再論“反求”“易率”“還原”“回求”之異同 *

王鑫義，郭世榮

（內蒙古師范大學 科學技術史研究院，內蒙古 呼和浩特 010022）

“反求”“易率法”“還原術”和“級數回求”是清代“杜氏三術”傳入后中算家進行級數互求的重要方法，很好地解決了弦矢弧之間的互求問題，并為直觀經驗所不能解決的問題創造了極為便利的條件。明安圖（1692？-1765？）、董祐誠（1791-1823）、項名達（1789-1850）、戴煦（1805-1860）、徐有壬（1800-1860）、李善蘭（1811-1882）等中算家在各自的著作中對這些方法均有介紹。1873年，左潛（？-1874）的《綴術釋明》和徐有壬的《割圓八線綴術》對這些方法的定義及其之間的關系有所介紹。可以說，左潛是研究割圓級數的中算家中較早對此問題進行詳細介紹的關鍵人物。

此 外，李 儼（1892-1963）［1］、何 紹 庚（1939-2021）［2］、羅 見 今［3］、特 古 斯［4-5］、郭 世榮［6］、王榮彬［7］、甘向陽［8-9］、孫力［10］等對四種方法之關系亦有論述，其中，尤以特古斯的研究用力頗深，見解獨到。他們大多把運算步驟詮釋成代數公式，使之與“級數反演”的聯系清晰顯見，這無疑是很實用的手段，但忽略了諸多細微之處。以下先就前人觀點撮述如下。

1 論點摘編

左潛在《割圓八線綴術》序中說：“所謂‘還原術’，即明氏弧背求正矢，又以正矢求弧背之法也。所謂‘商除法’，又即‘還原術’之變法。”［11］學界對左潛的這一解釋持有不同觀點。李儼認為：“已知弧背求通弦率數法，再由通弦求弧背率數法，李善蘭稱為‘級數回求’，徐有壬稱為‘還原術’。”［1］331這表明“級數回求”即為“還原術”。何紹庚認為：“‘反求’即‘級數回求’，只是后者的表述方式不同，‘反求’問題與反函數問題是完全一致的。”［2］同樣的，羅見今認為：“明安圖‘反求’的思路屬于無窮級數求反函數，使用了‘級數回求法’。”［3］232韓琦也提到：“‘級數回求’是級數‘反演’的一項方法，明安圖最先探討了‘級數回求’。”［12］32事實上，在《割圓密率捷法》中尚無明確的“級數”概念，“級數”這一術語由李善蘭首創，“級數”的使用，體現了李善蘭對無窮和變量的認識。

進一步，郭世榮得出：“‘還原術’即‘級數反演’，或稱‘易率術’或‘級數回求’。”［6］666甘向陽也認為：“董祐誠的‘反求’與明安圖的‘級數回求法’基本相同，‘還原術’即明安圖的‘回求法’，戴煦亦采用過明安圖的‘級數回求法’。”［9］2他們將四種方法視為同類，但未結合原文中的具體問題展開分析和說明。

王榮彬就前人的相關研究予以評述。［7］王渝生認為李善蘭是以有限步驟經歸納方法反求冪級數。［13］孫力則指出：“‘還原術’類似‘消元法’，左潛認為‘比例商除法’為‘還原術之變法’似應有誤。”［10］72特古斯則把“還原術”和“易率法”視為“明安圖變換”的不同表現形式，［4］36認為“易率法”是“級數回求法”的推廣，［4］32“級數回求法”即“還原術”，［4］36而“還原術”是“易率法”的一個特例［5］。特古斯的研究對于理解中算家的各種方法的本質來說無疑是重要的，但就其中的細節論述不多。

另外，臺灣地區的學者對這一問題也有探索。何嘉祥認為：“‘易率法’和‘級數回求’有很多相似之處，但又有較大差別。”［14］131同時，他指出項名達使用“易率法”時用到了“長除法”，還用現在的數學知識揭示了幾種方法的本質區別。阮錫琦的觀點［15］與孫力的觀點一致。

上述各家觀點大體可概括為相同與相異，前者注重尋求古今方法的相通之處，忽略了方法的實施和細節的處理；后者以特古斯的觀點為代表，把對數列、多項式的研究轉化為對函數的研究，引用函數論的有關知識，從而獲得幾種方法之關系。

