韋達定理整體構造方法的巧用

劉天武

摘 要：在解決圓錐曲線問題時，通常我們的做法就是“設而不求”，主要是利用韋達定理計算兩根之和、兩根之積，然后把所需求解的或者證明的式子全部變形為兩根之和、兩根之積的形式，代入化簡即可完成相關的求解.本文也是類似的解法，但是與之不同的是構造了一個新的方程，將所求的結果整體利用韋達定理.

關鍵詞：韋達定理;設而不求;構造方程;圓錐曲線

中圖分類號：G632?? 文獻標識碼：A?? 文章編號：1008-0333（2022）04-0030-03

1 試題呈現與解析

通過分析近六年的全國Ⅰ卷高考圓錐曲線的大題，可以發現2015年20題，2017年20題，2018年19題，它們的解法一致（韋達定理的整體構造）.這種整體構造韋達定理的思想，考查頻率高，而且解法簡潔.本文將選取2017年全國Ⅰ卷20題和2021年廣東省一測數學20題作為例子，并用該方法去解決.

題1 （2017年全國Ⅰ卷理科數學20題）已知橢圓C：x2a2+y2b2=1（a>b>0），四點P1（1，1），P2（0，1），P3（-1，32），P4（1，32）中恰有三點在橢圓C上.

（1）求C的方程;

（2）設直線l不經過點P2且與C相交于A，B兩點，若直線P2A與直線P2B的斜率之和為-1，證明：l過定點.

解法1 （普通解法 ）

（1）C的方程為x24+y2=1.（解答過程略）

（2）設直線P2A與直線P2B的斜率分別為k1，k2.

情況1 如果l與x軸垂直，設l：x=t，由題設知t≠0，且|t|<2，可得A，B的坐標分別為t，4-t22，t，-4-t22.

則k1+k2=4-t2-22t-4-t2+22t=-1，

解得t=2，不符合題設.

情況2 若直線的斜率存在，可設

l：y=kx+m（m≠1）.

將y=kx+m代入x24+y2=1，得

（4k2+1）x2+8kmx+4m2-4=0.

由題設可知Δ=16（4k2-m2+1）>0.

設A（x1，y1），B（x2，y2），則

x1+x2=-8km4k2+1，x1x2=4m2-44k2+1.

而k1+k2=y1-1x1+y2-1x2

=kx1+m-1x1+kx2+m-1x2

=2kx1x2+（m-1）（x1+x2）x1x2.

由題設k1+k2=-1，

故（2k+1）x1x2+（m-1）（x1+x2）=0.

即（2k+1）·4m2-44k2+1+（m-1）·-8km4k2+1=0.

解得k=-m+12.

故當且僅當m>-1時，Δ>0.

所以y=-m+12x+m，即y+1=-m+12（x-2）.

所以l過定點（2，-1）.

解法2（韋達定理的整體構造方法）

我們設A（x1，y1），B（x2，y2），則kPA+kPB=y1-1x1+y2-1x2.因此可以構造一個關于y-1x的一元二次方程，讓kPA，kPB的斜率為方程的兩根.

設直線l的方程為：mx+n（y-1）=1.

聯立x24+y2=1，mx+n（y-1）=1，①②

由①可知：14x2+（y-1）2+2（y-1）=0.

將②式代入上式，可得

14x2+（y-1）2+2（y-1）mx+n（y-1）=0.

即

（2n+1）（y-1）2+14x2+2mx（y-1）=0.

令t=y-1x，既然直線PA與PB的斜率存在，故x≠0，上式同時除以x2，得

（2n+1）t2+2mt+14=0.

因此kPA+kPB=-2m2n+1=-1.

化簡，得2m-2n=1.

令x=2，y-1=-2，得x=2，y=-1.

所以直線l過定點（2，-1）.

小結 通過對比兩種解法，我們可以發現整體構造韋達定理的方法比普通方法計算要簡潔一些，所設的直線方程無需討論斜率是否存在，運算量小，對學生而言容易掌握.

題2 （2021年廣東省一測數學20題）已知橢圓C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的離心率為12，過橢圓C右焦點并垂直于x軸的直線PM交橢圓C于P，M（點P位于x軸上方）兩點，且△OPM（O為坐標原點）的面積為32.

（1）求橢圓C的標準方程;

（2）若直線l交橢圓于C于A，B（A，B異于點P）兩點，且直線PA與PB的斜率之積為-94，求點P到直線l距離的最大值.

解析 （1）橢圓的標準方程為x24+y23=1.

（2）為了避免討論直線l的斜率是否存在，且直線l不經過點P，我們可以設直線l的方程為m（x-1）+n（y-32）=1.

聯立x24+y23=1，m（x-1）+n（y-32）=1，①②

由①可知：

3（x-1）2+4（y-32）2+6（x-1）+12（y-32）

=0.

將②式代入上式，可得

3（x-1）2+4（y-32）2+6（x-1）[m（x-1）+n（y-32）]+12（y-32）[m（x-1）+n（y-32）]=0.

化簡，得4（1+3n）（y-32）2+3（1+2m）·（x-1）2+6（n+2m）（x-1）（y-32）=0.

令t=y-32x-1，既然直線PA與PB的斜率存在，故x≠1，上式同時除以（x-1）2，得

4（1+3n）t2+6（n+2m）t+3（1+2m）=0.

故直線PA與PB的斜率是上述方程的兩個根.

因此kPA·kPB=3（1+2m）4（1+3n）=-94.

化簡，得2m+9n+4=0.

即-12m-94n=1.

所以直線l過定點Q（12，-34）.

又因為（12）24+（-34）23<1，

所以點Q在橢圓的內部.

設點P到直線l的距離為d，

所以

dmax=PQ=1-122+32--342=854.

所以點P到直線l距離的最大值為854.

小結 如果本題采用普通的解法，我們會發現計算量非常大，基本上很少有人做出來，至少在筆者閱卷的過程中，未曾發現利用普通方法做出來的.但是采用整體構造韋達定理的思路，還是比較容易解決的.

2 試題變式

通過之前的計算，我們可以將2017年全國Ⅰ卷理科數學20題第（2）問改編.

改編1 將“和”改為“積”，其解法是一致的.

設直線l不經過點P2且與C相交于A，B兩點，若直線P2A與直線P2B的斜率之積為112，證明：l過定點.

改編2 可推廣到更加一般的情況.

已知點P（x0，y0）在橢圓上，設直線l不經過點P且與C相交于A，B兩點，若直線PA與直線PB的斜率之積為定值，證明：l過定點.

改編3 把上述的“積”改為“和”.

已知點P（x0，y0）在橢圓上，設直線l不經過點P且與C相交于A，B兩點，若直線PA與直線PB的斜率之和為定值，證明：l過定點.

改編4 可以把上述的橢圓改為雙曲線、拋物線.

已知點P（x0，y0）在雙曲線（拋物線）C上，設直線l不經過點P且與C相交于A，B兩點，若直線PA與直線PB的斜率之積（和）為定值，證明：l過定點.

小結 其實不管條件或者證明的結果怎么變化，只要題目有直接或者間接的涉及到了兩條直線的斜率之和或者斜率之積的問題時，我們均可以采用韋達定理的整體構造思想解決問題.

參考文獻：

[1] 林國紅.齊次化法巧解一類圓錐曲線問題[J].高考數學，2019（20）：56-59.

[責任編輯：李 璟]