復(fù)習(xí)勻變速直線運動的“54321”

摘 要：勻變速直線運動作為運動學(xué)的核心內(nèi)容，不僅是高中物理教學(xué)的重點內(nèi)容，而且也是高考必考的知識，本文探究如何有效地復(fù)習(xí)和掌握有關(guān)勻變速直線運動的知識要點.

關(guān)鍵詞：勻變速直線運動;速度公式;位移公式;位移;速度;加速度

中圖分類號：G632?? 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A?? 文章編號：1008-0333（2022）04-0096-05

勻變速直線運動是運動學(xué)中最典型最基本的運動，有關(guān)勻變速直線運動的知識是運動學(xué)奠基性的內(nèi)容之一，其重要性不言而喻.如何有效復(fù)習(xí)和熟練掌握相關(guān)的勻變速直線運動的知識和方法，我們認(rèn)為必須緊緊抓住以下的“54321”.

1 把握五大公式

勻變速直線運動是運動學(xué)中最為典型的運動，描述勻變速直線運動規(guī)律的五大公式是運動中最為重要的關(guān)系式.

1.1 速度公式

速度公式v=v0+at是描述做勻變速直線運動的物體其速度隨時間的變化規(guī)律，它涉及末速度v，初速度v0，加速度a，時間t等物理量，速度公式是一個矢量式.

例1 汽車以15m/s的速度在水平路面上勻速前進(jìn)，緊急制動后做勻減速直線運動，加速度大小為3m/s2，則剎車后4s時汽車的速度為（? ）.

A. 27m/s B. 3m/s C. 10m/s D. 0

分析 由速度公式得：

v=v0+at=15m/s-3×4m/s=3m/s

可見，選項B正確.

1.2 位移公式

位移公式x=v0t+12at2是描述做勻變速直線運動的物體其位移隨時間的變化規(guī)律，它涉及位移x，初速度v0，加速度a，時間t等物理量，位移公式是一個矢量式.

例2 一輛汽車勻速行駛，然后以1m/s2的加速度加速行駛，從加速行駛開始，經(jīng)12s行駛了180m，則汽車開始加速時的初速度為多大？

分析 位移公式x=v0t+12at2得：v0=xt-at2=18012-1×122s=9m/s

所以，汽車開始加速時的初速度為9m/s.

1.3 速度-位移關(guān)系式

速度-位移公式v2t-v20=2ax是描述做勻變速直線運動的物體其速度與位移之間的關(guān)系，它涉及末速度vt，初速度v0，加速度a，位移x等物理量，速度-位移公式是一個矢量式.

例3 某航母跑道長200 m，飛機(jī)在航母上滑行的最大加速度為6 m/s2，起飛需要的最低速度為50 m/s.那么，飛機(jī)在滑行前，需要借助彈射系統(tǒng)獲得的最小初速度為（? ）.

A.5 m/s B.10 m/s C.15 m/s D.20 m/s

分析 位移公式v2t-v20=2ax得：

v0=v2t-2ax=502-2×6×200m/s=10 m/s，可見選項B正確.

1.4 平均速度公式

平均速度的定義式是v-=xt，對于勻變速直線運動，平均速度為v-=v0+vt2=vt2.平均速度公式是矢量式.

例4 一物體做勻加速直線運動，通過一段位移Δx所用的時間為t1，緊接著通過下一段位移Δx所用的時間為t2.則物體運動的加速度為 （? ）.

A.2Δxt1-t2t1t2t1+t2? B.Δxt1-t2t1t2t1+t2

C.2Δxt1+t2t1t2t1-t2D.Δxt1+t2t1t2t1-t2

分析 用平均速度公式先求得物體通過第一段位移Δx的中時速度，即vt12=Δxt1，再求得物體通過第二段位移Δx的中時速度，即vt22=Δxt2，利用速度公式得：vt22-vt12=at12+t22，解得：a=2Δxt1-t2t1t2t1+t2.可見，選項A正確.

1.5 推論

由勻變速直線運動的規(guī)律可推出xm-xn=（m-n）aT2.此公式是處理紙帶的理論依據(jù).

例5 質(zhì)點做勻加速直線運動，由A到B和由B到C所用時間均是2s，且前2s和后2s位移分別為24m和60m，求該質(zhì)點運動的加速度.

分析 由推論得：x2-x1=（2-1）aT2

即a=x2-x1T2=60-2422m/s2=9m/s2

在五大公式中，共涉及v0、vt、a、t、x等五個物理量，其中每個公式中都含有四個物理量，只要知道三個物理量就可求出另外一個物理量.在運用五大公式解題時，務(wù)必注意公式的矢量性和適用性，務(wù)必注意解題的結(jié)果必須與實際問題相符合.

2 熟悉四種方法

2.1 圖像法

有些問題用公式法求解會遇到麻煩，甚至無法解答，但如果使用圖像法反而輕而易舉.

例6 某物體以一定的初速度從A點沖上固定的光滑斜面，到達(dá)斜面最高點C時速度恰為零，如圖1所示，已知物體運動到斜面長度3/4處的B點時，所用的時間為t，求物體從B滑到C所用的時間.

