趨勢。由圖可知，采集器存在一個明顯的諧振頻率，并在該諧振頻率下，采集器輸出的均方根電壓值到達最大。當間距D=2 mm時，該采集器的諧振頻率為28 Hz，而當D的取值范圍在大于2 mm,小于10 mm時，該采集器的諧振頻率集中在27 Hz。

圖7 采集器均方根電壓響應輸出Figure 7 RMS voltage response output of Harvester

仿真結果表明：壓電采集器隨著間距D的取值范圍減小，其諧振頻率輸出的均方根電壓逐漸增大，當D=10 mm時，該采集器輸出的均方根電壓為26.095 V，而當D=2 mm時，該采集器輸出的均方根電壓到達了31.47 V。但是采集器有效頻帶為3 Hz并不隨間距D的減小而發生較大的改變。

4 結論

將磁場引入采集器中能拓寬采集頻帶的寬度，同時兼顧采集器結構的緊湊型，筆者提出了一種非線性U型切口壓電振動能量采集器；分析了采集器系統內、外梁勢能的變化趨勢，建立了采集器的理論振動模型；在MATLAB中進行數值模擬分析了激勵源的頻率和內、外懸臂梁末端磁鐵間距D對采集器均方根電壓輸出的影響。

主要結論如下：①采集器內、外梁的勢能趨勢會在采集器受到外界激勵時，處于動態變化中，采集器內梁的勢能趨勢可以從單穩態系統過渡到雙穩態系統；同時采集器外梁也可能從雙穩態系統過渡到單穩態系統。這種隨機變化的不確定性，有利于實現采集器大幅度、持續地振蕩。②伴隨著磁鐵間距D的減小，該采集器在其諧振頻率輸出的均方根電壓逐漸增大，且D的減小對采集器輸出的有效頻帶寬影響不大。

筆者所提出的壓電振動能量采集器可以作為微能量采集器領域中采集器結構設計的一種新思路，但是由于本研究中將磁鐵產生的復雜磁場直接簡化成一種力，可能降低了采集器模型的精確性，因此，下一步應對理論模型進行優化。