談談立體幾何中的點到直線距離的求法

甘志國

摘 要：很少文獻談及立體幾何中的點到直線距離的求法，文章較好地解決了這一問題.

關鍵詞：立體幾何;點到直線距離;求法;向量

中圖分類號：G632?? 文獻標識碼：A?? 文章編號：1008-0333（2022）04-0076-03

在立體幾何中，求點到平面的距離、異面直線的距離、直線到平面的距離（此時直線與平面不相交）、兩個平行平面的距離有一個統一的公式d=AB·nn，其中兩點A，B分別在兩個圖形上，n指平面的一個法向量（求兩條異面直線的距離時，n與這兩條異面直線的方向向量均垂直）.

但用以上公式不能求點到直線的距離，下面談談立體幾何中點到直線距離的求法.

定理 （1）如圖1所示，若直線l的單位方向向量為u，A是直線l上的定點，P是空間任一點，且AP=a，PQ⊥l于點Q，則

PQ= AP2-AQ2=a2-（a·u）2.

（2）如圖2所示，點A∈l，直線m與直線l平行或重合，在直線m上選非零向量m，P是空間任一點，過點P作PH⊥l于點H.若AH=d，點P到直線l的距離PH=h，則

d=AP·mm，h= AP2-d2.

（3）在空間直角坐標系中，若三點A，B，C（兩點B，C不重合）的坐標分別是（x1，y1，z1），（x2，y2，z2），（x3，y3，z3），則點A到直線BC的距離

h=[（x2-x1）2+

（y2-y1）2+（z2-z1）2]

[（x3-x1）2+（y3-y1）2+（z3-z1）2]-

[（x2-x1）（x3-x1）+（y2-y1）（y3-y1）+（z2-z1）（z3-z1）]2（x2-x3）2+（y2-y3）2+（z2-z3）2.證明 （1）（ⅰ）當Pl時，由題設及圖1，可得a在直線l上的投影向量AQ=（a·u）u.

在Rt△APQ中，由勾股定理可得欲證結論成立.

（ⅱ）當P∈l時，可得

a2-（a·u）2=a2-（a·ucosπ）2=0

=PQ.

綜上所述，可得欲證結論成立.

（2）（ⅰ）當點Pl時，由題設，得

AP·m=m·AP·cos〈AP，m〉=md.

解得d=AP·mm.

在Rt△APH中，由勾股定理，得

h=AP2-d2.

（ⅱ）當點P∈l即點P，H重合時，由題設可得〈AP，m〉=0或π.

所以d=AP=AP·mm，

h=0=AP2-d2.

（3）由結論（1），可得點A到直線BC的距離

h=[（x2-x1）2+

（y2-y1）2+（z2-z1）2]

[（x3-x1）2+（y3-y1）2+（z3-z1）2]-

[（x2-x1）（x3-x1）+（y2-y1）（y3-y1）+（z2-z1）（z3-z1）]2

（x2-x3）2+（y2-y3）2+（z2-z3）2①

由拉格朗日恒等式：

若ui，vi∈C（i=1，2，…，n;n≥2），則

∑ni=1u2i∑ni=1v2i-∑ni=1uivi2=∑1≤i<j≤n（uivj-ujvi）2.

令n=3，可得恒等式

（u21+u22+u23）（v21+v22+v23）-（u1v1+u2v2+u3v3）2

=（u1v2-u2v1）2+（u1v3-u3v1）2+（u2v3-u3v2）2.

由此恒等式，可得

（a21+b21+c21）（a22+b22+c22）-（a1a2+b1b2+c1c2）2

=（a1b2-a2b1）2+（a1b3-a3b1）2+（a2b3-a3b2）2.

（a21+b21+c21）[（a1+a2）2+（b1+b2）2+（c1+c2）2]-[a1（a1+a2）+b1（b1+b2）+c1（c1+c2）]2

=[a1（b1+b2）-（a1+a2）b1]2+[a1（c1+c2）-（a1+a2）c1]2+[b1（c1+c2）-（b1+b2）c1]2

=（a1b2-a2b1）2+（a1b3-a3b1）2+（a2b3-a3b2）2.

所以（a21+b21+c21）[（a1+a2）2+（b1+b2）2+（c1+c2）2]-[a1（a1+a2）+b1（b1+b2）+c1（c1+c2）]2

=（a21+b21+c21）（a22+b22+c22）-（a1a2+b1b2+c1c2）2.

在該恒等式中令

a1=x2-x1，b1=y2-y1，c1=z2-z1，a2=x3-x2，b2=y3-y2，c2=z3-z2，

由①可得欲證結論成立.

注 第（1）問得到的結論就是普通高中教科書《數學·選擇性必修·第一冊·A版》（人民教育出版社，2020）第33頁給出的結論的推廣.實際上，它與第（2）問的結論如出一轍.

題1 如圖3所示，在長方體ABCD-A1B1C1D1中，AD=AA1=1，AB=2，點E在棱AB上且AE=EB，求點E到直線A1D的距離.

解法1 如圖4所示建立空間直角坐標系D-xyz，得點D（0，0，0），A1（1，0，1），E（1，1，0），

所以A1E=（0，1，-1），A1D=（-1，0，-1）.

在定理（2）中可選m=A1D，

進而可得

d=A1E·A1DA1D=12.

所以點E到直線A1D的距離

h=

AE2-d2=2-12=62.

解法2 如圖4所示建立空間直角坐標系D-xyz，得點D（0，0，0），A1（1，0，1），E（1，1，0），所以由定理（3）可得點E到直線A1D的距離

h=62.

解法3 可求得△A1DE是邊長為2的正三角形，用等面積法也可求得答案.

題2 （2021年高考上海卷第9題）在圓柱底面半徑為1，高為2，AB為上底底面的直徑，點C是下底底面圓弧上的一個動點.若點C繞著下底底面旋轉一周，則ΔABC面積的取值范圍是.

解法1 如圖5所示，過點C作CC′⊥上底面于點C′，再過點C′作C′H⊥AB于點H，可得AB⊥平面CC′H，所以AB⊥CH.

圖5可得C′H的取值范圍是[0，1]（當且僅當點C′與點A或點B重合時，C′H=0;

當且僅當點C′與上底面的兩個半圓AB的中點重合時，C′H=1）.

所以△ABC的高CH=CC′2+C′H2=22+C′H2的取值范圍是[2，5].

所以△ABC面積12AB·CH=CH的取值范圍是[2，5].

解法2 如圖6所示建立空間直角坐標系O′-xyz（其中O′是圓柱下底面的中心），可得兩點

A（0，-1，2），B（0，1，2）.

可設點C（cosθ，sinθ，0）（0≤θ<2π）.

由定理（2），可得點C到直線點AB的距離

h=5-sin2θ.

進而可得h的取值范圍是[2，5].

所以△ABC面積12AB·h=h的取值范圍是[2，5].

參考文獻：

[1]趙坤武.立體幾何中有關距離的統一公式[J].數理化解題研究，2007（04）：8-10.

[責任編輯：李 璟]