分析 先作出物體運動過程的v-t圖像，如圖2所示.

由數(shù)學(xué)知識可知，相似三角形面積之比等于對應(yīng)邊平方比，即：

S△AOCS△BDC=CO2CD2

圖1????????? 圖2

在v-t圖像中，圖線與坐標(biāo)軸圍成的面積表示物體的位移，則S△AOC=4S△BDC

而OD=t，OC=t+tBC，將這些條件代入上式得：

41=t+tBC2t2BC，解得：tBC=t.

2.2 逆推法

有些問題順著研究比較麻煩，倒過來解答就比較容易，比如解決勻減速至速度為零的運動，逆向過程就是初速度為零的勻加速運動，用逆推法解決起來更容易.

例7 （2019年全國卷1）如圖3所示，籃球架下的運動員原地垂直起跳扣籃，離地后重心上升的最大高度為H.上升第一個H4所用的時間為t1，第四個H4所用的時間為t2.不計空氣阻力，則t2t1滿足

（? ）.

A.1<t2t1<2??? B.2<t2t1<3

C.3<t2t1<4D.4<t2t1<5

圖3

分析 運動員起跳到最高點的運動是一個末速度為零的勻減速運動，如果把這個運動逆過來分析，就是初速度為零的勻加速直線運動.對初速度為零的勻加速直線運動，經(jīng)過相同位移所用的時間之比為t1∶t2∶t3∶t4∶…=1∶2-1∶3-2∶4-3∶…，則運動員上升第一個H4所用的時間t1與第四個H4所用的時間t2之比為t2t1=14-3=3.732，可見選項C正確.

2.3 相對法

取不同的參考系，有時對一些特定問題的解答會有意想不到的效果.

例8 火車以速率v1向前行駛，司機(jī)突然發(fā)現(xiàn)在前方同一軌道上距車為s處有另一輛火車，它正沿相同的方向以較小的速率v2做勻速運動，于是司機(jī)立即使車做勻減速運動，該加速度大小為a，則要使兩車不相撞，加速度a應(yīng)滿足的關(guān)系為（? ）.

A.a≥v21-v222s? B.a≥v212s

C.a≥v222sD.a≥（v1-v2）22s

分析 取前方做勻速運動的火車為參考系，則后方火車的初速度為v1-v2，為使兩車剛好不相撞，只要后方火車通過位移s后的速度恰好減小為零即可，由位移-速度公式v2t-v20=2ax得：

（v1-v2）2=2as

解得：a=（v1-v2）22s

可見，要使兩車不相撞，加速度a應(yīng)滿足的關(guān)系為a≥（v1-v2）22s，選項D正確.

2.4 全程法

全程法是指對于某幾個小過程在加速度不變的情況下，可以取全程進(jìn)行研究，有時反而可以簡化解題的繁瑣.

例9 物體在恒力F1作用下，從A點由靜止開始運動，經(jīng)時間t到達(dá)B點.這時突然撤去F1，改為恒力F2作用，又經(jīng)過時間2t 物體回到A點.求F1 、 F2大小之比.

分析 物體在恒力F1作用下，根據(jù)牛頓第二定律得：F1=ma1

設(shè)過程的位移為x，由位移公式得：x=12a1t2

接著，物體在恒力F2作用下，先做勻減速運動，直至速度減為零，然后，物體開始返回做勻加速運動，最后回到出發(fā)點，取全程運動進(jìn)行研究.

根據(jù)牛頓第二定律得：

F2=ma2

此時物體的位移為-x，由位移公式得：

-x=v×2t-12a22t2

由于后一過程的初速度等于前一過程的末速度，即：

v=a1t

解以上五式得：F1∶F2=4∶5

3 理解三個物理量

在運動學(xué)里，有三個重要的物理量，即位移x、速度v和加速度a.

（1）位移.描述物體位置變化的物理量，位移是矢量，用初位置指向末位置的有向線段來表示.

（2）速度.描述運動快慢的物理量，速度是矢量，用位移與發(fā)生這個位移所用時間的比值來表示.平均速度是描述某段時間（或位移）內(nèi)的運動快慢，瞬時速度是描述某時刻（或某位置）的運動快慢.

（3）加速度.描述速度變化快慢的物理量，用速度的變化與對應(yīng)的時間的比值來表示.加速度是矢量.

例10 以下說法正確的是（? ）.

A.位移的大小與路程總是相等

B.速度的大小與位移的大小成正比

C.加速度的大小與速度的大小有關(guān)

D.加速度描述速度變化的快慢，但加速度的大小與速度的大小無關(guān)

分析 位移和路程是兩個不同的概念，只有在物體做方向不變的直線運動時，物體的位移大小才與路程相等，選項A錯誤;速度是描述物體位置改變快慢的物理量，速度的大小與位移的大小并無直接關(guān)系，則選項B錯誤;加速度的大小與速度的大小無關(guān)，選項C錯誤，選項D正確.

