一類平面五次擾動系統的極限環分支

楊春妮，洪曉春

(1.陜西師范大學 數學與統計學院, 陜西 西安 710119;2.云南財經大學 統計與數學學院, 云南 昆明 650221)

為了解決希爾伯特第16問題,Aronld于1990年提出了弱化的希爾伯特第16問題[1],即研究擾動系統的Abel積分孤立零點個數的上界問題.在此之后的幾十年里，大量學者對Abel積分零點個數問題進行了研究，也獲得了很多優秀成果,但是此問題也沒有得到徹底解決.

對于四次哈密頓系統

(1)

其中a,b,c∈.文獻[2]證明了系統(1)在(α+βx+γx2)y擾動下的極限環個數至少是2.

對于擾動的三次系統

(2)

文獻[3]證明了系統(2)的極限環個數不超過12.

對于擾動的三次系統

(4)

文獻[4]使用判定函數方法[5]及數值模擬方法[6]得出系統(4)可以同時分支出3個極限環,而且給出了3個極限環的具體位置.

對于擾動的四次系統

(5)

文獻[7]使用判定函數及數值模擬的方法得出系統(5)可以同時分支出3個極限環.

對于擾動的五次系統

(6)

文獻[8]使用判定函數及數值模擬的方法得出系統(6)可以同時分支出3個極限環.

對于擾動系統

(7)

其中R(x,y,λ)=mx2+ny2+ky4-λ.文獻[9]使用判定函數及數值模擬的方法得出系統(7)可以同時分支出15個極限環,而且給出了15個極限環的具體位置.

對于五次哈密頓系統

(8)

文獻[10]對系統(8)相圖情況進行了分類，分為a,b,c,d,e,f,g7種情況.進一步證明了系統(8)在任意n次多項式擾動下的極限環個數不超過54n-13.

(9)

其中0<ε?1,a0,a1,a2,a3∈.當a3=0時,文獻[11]得出系統(9)可以同時分支出3個極限環，給出了出現雙尖點極限環的情況.

繼續使用判定函數及數值計算的方法,得出系統(9)可以同時分支出4個極限環.當ε=0.001,a0=-0.231 771,a1=-2,a2=2.8,a3=-2.6時,使用數值模擬方法給出了4個極限環的具體位置,同時呈現了雙尖點極限環.

1 對非擾動系統的定性分析

這一部分，將對系統(9)所對應的非擾動系統的性態進行分析.

系統(9)對應的非擾動系統為

(10)

圖1 非擾動系統(10)的相圖

系統(10)的首次積分為

(11)

由(11)得

(12)

當y=0時,由(11)得

x6-3x4+3x2-6h=0.

(13)

對于任意給定的h(0

2 判定函數與判定曲線

這一部分，將引入擾動系統的判定函數、判定曲線等概念,以及需要使用的定理.

文獻[5]中研究了擾動系統

(14)

其中p(0,0)=q(0,0)=0.系統(14)的Abel積分為

A(h)=∮Γhy[q(x,y)-λ]dx-x[p(x,y)-λ]dy.

(15)

令Abel積分A(h)=0,使用格林公式,我們得到

(16)

其中Γh(D)表示閉曲線Γh所圍的區域.函數λ(h)稱為擾動系統(14)的判定函數,判定函數對應的圖像稱為判定曲線.

定理1[12]對于任意給定的λ0,

(i)如果點(h0,λ(h0))是直線λ=λ0與判定曲線λ=λ(h)的交點,且λ′(h0)>0(<0),則當λ=λ0時,系統(14)在Γh0附近有一個穩定(不穩定)的極限環.

(ii)如果直線λ=λ0與判定曲線λ=λ(h)沒有交點,則當λ=λ0時,系統(14)沒有極限環.

同理,如果隨著h的增加,Γh向內收縮,則極限環的穩定性與之相反.

3 擾動系統(9)的極限環分支

這一部分，將給出擾動系統(9)的判定函數及判定曲線,使用判斷曲線得出結論,再用數值模擬方法對結論進行了檢驗,給出極限環的具體位置.

對于擾動系統(9),可得其Abel積分為

A(h)=∮Γh(a0+a1x2+a2y2+a3x2y2)ydx.

(17)

對于(17),使用格林公式得

A(h)=?Γh(D)(a0+a1x2+3a2y2+3a3x2y2)dxdy.

(18)

令A(h)=0,由(18)可得2個判定函數如下:

(19)

(20)

當a1=-2,a2=2.8,a3=-2.6時,由(12)、(13)、(19)、(20),得判定函數如表1.

表1 當a1=-2,a2=2.8,a3=-2.6時, 擾動系統(9)的判定函數

由表1表示的函數,可以得系統(9)的判定曲線見圖2.由定理1及系統(9)的判定曲線,可以得出以下定理.

圖2 擾動系統(9)的判定曲線 圖3 系統(9)的4個極限環圖

定理2對于擾動系統(9),當a1=-2,a2=2.8,a3=-2.6,0<ε?1時,由系統的判定曲線,可得到以下結果.

(i)當a0>0.307 368 或a0=-0.377 335 時,系統有1個極限環.

(ii)當-0.377 335

(iii)當0≤a0<0.307 368 或a0=-0.307 992 時,系統有3個極限環.

(ⅳ)當-0.307 992

特取a0=-0.231 771,a1=-2,a2=2.8,a3=-2.6,ε=0.001,使用數值模擬方法得到系統(9)的4個極限環,由大到小的極限環順次通過點(1.863,0),(1.684,0),(1,0)(即雙尖點極限環),(0.4568,0),它們的穩定性順次是: 穩定,不穩定,穩定,不穩定，其中1個是雙尖點極限環,見圖3.

4 結語

使用定性理論和數值計算方法研究了擾動系統(9)的極限環分支情況,結果表明,在特殊五次擾動下,當a1=-2,a2=2.8,a3=-2.6,-0.307 992

以上內容為純理論研究,對于許多實際問題，若系統能夠出現穩定極限環，這是一種非常好的性態，例如在生物數學中，研究人員也研究這一類極限環問題,見文獻[13,14,15]等.