巧用比例作圖法解決物理問題

陳春琴

摘 要：高中學生普遍覺得物理不好學，除了閱讀審題、物理建?？茖W思維等方面的困難之外，有時候是明明已經讀懂題意，也建立了物理模型，但卻在數學計算上出現了攔路虎.如果能靈活應用比例作圖法將可以避開復雜的數學運算，更直觀快速的得到答案.

關鍵詞：比例作圖法;直觀快速解題

中圖分類號：G632?? 文獻標識碼：A?? 文章編號：1008-0333（2022）04-0121-03

眾所周知，物理學科與數學學科這兩門學科具有很高的關聯性，在解決物理問題的過程中經常需要用到相應的數學思想方法.數學作為基礎學科，其思想方法的應用始終貫穿在高中物理的學習中.而學生受分科教學的影響，經常無法將數學思想與物理應用融會貫通，教師在平時的教學中應有意識的培養學生應用數學知識解決物理問題的能力.本文重點介紹用比例作圖法來巧妙解決物理問題.

學生在高一學習力學知識時就已經知道，畫受力圖時有兩種方法——力的示意圖和力的圖示.力的圖示是指從作用點開始沿力的方向畫一條線段，根據選定的標度和力的大小按比例確定線段長度，并在線段的末端標出箭頭表示力的方向.力的示意圖不需要嚴格按照力的圖示法表示力，而只沿力的方向畫一條帶箭頭的線段來表示物體受到的力，不強調有向線段的長短和起點.除了在驗證力的平行四邊形的實驗中我們應用了力的圖示之外，在平時的授課和解題中，幾乎都采用力的示意圖法.其實借鑒力的圖示法（比例的思想）用來解決和矢量有關的物理題往往有意想不到的妙處 .下面我們結合例題來體驗一下：

例1 （2015年高考新課標全國卷II）由于衛星的發射場不在赤道上，同步衛星發射后需要從轉移軌道經過調整再進入地球同步軌道.當衛星在轉移軌道上飛經赤道上空時，發動機點火，給衛星一附加速度，使衛星沿同步軌道運行.已知同步衛星的環繞速度約為3.1×103m/s，某次發射衛星飛經赤道上空時的速度為1.55×103 m/s，此時衛星的高度與同步軌道的高度相同，轉移軌道和同步軌道的夾角為30°，如圖1所示，發動機給衛星的附加速度的方向和大小約為（ B ）

A.西偏北方向，1.9×103m/s

B.東偏南方向，1.9×103m/s

C.西偏北方向，2.7×103m/s

D.東偏南方向，2.7×103m/s

常規解法1 合速度為同步衛星的線速度，為：v=3.1×103m/s;

一個分速度為在轉移軌道上的速度，為：v1=1.55×103m/s;

合速度與該分速度的夾角為30°，根據平行四邊形定則，另一個分速度v2如圖2所示：

該分速度的方向為東偏南方向，根據余弦定理，大小為：v2=v2+v21-2vv1cos30°=1.9×103m/s

常規解法2 如圖3所示.

v2=（vcos30°-v1）2+（vsin30°）2

≈1.9×103m/s

巧妙解法 這道高考題對學生來講有兩個難點，一個是物理建模，另一個就是采用數學方法來計算.這兩種方法都需要學生有較好的數學功底，中等水平的學生不容易想到應用余弦定理來解題，但是借助尺規按比例作圖就可快速得到答案.圖4

觀察題目數據可看出同步衛星的速度是衛星速度的兩倍，如圖4所示，因此我們用4cm長的線段表示同步衛星的速度v2，用2cm長的線段表示衛星速度v1，用量角器量出30°的夾角，將這兩條線段的末端相連組成一個閉合的矢量三角形，用尺子量出連線的長度，按比例換算就可以得到附加速度的大小，方向也可一目了然.

v22.3cm=0.775×1031cm

例2 把一個已知力F分解，要求其中一個分力F1跟F成30°角.而大小未知;另一個分力F2= 33F，但方向未知，則F1的大小可能是 （ AD ）

A.33F B.32F C.3F D.233F

巧妙解法 取5cm長的線段表示力F，因為F2=33F，用圓規在直尺上取2.9cm長的線段表示力F2，以A為圓心，2.9cm為半徑做圓弧與F1方向所在的直線相交于B、C兩點，用尺子量出OB、OC的長度，OB=2.9cm，OC=5.7cm，則根據F5cm=F12.9cm，可算出OB線段表示的F1=33F，同理可得OB線段表示的F1= 233F.