例11 某物體做勻減速直線運動，其初速度為v0=20m/s，經(jīng)時間t=5s，末速度vt=5m/s，方向與初速度方向相反，求：

（1）加速度多大？

（2）物體的位移多大？

（3）這段時間內(nèi)物體的平均速度？

分析 （1）由速度公式v=v0+at得：a=vt-v0t=-5-205m/s2=-5m/s2

（2）由位移公式x=v0t+12at2

得：x=20×5-12×5×52m=37.5m

（3）由平均速度的定義式v-=xt得，v-=37.55m/s=7.5m/s

4 關(guān)注二個注意點

4.1 矢量性

由于五大公式都是矢量式，使用時必須規(guī)定正方向，與正方向一致的物理量應(yīng)取正，與正方向相反的物理量應(yīng)取負(fù)，在解題時務(wù)必牢記.

例12 某同學(xué)將手中的“溜溜球”沿豎直方向向上拋出，已知其出手時的速度是5m/s，經(jīng)過3s，該球落到拋出點下某處，速度為25m/s，已知該球在運動過程中加速度不變，則該球的加速度大小為（? ）.

A.6.67m/s2 B.10m/s2 C.8m/s2 D.9m/s2

錯解 已知初速度v0=5m/s，末速度vt=25m/s，由速度公式v=v0+at得：

a=vt-v0t=25-53m/s2=6.67m/s2

則選項A正確.

正解 選取豎直向上的方向為正方向，則物體的初速度為v0=5m/s，末速度vt=-25m/s，由速度公式v=v0+at得：

a=vt-v0t=-25-53m/s2=-10m/s2

加速度為負(fù)，表示加速度的方向與正方向相反，即加速度a的方向沿豎直向下方向，故選項B正確.4.2 相符性

應(yīng)用五大公式解決一些實際問題時，要注意解題的結(jié)果應(yīng)與實際情況相符合.

例13 汽車以15m/s的速度在水平路面上勻速前進(jìn)，緊急制動后做勻減速直線運動，加速度大小為3m/s2，則剎車后6s時汽車的速度大小為（? ）.

A. 3m/s B. 2m/s C. 1m/s D. 0

錯解 由速度公式v=v0+at得：v=15m/s-3×6m/s=-3m/s，可見剎車后6s時汽車的速度大小為3m/s，選項A正確.

正解 由速度公式v=v0+at可求得汽車速度減小為零的時間為：

t=v-v0a=0-15-3s=5s

由此可知汽車剎車5s后速度已經(jīng)減小到零，第6s汽車處于靜止?fàn)顟B(tài)，因此，剎車后6s時汽車的速度大小為零，故選項D正確.

5 處理一條紙帶

利用打點計時器打出的紙帶求出物體的速度和加速度是力學(xué)實驗中的關(guān)鍵環(huán)節(jié).

（1）求速度.利用某段時間內(nèi)的平均速度與這段時間中間時刻的瞬時速度大小相等的原理求出瞬時速度，即vt2=xt.

（2）求加速度.最典型的紙帶是具有6段位移（共有7個計數(shù)點，這里的位移是指相鄰的二個計數(shù)點間的距離）的情形，由推論xm-xn=（m-n）aT2可得：

a1=x4-x13T2，a2=x5-x23T2 ，a3=x6-x33T2

則物體的加速度為：

a=a-=a1+a2+a33=x6+x5+x4-x3-x2-x13×3T2

例14 某同學(xué)研究小車的勻變速直線運動.實驗時，他將打點計時器接到頻率為50 HZ的交流電源上，得到一條紙帶，打出的部分計數(shù)點如圖4所示（每相鄰兩個計數(shù)點間還有4個點，圖中未畫出）.s1=3.59 cm，s2=4.41 cm，s3=5.19 cm，s4=5.97 cm，s5=6.78 cm，s6=7.64 cm.則小車的加速度a=m/s2（要求充分利用測量的數(shù)據(jù)），打點計時器在打B點時小車的速度vB=m/s.（結(jié)果均保留兩位有效數(shù)字）

圖4

分析 由于兩相鄰計數(shù)點間的時間間隔T=0.1 s;

由 a=x6+x5+x4-x3-x2-x13×3T2

可得：

a=5.97+6.78+7.64-3.59-4.41-5.19×10-29×0.12m/s2

=0.80m/s2

打點計時器在打B點時小車的速度

vB=s1+s22T=3.59+4.41×1022×0.1m/s

=0.40 m/s.

總之，在復(fù)習(xí)和學(xué)習(xí)勻變速直線運動時，必須牢牢把握“54321”，注意弄清概念，理解規(guī)律，掌握方法，提高能力，以達(dá)到高效復(fù)習(xí)的目的.

參考文獻(xiàn)：

[1] 成金德.實例分析紙帶的處理方法[J].高中數(shù)理化，2018（7-8）：79-82.

[2] 成金德.淺談位移公式x=v0t+12at2的含義和應(yīng)用[J].中學(xué)生數(shù)理化，2020（10）：33-35.

[責(zé)任編輯：李 璟]