以整體性思考促成結構化學習的發生

牛獻禮

【摘 要】數學課程內容的一大特點是整體性，教學應當基于對數學知識結構的整體性思考來設計和組織教學，發展學生的結構化思維。在“有余數的除法”的教學中，筆者首先抓住新舊知識的聯結點——平均分，讓學生經歷了“余數”與“有余數的除法”等概念的形成過程;其次，抓住“有余數的除法”和“表內除法”的內在聯系，鼓勵學生再創造有余數除法的算式，理解有余數的除法的算式中各部分的意義及其關系;最后，引導學生回顧與反思，把“有余數的除法”新知納入已有的知識體系之中，推動學生對數學內容的整體把握和有效建構，從而達到完善和發展學生原有認知結構的目標。

【關鍵詞】整體性思考 有余數除法 結構化學習

數學課程內容的一大特點是整體性，包括相同課程領域內不同知識之間的邏輯關系和層級關系（呈現不同數學知識之間的實質性關聯），以及不同課程領域之間的實質性聯系。教學應當基于對數學的知識結構的整體性思考，通過突出核心內容，關注不同內容之間的相互聯系，以幫助學生理解數學內容的整體性特征，從而達到完善和發展學生原有認知結構的目標。下面，筆者以“有余數的除法”一課的教學為例，談談自己的思考與實踐。

一、教學片段一

1.出示：把10根小棒分給小朋友，每人分2根，可以分給幾人？每人分3根、4根、5根呢？

要求：同桌兩人合作，動手分一分小棒，并把每次分的結果記錄在表格里。

每人分幾根 分給幾人 還剩幾根

2.全班交流

隨著學生口述，逐步呈現如下四種分法。

把10根小棒分給小朋友。

師：在第二種分法中，最后剩下1根為什么不分了呢？

生：因為是每人要分3根，最后剩下這1根，不夠再分給1個人了，就不分了。

師：在第三種分法中，最后剩下2根為什么也不分了呢？

生：因為是每人要分4根，最后剩下這2根，不夠再分給1個人了，就不分了。

師：仔細觀察這四種分法，它們有什么相同點？

（小組討論，全班交流）

生：第一種和第四種分法都是平均分，因為每人分得一樣多。

（課件演示：把每份圈一圈，發現每份確實同樣多）

師：想一想，第二種和第三種分法是平均分嗎？為什么？

生1：不是平均分，因為最后有剩余。如果把剩余的1根給第1人，第1人就多了;如果給第2人，第2人就多了……每人分得不一樣多。

生2：我覺得它們都是平均分的，因為每份分得也是同樣多的。

（課件演示：把每份的根數圈一圈，直觀發現“每份同樣多”）

師：不管每人分3根，還是每人分4根，只要每人分到的同樣多，就是平均分！只不過，分到最后剩下1根或者2根，不夠再分了，就剩余下來，這是“平均分”的一種新情況。

3.比較分類

師：根據剛才的討論，你能給這幾種分法分分類嗎？

生：第一種和第四種分一類，它們“正好分完”;第二種和第三種分一類，它們“分后有剩余”。

板書：

【思考】布魯納認為：“學習就是認知結構的組織和重新組織。”只有抓住聯系，才能更好地把握結構、理解結構、生成意義。數學教材的編排本身就具有自己的結構體系，但是如何將教材的知識結構轉化為學生的認知結構，讓學生能清晰地認識、有效地提取，就需要教師在設計教學時，遵循數學知識內在的邏輯機理，通過結構化的設計、模塊式的意義重構、遞進式的教學推進，幫助學生建立清晰的知識結構。在上述教學中，筆者抓住新舊知識的聯結點——平均分，創設“分小棒”的操作情境，讓學生自主發現在“平均分”時，存在“正好分完”和“分后有余”兩種情況，體會“余數”和“有余數除法”產生的必然性。

學生僅有初步的知識結構框架是遠遠不夠的，還需對結構內部相互關聯的“結構點”進行“意義重構”。在上述教學中，筆者用一個表格整合了本節課所有操作活動的信息，這樣做更有利于學生對平均分物品和除法運算的形成有完整的認識，更有利于概念的抽象和學生對概念的理解，也有利于新舊知識關系的溝通。筆者抓住新舊分法的“異同點”，對“分小棒”的多種情況進行比較和歸類。一是引導學生厘清“正好分完”和“分后有余”兩種情況的內在聯系與本質區別，明晰“平均分”的內涵和外延——不管是“正好分完”還是“分后有余”，只要每份同樣多，都是平均分，構建“平均分”新模型，幫助學生更加深刻地把握“平均分”的本質。二是經歷余數與有余數除法等概念的形成過程，學生在多次操作的過程中強烈地感知“剩余”，并通過對“如何處理平均分的剩余部分”的辨析，初步了解“分后有剩余”時剩余部分數量與總數、每份數之間的關系，初步建立余數的表象。

