挖掘隱含條件 縮小角的范圍

張剛

摘 要：本文通過列舉幾例來說明縮小角的范圍的常用策略，如利用三角函數(shù)值符號“縮角”，利用三角函數(shù)有界性“縮角”，利用三角函數(shù)值大小“縮角”，利用“sinα±cosα”重要結(jié)論“縮角”等.

關(guān)鍵詞：隱含條件;角的范圍;三角函數(shù)

中圖分類號：G632?? 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A?? 文章編號：1008-0333（2022）04-0002-04

在三角函數(shù)求值、求角問題中，都需要注意角的取值范圍，如果所給條件范圍合適，則迅速破解，但大多數(shù)情況下，題目條件都會設(shè)置一定障礙，特別是角的范圍.因此，面對三角函數(shù)問題，就需要挖掘題目的隱含條件，縮小角的范圍，進(jìn)行合理取舍.

1 利用三角函數(shù)值符號“縮角”

例1 已知sin75°+α=13，且0°<α<180°，則sin15-α=.

解析 設(shè)t=75°+α，即t-75°=α，sint=13.

因為75°<75°+α<225°，所以75°

又因為sint=13>0，所以75°

又因為sint=13<12，則150°

所以sin15°-α=sin15°-t+75°

=sin90°-t

=cost

=-1-sin2t

=-1-19

=-223.

評注 因為0°<α<180°，所以75°<75°+α<225°，這個范圍內(nèi)cost的符號可正可負(fù)，上述解法中縮小角的范圍的方法是根據(jù)函數(shù)值的符號，如由sint=13>0，得到75°

但是這還不夠，這個范圍內(nèi)cost的結(jié)果仍然有兩種可能，因此需要進(jìn)一步縮小角的范圍.本題由于sint=13<12，則0°

2 利用三角函數(shù)有界性“縮角”

例2 若α，β∈0，π2，cosα-β2=32，sinα2-β=-12，則cosα+β=.

解析 因為α-β2∈-π4，π2，

α2-β∈-π2，π4，

所以sinα-β2=±12，

cosα2-β=32，

cosα2+β2=cosα-β2-α2-β

=cosα-β2cosα2-β

+sinα-β2sinα2-β

=12或1.

故cosα+β=2cos2α2+β2-1=-12或1.

但是當(dāng)cosα+β=1時，α+β=0，故舍去.

所以cosα+β=-12.

評注 本題解題過程中，由sinα-β2=±12無法排除其中的任何一個值，因此cosα+β出現(xiàn)兩個值-12或1.但是當(dāng)cosα+β=1時，α+β=0，不滿足α，β∈0，π2，所以1應(yīng)該舍去.因此，三角問題若出現(xiàn)兩解情況，一般情況下都是直接計算，最后進(jìn)行驗證，從而排除增解達(dá)到縮角的目的，

3 利用三角函數(shù)值大小“縮角”例3 （1）已知α，β為銳角，tanα=17，sinβ=1010，求a+2β的值.

（2）已知α是銳角，cosα-π6=513，求sinα-π6的值.

解析 （1）由sinβ=1010，得cosβ=31010.

則tanβ=13，tan2β=2tanβ1-tan2β=34，

tanα+2β=tanα+tan2β1-tanαtan2β=1.

因為α，β∈0，π2，tanα=13<1，sinβ=1010<22，得0<α<π4，0<β<π4.所以0<α+2β<3π4.

故a+2β=π4.

（2）因為cosα-π6=513，

所以sinα-π6=±1213.

又因為α是銳角，-π6<α-π6<2π3，-12

故sinα-π6=1213.

評注 本題（1）的信息隱藏在tanα=17，sinβ=1010這些具體的函數(shù)值內(nèi)部.對于（2），雖然

sinα-π6的值可能是±1213，但是由于-π6<α-π6<2π3，所以-12

例4 ?如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，以O(shè)x軸為始邊作兩銳角α，β，它們終邊分別與單位圓交于A，B兩點，且A，B的橫坐標(biāo)分別為7210，31010.

圖1

（1）求tan∠AOB;

（2）求α+2β的值.

解析 因為α，β是銳角，cosα=7210，cosβ=31010，則sinα=210，sinβ=1010.

所以tanα=17，tanβ=13，

tan∠AOB=tanβ-α=13-171+13×17=211，

tan2β=2×131-19=68=34，

tanα+2β=tanα+tan2β1-tanαtan2β=17+341-17×34=1.