2 原文中的表述與操作

以下，筆者考察中算家的具體操作與思路，并對相關問題進行分析，從而說明各方法之間的異同之處。

明安圖在《割圓密率捷法》中首創獨特的割圓級數來表示法的來源與基礎，可概括為割圓術幾何方法的拓展、連比例關系的構造和《數理精蘊》相關內容的吸收。［16］如在卷三的“反求”問題中，由弧長求通弦公式“反求”得到通弦求弧長公式，而通弦的率數由弧長得來，弧長的率數又是根據通弦的率數確定的。已得到的各率系數分母都具有相同的形式，有一定的規律可循，而在已知通弦求弧長的問題中，所得的各率系數分子中有奇零、不盡的，出現這樣的情形就用分數來表示①①這是由于明安圖“規定分母，調整分子”所引起的，左潛則在《綴術釋明》中以徐氏“綴術”改進了此問題，從而避免了奇零得數的出現。。原文中的操作為：將又二率各數重復列為上下兩行，各率數橫列七項，上下對齊，用下行各數自右向左依次遍乘上行，乘得的率數依次降位，十六率后省去不用，再將乘得的各率系數分別相加，可依次得到又六、八……十六率各率數的表達式。［17］914-915這一過程可簡述為：先通過已求得的又二率自乘，將自乘后的結果作為以后求各率數的基礎，進而去求后面的各率數。同時，規定分母，調整分子，絕大部分需要重新調整系數分母，即明氏所說的“通之，使其同母”，調整后不僅同率項相消方便了運算，而且使得用帶分數表示的系數分子化為了整數。

董祐誠在《割圓連比例術圖解》中稱：“弦矢求弧即弧求弦矢之還原”，他首先使用了“還原”一詞。以連比例四率法，在“垛積還原”這一方法的啟發下，董氏獨立地給出“級數回求”的方法，從而成功地解決了弦矢求弧問題。［18］他的“還原”與明安圖的“反求”，在運算方法上大體相同，在具體運算時，尋求不變量或規律來求其他各項，不同的是董氏建基于垛積術，以遞加數來解釋各率系數。

由于“零分起度弦矢率”中的第一、第二形腰部分在圓外，與“整分起度弦矢率”有所不同，項名達引入了“借率法”和“易率法”，兩種方法經常配合使用。雖然可以透過“借率法”把所要求的用率表示出來，但在求弦矢率時，二率皆是由本弧通弦表示，需通過轉換，即“易率法”。“易率法”可以分成兩個步驟，先是“用率”，后是“定率”。所謂“易率法”是將“本率”（所求率）轉化為與其相等（相當率）的“借率”（已知率）來求解，簡單來說，是將所求諸率用“借率法”所得諸率來代換成新的級數展開式的方法。“本率”即“所求率”，“借率”即“已知率”，本率各率數為奇數時，與之對應的借率各率數均為奇數。固定了本率、借率各率數的位置后，只記系數，寄其分母，僅調整它們的分子。為能消去同率項，各率系數的分子、分母均做了調整，在運算時更利于相消。“易率法”溝通了“借率”與“本率”，要得到第一形腰的“易率式”，需用各“本率”代換各率，即用已知率代替所求率。由于各率系數不同，需要調整所求率和已知率的各率系數，項名達將調整系數后的各率稱為“定率”。戴煦給“定率”所作的注解為“易借率為本率”。這里包含了多項式的自乘、除法（分母為單項式，即一率），級數的自乘、除法（一率除之，即降一率），但原圖中都省去了相關的計算過程，直接給出了最后的計算結果。

《外切密率》中，戴煦先用一推演總圖，再用細分的圖表，附以文字敘述各率分的“分子乘法”以及“分母除法”的遞推規則，從“余弧求切線”開始，還涉及“改率”和“添分母”的問題。因為“實”與“法”中均為齊次多項式，無法進行商除運算，本質是多項式的恒等變換。在“割線求半弧”中，“添分母”相當于“擴分”，［19］本意為“不可失本數”，不改變原分數的值。“添分母”的意義在于，不僅便于遞求分母與分子，而且可使各率分子的變化規律明顯可見。在“割線求本弧”等問題中，本可利用“還原法”，只需要取“本弧求割線半徑差，率分倍之，命為連比例三率，以半徑為一率，依法求得五、七、九等率”［20］。但“分子之 所 由 來 究 不 可 見”，［20］通 過“變易之”（相當于“代換法”）所求的各率分數的分子變化規律顯然可見。對于各率分數的分子為單一的情形，分別相乘后，新的各率分數的分子就不會繁雜。戴煦采用“還原法”，若不用“還原法”，則至少要分為三個步驟①①其中包含商除運算和整體代入，代入的對象至少為多項式，運算量較大。；按“還原法”來計算，減少了運算量，計算更簡捷。顯然，戴煦在這里只是為了考慮各率系數分子的變化規律而不用“還原法”，并未考慮計算的復雜度問題。同時，也說明戴煦在尋求“立法之原”時，更多的是著力于對各率系數的分子、分母變化規律的歸納與總結。

在《割圓八線綴術》中，徐有壬所稱的“首層率數”指第一項，先將第一項的系數化為整數，以“算式”表示級數展開式各項，所得的結果為第一率式，列出比例式，用“比例法”求解其他各率式，對于分母不統一的先通分，最后通過加減相消得到所求率式。李善蘭在《級數回求》中利用“新”的表示方法，舉出具體的算例，目的是通過對具體算例的推演，使之成為“一切級數互求之準繩”。用“⊥”和“ㄒ”分別表示“+（加）”和“-（減）”，分式的分子、分母和現今的分子、分母在形式上正好相反。其“回求”的方法與明安圖的“反求”、徐有壬的“還原術”等大體一致：先將原率式自乘，再用“比例法”求得其他各率式，最后通過加減相消，使所求率式僅留第一項。