例3 （2013年高考新課標全國卷Ⅰ）半徑為R的圓是一圓柱形勻強磁場區域的橫截面（紙面），磁感應強度大小為B，方向垂直于紙面向外.一電荷量為q（q>0）、質量為m的粒子沿平行于直徑ab的方向射入磁場區域，射入點與ab的距離為R2.已知粒子射出磁場與射入磁場時運動方向間的夾角為60°，則粒子的速率為（不計重力）（ B ）

A.qBR2m B.qBRm C.3qBR2m D.2qBRm

常規解法 如圖7所示，畫出粒子運動軌跡如圖，ce為射入速度所在直線，d為射出點，射出速度反向延長交ce于f點，磁場區域圓心為O，帶電粒子所做圓周運動圓心為O′，則O、f、O′在一條直線上，由幾何關系證得OC O′d為棱形，帶電粒子所做圓周運動的軌跡半徑R.

巧妙解法 本題的難點在于畫出軌跡圖用幾何知識證明OC O′d為棱形，從而得出偏轉圓的半徑等于磁場圓的半徑.但事實上，學生只要用圓規畫出初速度偏轉了60°的方向，并平移到合適的位置，畫出兩條半徑大致相等的圓弧，用直尺就可以量出偏轉圓的半徑等于磁場圓的半徑，如圖8所示即可得到粒子的速率.

例4? 如圖9所示，一重為120N的球固定在彈性桿AB的上端，今用測力計沿與水平方向成37°角斜向右上方拉球，桿發生彎曲，此時測力計的示數為100N，已知sin37°=0.6，cos37°=0.8，則桿AB對球作用力的大小為（ B ）.

A.120N B.100N C.80N D.20N

巧妙解法 本題的難點在于學生受思維定勢的影響，對物體受三個力平衡的情況不容易想到先正交分解，求出各個方向的合力再合成;而且畫受力圖的時候，球的重力和測力計的彈力方向可以確定，但桿對球的彈力方向是未知的，學生糾結于此，解題進行不下去.但如果能利用本文所介紹的方法，按照比例畫出力的圖示，如圖10所示，沿豎直方向用6cm長的線段畫出重力，沿測力計的方向畫5cm長的線段表示彈力，用兩把尺子平移作出準確的平行四邊形，量出對角線的長度，就可以輕松得到答案.

物理學科是大多數學生比較畏懼的一門學科，不僅要理解物理概念、物理規律，還要懂得將物理知識應用于解決各類生產生活、科學探究等情景，有時候物理的相關知識應用得很好了，但確受限于數學工具的不熟練而解不出來.本人經過長期的教學實踐發現，用比例作圖法解題可以避開復雜的數學證明和運算， 學生可以將更多的精力放在審題、建立物理模型、并尋找相應的物理規律物理知識來解題，對中等層次的學生特別有幫助.但由于這個方法相比于其他數學方法（比如三角函數法、極值法、不等式法等）應用的比較少，所以更需要教師在平時的教學中有意識的加強這種方法的應用和示范.

參考文獻：

[1] 劉宗華.數學思維與方法在物理解題中的應用[J].中學物理，2014，32（12）：94.

[2] 安豐亮. 數理邏輯思維對中學物理的學習影響與研究[D].漢中：陜西理工大學，2019.

[3] 趙永剛.利用解題后的反思來提高高中物理解題實效性[J]

.課堂教育研究，2019（48）：213.

[責任編輯：李 璟]