一元三次方程的巧解模型構造及其應用

姚張松 程黎明

摘 要：2017年版高中數學課程標準中強調的數學課程核心素養，包括數學抽象、邏輯推理、數學建模等，針對當前提高學生數學能力的迫切需求，思考中學生如何根據已經具備的數學知識解決新問題的過程是必要的.本文在中學生已經具備求解一元二次方程，以及高中拓展的行列式知識的基礎上，利用換元的技巧，把特殊的一元三次方程轉換成一元二次方程，得出了一元三次方程的解法.通過詳細展示解決問題中的思維過程，來體現其中的數學教育價值，從而更好地達到課程標準中的數學教育目標.同時，推廣研究結果，得出很多新的結論.

關鍵詞：數學教育;一元三次方程;行列式

中圖分類號：G632?? 文獻標識碼：A?? 文章編號：1008-0333（2022）04-0054-04

華為總裁提到，是數學幫助華為獲得了制定5G標準的先機.要注重數學方法的突起.5G時代同時給數學教育提出了更高的要求，呼喚著數學教育應該上一個更高的臺階.

其實，著名的數學家、數學教育家波利亞提出：“現代探索法力求了解探索過程，特別是解題過程中典型有用的智力活動”.數學教師如果能在教學中踐行這種智力活動的過程，毫無疑問，這為學生將來運用數學方法打下扎實的基礎，這樣的數學教學是高質量的數學創新教學.

下面，我們通過一個例子來展示問題解決的智力活動過程.中學生都會解一元二次方程，教師能不能幫助學生進一步提高認知？解一個一元三次方程.

1 通過類比得出解決問題的思路“類比是一個偉大的引路人”“用求根公式解一元二次方程”這是中學生的回答和做法.然而，我們現在可沒有現成的求一元三次方程的求根公式.讓我們回到求解一元二次方程的過程，或許能給我們帶來啟迪和靈感.

一元二次方程的一般形式是x2+ax+b=0，當a≠0時，古人曾用過作變量代換：

令x=y-a2，

方程變為y2=a2-4b4.

即y=±a2-4b2.

從而x=-a±a2-4b2.

問題獲得解決.

這種解法揭示了一種思維過程，其模式如下：

簡化方程（變量代換）開平方運算（數學模型）問題解決

一元三次方程的一般形式是

x3+ax2+bx+c=0.

借用古人的做法，作變量代換：

令x=y-a3，方程變為：

y3+（b-a23）y+c+227a3-13ab=0.

由于a，b，c都是已知數，所以我們可以把上述方程簡化為：

y3+py+q=0.（其中p，q為已知數）①

當p=0或q=0時，方程①很容易通過開方運算求解.以下討論均在p≠0且q≠0情形中進行.

現在的問題是：在解一元二次方程的思維鏈的中間那一環斷裂，機械的照搬無濟于事，顯然，我們要尋求引進或建立一種適用的數學模型.

2 尋找熟悉的且類似的模型

“看看未知數！試想起一個具有相同或相似未知數的熟悉的問題來”.

解方程①等價于我們尋找y3+py+q因式分解式.它至少有一個一次因式y+α，于是y=-α是①的一個根，求出①的一個根后，剩余兩個根也就好求了，這提示我們所尋求的數學模型因具有兩種不同的計算方法，一種算出①式的左邊，一種算出

①的因式分解式，我們自然想到行列式的算法，它既有對角線算法，又有行列式性質算法，且兩種算法等價.

①是一個一元三次方程，我們自然選擇三階行列式，三階行列式用對角線法計算，有六項，三正項，三負項.每項由不同行不同列的三個數相乘得到.先看主對角線上的三個數，因為①的左邊三次項前面的系數是1，所以主對角線上三個元素取y可以滿足上述條件，當然，三項乘積為y3有各種取法，例如：1，y，y2;1，1，y3等，但為了各行各列之和有公因式可以提取，我們只能選擇y，y，y這種，其余六個數我們可以通過數學實驗來確定.

設D（y）=ya1a2a3ya4a5a6y，則

D（y）=y3-（a2a5+a1a3+a4a6）y+a1a4a5+a2a3a6.

D（y）與方程①的左邊已經非常接近了.要使

D（y）有公因式可以提取，要么各行元素之和

相等，要么各列元素之和相等，為此，六個常數元素中任取三個或三個以上的元素都將破壞這個條件.六個元素的配置只能是兩種可能，第一種：

D（y）=ya1a1a1ya1a1a1y=y3-3a21y+2a31，

D（y）=（y+2a1）（y-a1）2，

三根為：y1=-2a1，y2=y3=a1.

D（y），a1應是可求的已知，否則構造不出模型，而后一個等式又表明a1是三次方程的根，它又是不可求的未知，a1的雙重身份明顯違背了同一律，說明這樣的模型是不存在的.所以六個數相等雖然簡單但不能這樣取.