二、教學片段二

1.探究“有余數的除法”的算式

師：想一想，怎樣用算式記錄這兩種“正好分完”小棒的過程？

學生口述，師板書：

10÷2=5（人）

10÷5=2（人）

師（指分后剩余1根的分法）：想一想，怎樣用算式記錄這種“分后有剩余”的情況呢？試一試。

學生嘗試完成后，在小組內交流算式和想法。全班交流時呈現以下三種典型算式：

（1）3×3+1=10（根）

（2）10÷3=3（人）剩1（根）

（3）10÷3=3（人）……1（根）

師：仔細觀察這些算式，比一比，你覺得哪個算式最能清楚地記錄分小棒的過程？

師（小結）：后兩種算式都能清楚地記錄分小棒的過程，數學追求“簡潔”，10÷3=3（人）……1（根）更合適。

師：你能結合分小棒的過程，說一說算式中每一個數表示的意思嗎？

生：10表示要分10根小棒，3表示每人分3根，3人表示分給了3人，1根表示分完后還剩下1根小棒。

師：在過去學習的除法算式中，10、3和3人分別叫什么名稱？你覺得最后的1根應該叫作什么？

師（指分后剩余2根的分法）：你會用算式記錄這種“分后有剩余”的情況嗎？

（學生獨立完成，集體評議）

師（板書）：10÷4 = 2（人）……2（根）

師：你能結合分小棒的過程，說一說算式中每一個數表示的意思嗎？（生答略）

2.算式比較，理解“余數”與“除數”的關聯性

師：請大家仔細觀察這些除法算式，它們有什么相同點和不同點？

（學生各抒己見，教師利用結構化的板書，逐步構建除法的知識結構體系）

師（小結）：像這樣“平均分東西”時，都可以用“除法算式”來記錄分東西的過程和結果。不同的是，以往學習的除法算式都“沒有余數”，是“表內除法”，而今天學習的除法算式“有余數”，這就是本節課我們學習的“有余數的除法”（板書課題）。

師：我們再來比較一下這兩道有余數的算式，為什么第一道算式的余數是1，第二道算式的余數是2呢？

生：因為第一種分法是剩余1根，第二種分法是剩余2根。

師：因為第一種分法是每人分3根，除數是3，所以剩余1根，余數是1;第二種分法是每人分4根，除數是4，所以剩余2根，余數是2。余數跟除數有關。

【思考】數學學習需要經歷將現實情境去偽存真，抽象出數學知識與特征，并用數學方式表征內化的過程。上述教學中，教師抓住“有余數除法”和“表內除法”的內在聯系，借助“表內除法”的認知基礎和活動經驗，鼓勵學生再創造算式，幫助學生初步建立有余數的除法中被除數、除數、商與余數之間的結構關系，初步形成有余數除法的表象。學生經歷了由“表內除法算式”類推出“有余數的除法算式”的過程，初步培養了推理能力;經歷了“直觀動作思維—具體形象思維—抽象邏輯思維”的演變過程，初步培養了抽象思維能力;學會用數學算式描述平均分物品時有剩余的現象的過程和結果，建立“生活情境”與“數學符號”之間的聯系，實現“現實世界”到“數學符號”的抽象，經歷“有余數的除法”模型的建構過程，初步培養了數學建模能力;初步感知除數與余數的關系，為下節課探索余數與除法的關系做好鋪墊。

三、教學片段三

1.圈一圈，填一填

（學生獨立完成，教師巡視指導，然后全班交流）

師：這兩個問題都用算式9÷2=4……1解決，想一想，它們表示的意思一樣嗎？

生：雖然算式一樣，但由于分法不同，表示的意思也不同。但是，無論是“每人分2支”，還是“平均分給2人”，都會出現“分后有剩余”的情況，都可以用有余數的除法算式來表示。

2.拓展

師：你還能用“9÷2=4……1”編一個分東西的數學故事嗎？

師（引導）：無論是分小棒、分鉛筆，還是分糖，都能用數學算式來表示，你有什么感受？

生：數學的力量真大呀！

【思考】唯有學生自主地把數學概念與數學思想置于自身既有的體系之中加以結構化，并且能夠適當地用來解決問題或是應用于新的情境，才能達到真正意義上的理解。在上述教學中，先將“有余數除法”模型由“包含分”遷移到“平均分”，并借助直觀的“圈”“畫”等方式，引導學生進行觀察和比較，厘清兩種分法的異同，溝通兩種分法的聯系，對比中辨析無論是“平均分物”還是“包含分物”，都有分不完的時候，都可以用“有余數的除法算式”表示分物的過程和結果，從而完善“有余數的除法”新知模型。接著，借助“編數學故事”，將有余數除法模型由“分鉛筆”遷移拓展到“分書本”“分糖”“分組”……從而溝通了數學與生活的聯系，培養學生用數學的眼光觀察世界，用數學的思維分析問題、解決問題的能力。

利用課件和板書回顧學習過程，學生暢談本節課的收獲和體會，逐步梳理、形成如下知識結構體系：

師：通過這節課的學習，我們知道了不僅存在沒有余數的除法，也存在有余數的除法。事實上，沒有余數的除法也可以看成有余數的除法中“余數為0”的特殊情況。

【思考】開展結構化學習，不只是為了完成知識的學習，形成結構化的認知圖式，更重要的是讓結構化思維從內心生長出來。為此，有必要讓反思成為課堂學習的重要環節，學生在學中思、在思中悟。荷蘭著名數學教育家弗賴登塔爾說：“只要兒童沒能對自己的活動進行反思，他就達不到高一級的層次。”為此，在上述教學中，通過“回頭看”這樣一種思維活動促進學生對本節課所學知識及學習過程進行回顧和反思，把新學的知識納入已有的知識結構體系之中，體會數學的邏輯美和簡潔美，形成新的認知結構體系。

這樣的結構化教學，可以推動學生對學習內容的整體把握和有效建構，促使學生慢慢養成結構化的思維方式，提升學生的遷移建構能力。課末教師的一句話“事實上，沒有余數的除法也可以看成有余數的除法中‘余數為0’的特殊情況”，再次溝通了新舊知識的聯系，幫助學生深化了對概念的理解，完善了學生的認知結構。