因為tanα=17<1，tanβ=13<1，

所以0<α<2β<3π4.

因為在區(qū)間0，3π4上正切值為1的角只有一個π4，所以α+2β的值是π4.

評注 本題中，因為0

4 利用“sinα±cosα”重要結(jié)論“縮角”

例5 若π2<α<π，且sinα+cosα=105，則tanα=.

解析 將sinα+cosα=105兩邊平方，得2sinαcosα=-35.

所以2sinαcosαsin2α+cos2α=2tanαtan2α+1=-35.

進(jìn)而tanα=-3或-13.

因為π2<α<π，sinα+cosα=105>0，

所以sinα>cosα.

進(jìn)而tanα>1，故tanα=-3.

評注 sinα±cosα的值的正負(fù)隱含了sinα，cosα的絕對值的大小關(guān)系.如果對等式平方，則根據(jù)sinα，cosα的正負(fù)，可以判斷sinα，cosα的正負(fù).對于此類問題，根據(jù)符號法則可得到sinα，cosα的大小關(guān)系，進(jìn)而可判斷tanα大于1還是小于1.

5 利用輔助角公式求值“縮角”

例6 已知θ∈π2，π，1sinθ+1cosθ=22，則cos2θ=.

解析 由條件，得sinθ+cosθsinθcosθ=22.

即sinθ+cosθ=22sinθcosθ.

所以2sinθ+π4=2sin2θ.

解得θ+π4=2θ+2kπ或θ+π4=π-2θ+2kπk∈Z.

即θ=-2kπ+π4或θ=π4+2kπ3k∈Z.

又θ∈π2，π，得θ=11π12，2θ=11π6.

所以cos2θ=cos11π6=cos2π-π6=cosπ6=32.

評注 利用三角函數(shù)關(guān)系構(gòu)造方程（組）直接求解出sinα，cosα的值后，借助三角函數(shù)輔助角公式，根據(jù)π2<α<π很容易舍掉多余的解，實現(xiàn)縮角目的，這種方法比較容易掌握.

6 利用三角函數(shù)單調(diào)性“縮角”

例7 已知銳角α，β滿足sinα=255，cosβ=1010，則α+β=（? ）.

A.π4 B.3π4

C.π4或5π4 D.π4或3π4

解法1 因為a，β為銳角，

所以cosα=55，sinβ=31010 .

進(jìn)而cosα+β=cosαcosβ-sinαsinβ=55×1010-255×31010=-22 .

又0<α+β<π，所以α+β=3π4.

解法2 因為a，β為銳角，

所以cosα=55，sinβ=31010 .

進(jìn)而sinα+β=sinαcosβ+cosαsinβ=255×1010+55×31010=22.

因為sinα>sinπ3，cosβ

所以α+β>2π3.

故α+β=3π4.

評注 采用正弦求值，由于正弦函數(shù)在區(qū)間0，π上不單調(diào)，會出現(xiàn)兩解，舍掉增解不容易掌握，而采用余弦求值，由于余弦函數(shù)在0，π上為單調(diào)遞減，角度唯一確定，不需要討論.可見在某個區(qū)間內(nèi)求角度大小，采用在該區(qū)間上單調(diào)的函數(shù)更容易確定縮角，排除增解求出數(shù)值.

7 利用三角函數(shù)合理公式“縮角”

例8 已知在△ABC中，sinC2=104.求cosC+π6的值;

解析 因為sinC2=104，所以cosC=1-2sin2C2=1-2×1042=-14.

在△ABC中，

sinC=1-cos2C=1--142=154，

所以cosC+π6=cosCcosπ6-sinCsinπ6

=-14×32-154×12=-3+158.

評注 已知sinC2=104，求cosC2還是可行的，再利用二倍角求得sinC=154，但是再求cosC就要討論角C是銳角還是鈍角，而且還很難判斷.而本題采用的是直接利用余弦的二倍角搶先求出cosC=-14，那么求sinC=154就輕而易舉了.可見選擇合理公式和求解路徑，可以實現(xiàn)縮角目的，減少甚至避免討論.

參考文獻(xiàn)：

[1] 王懷學(xué)，曹鳳山.高中數(shù)學(xué)經(jīng)典題型全解析[M].合肥：中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)出版社，2018.

[2] 楊文彬.高中必刷題·數(shù)學(xué)·必修第一冊[M].北京：首都師范大學(xué)出版社，2020.

[責(zé)任編輯：李 璟]