第二種，假設六個數中有兩個任取，例如a1，a2任取，a3，a4，a5，a6等于a1或a2，在保證有公因式可提的條件下，D（y）有下列兩種形式：

當各列元素之和相等時，

D1（y）=ya1a2a1ya1a2a2y

或D2（y）=ya1a2a2ya1a1a2y，

當各行元素之和相等時

D3（y）=ya1a2a1ya2a2a1y

或D4（y）=ya1a2a2ya1a1a2y.

這四種情形的行列式有兩種結果，第一、三情形的行列式為：

D（y）=y3-（a21+a22+a1a2）y+a21a2+a1a22

=（y+a1+a2）（y-a1）（y-a2），

第二、四情形的行列式為：

D（y）=y3-3a1a2y+a31+a32=（y+a1+a2）[y2-（a1+a2）y

+a21-a1a2+a22]，

D1（y）=D3（y），按性質計算得到的因式分解式表明，a1，a2，-a1-a2是方程①的三個根，而與前面情形一樣，a1，a2違背了同一律，說明這樣的數學模型是不存在的.

3 調整模型，解決問題

由于D2（y）=D4（y），我們只需討論D2（y）.

D2（y）按兩種計算方法相等，即有：

y3-3a1a2y+a31+a32

=（y+a1+a2）[y2-（a1+a2）y

+a21-a1a2+a22].

為了求出a1，a2，比較①的左邊與y3-3a1a2y+a31+a32，可得

-3a1a2=p，a31+a32=q.

進而可得a31a32=-p327，a31+a32=q.

我們發現a31，a32是一元二次方程z2-qz-p327=0的兩個根，然后在復數范圍內對a31，a32開立方根，可分別得到三個a（i）1，a（i）2（i=1，2，3），再根據a1a2=-p3適當配對，得到①的根-a1-a2.至此，我們解決了任何一個一元三次方程的求根問題，其思維模式如下：

簡化方程（變量代換）

引進三階行列式作數學模型問題解決

下面根據我們思維的過程與結果求解一個一元三次方程：例1 解方程y3-3y+1=0.

解析 這里p=-3，q=1，于是a1a2=1，a31+a32=1.

即有a31a32=1，a31+a32=1.

解一元二次方程z2-z+1=0，得

a31=12+32i=cosπ3+isinπ3，

a32=12-32i=cos5π3+isin5π3.

對a31，a32開立方，各得到三個值，為了方便起見，分別記為a（i）1，a（i）2.即：

a（1）1=cosπ9+isinπ9，a（2）1=cos7π9+isin7π9，a（3）1=cos13π9+isin13π9，

a（1）2=cos5π9+isin5π9，a（2）2=cos11π9+isin11π9，a（3）2=cos17π9+isin17π9.

因為a1a2=1，

而a（1）1a（3）2=a（2）1a（2）2=a（3）1a（1）2=1，

所以-（a（1）1+a（3）2）=2cos8π9，

-（a（2）1+a（2）2）=2cos2π9，

-（a（3）1+a（1）2）=2cos4π9.

所以方程的三個根為：

2cos2sπ9（s=1，2，3）.

4 回顧解決過程，整理解題思路

檢查問題解決的每一步是否對是回顧不可缺少的步驟，另外，通過驗根可以更有力地說明你的思維方向、過程、結果的正確：

y3-3y+1

=8（cos2sπ9）3-6cos2sπ9+1

=2[4（cos2sπ9）3-3cos2sπ9]+1=2cos2sπ3+1

=2×（-12）+1

=0.

在解①的過程中，我們完全可以導出①的求根公式，讓學生記住公式就行了，然而，我們沒有這么做，因為“僅僅靠記憶不足以產生好念頭”，我們希望學生理解、掌握、運用解決問題的方法和策略，并能在今后遇到新的問題時利用它們披荊斬棘，所向披靡.

對于例題，利用韋達定理可知：

cos2π9+cos4π9+cos8π9=0，

cos2π9cos4π9+cos4π9cos8π9+cos8π9cos2π9

=-34，

cos2π9cos4π9cos8π9

=-18.

由y3-3y+1=Π3s=1（y-2cos2sπ9）， 令y取不同的數，可以得到更多的三角恒等式.

在教師的引導下，讓學生親身參與數學發現的全過程，這將會極大激發他們學習數學的興趣和積極性，掌握科學的探索方法會讓他們受益終身.當然，教師要具備引導的能力，對教師本身也提出了更高的要求，“尋找一個好問題，最好是從前未見過的”，在學生已有認知的基礎上，啟發、幫助學生“跳一跳把桃子摘下來”，這才是高水平、高質量的數學教學，讓我們一起來努力實踐之.

參考文獻：

[1]

中華人民共和國教育部.普通高中數學課程標準（2017年版）[M].北京：人民教育出版社，2018.

[2] G·波利亞.怎樣解題[M].北京：科學出版社，1984.

[3] 祁平.基于探究的數學教學的哲學思索[J].數學通報，2014，53（08）：22-28.

[4] 劉來福，王尚志，張貽慈.呼喚應用意識 提高數學素養——評介第一屆北京市高中數學知識應用競賽復賽試題[J]. 數學通報，1998（05）：40-42.

[責任編輯：李 璟]