3 異同分析

從表達方式來看：明安圖進行“反求”時以借根方入算，保留了具體過程。董祐誠運用“垛積還原”時引入的遞加數是用賈憲三角的各行數字來解釋與弦矢各率系數的對應關系。而項名達在遞加數的基礎上引入了遞加圖，相當于給出了二項式定理的系數表。徐有壬研讀了《四元玉鑒》后，透過四元術創造了“綴術”。戴煦為《四元玉鑒》補細草，用天元術表達各率分數。李善蘭早期研究四元術，在《弧矢啟秘》中雖然使用“尖錐術”，但是用天元術表達相關算式；在《級數回求》中，他已擺脫前人窠臼，改變了原來的表示法，不再依賴于中算傳統下的“位置模式”。天元術中的籌式是一種取決于位置的有關多項式的表征方法，在列式時不需要額外的加號、減號。［21］做除法運算時，天元術和借根方在位置方面對運算的影響最明顯，如徐有壬利用加減差的形式來尋求各項之間的遞推規律，出現“不受除”的情形，就以“寄分”方式來處理。戴煦、徐有壬等還用多樣的方式來表達，如戴煦把復雜的推演步驟細分為算表。徐有壬則將豎列改為橫列，原豎列的各算式中率數為單層，即單項式；當率數變為多層，即多項式的時候，豎列的方式不便于表達。左潛則說：“借根方之不能立式，究不如天元一之巧變莫測也。”［11］他選擇天元術作為改造《割圓密率捷法》的工具，認識到徐氏“綴術”的使用可以避免明氏創造的公比不同的連比例和“反求”時帶分數的出現。［22］

從具體操作來看：徐有壬的“還原術”、戴煦的“還原法”和李善蘭的“級數回求法”，均與明安圖的“反求法”大體無異，但對細節的處理方式不同。明安圖以又三率為保持不變的乘數，增加了運算的次數，若以每次得到的新率數為乘數，會減少運算的次數。從整體結構上來考慮，他是為了便于處理各算式中的分子與分母。而徐有壬的做法與之不同，是為了便于快捷計算，能夠隨乘隨除。這是因為同一新率數可由不同的率數相乘得到，如：

徐有壬的“術”作為一個公式而單獨存在，通過“術”達到統一和規范的目的，其重點僅非系數的推導，而在于各項之間的遞推關系。“綴術”的本質是以算式和率式為基礎的連綴而成的運算方法。戴煦則注重各術互求的實現過程，對內在算理鮮有說明，似乎把內在算理都歸結為各率分數的分子變化規律上：對于各率分數的分子均為單一或簡單的情形，采用“還原法”；而對于各率分數的分子量大繁雜的情形，分為幾個步驟進行，再用“變易之”。戴煦所稱的“改率、換率和變易”與項名達“易率法”中的“用率”大體一致，而“易率法”中的“定率”則為規定新化解后的率數的系數，從而得到該率式的線性組合式。

從計算思路來看：“級數反演”是根據兩個序列所滿足的特殊關系，給出它們的相互表示方法。［23］根據冪級數的唯一性定理，則先由一冪級數反轉求得另一冪級數，再用比較系數法逐步確定反轉后冪級數各項的系數。［24］實際上，這里的比較系數法即為待定系數法的一種，與中算家所采用的方法有差別。反函數法不同于中算家的方法，前者是分析的，后者是歸納的；并且四種方法的使用都是在未完全引入變量以前，前者規定級數必須收斂，后者則剛好處理的是收斂級數；前者嚴格使用無窮小，后者則只是直觀感覺上的無窮小；前者關注各項系數的關系之本質，后者關注各率分數的分子、分母變化規律。總體而言，中算家主要利用不完全歸納方式，著眼于無窮級數的系數，以直觀與經驗尋找規律性，歸納為一般形式，都以初等運算處理，［25］往往通過系數的排列和遞推等方式實現，僅給出推演方法，很少含有算理分析與證明。因而，將四種方法等同于“級數反演”并非完全可行的。

4 結語

對各方法的異同分析，不可忽略借根方和天元術的影響，也不能忽視對計算方法的選擇。中算家借助于借根方或天元術來表達級數，所關注的焦點已不再是二者之爭，而是提升為問題的分析、規律的探索和各率系數分子變化規律的歸納。這一時期中算家對于級數的“反求”，從級數的自乘與加減相消開始，又與“易率法”等地結合，再由各率分數分子的繁雜情況來選擇方法，并配合“比例法”等求解，最后給出所謂“級數回求”的“準繩”。囿于“位置模式”下沒有變量這一概念，中算家在表達與解決問題時受到極大的限制。由此可見，中算家對于同類問題的認識是不斷改變的，他們所用的四種方法也并非完全一致，且在實施算法前對方法的采用是有選擇性的。在級數互求進路上，中算家的核心意圖是不斷向算法的內在算理接近，把探尋內在原理、簡化演算形式與計算方法等作為不變的訴求。