一種I/Q 失衡誤差的估計和補償方法

孟 婕，王厚軍，葉 芃，楊擴軍，趙 禹，郭連平，蔣 俊

(電子科技大學自動化工程學院 成都 611731)

隨著電子信息技術的飛速發展，電子信號呈現出急劇上升的高瞬態以及高復雜度等特性，對無線通信、電子測量以及雷達測試等領域系統帶寬提出了更高的要求。零中頻架構采用模擬正交混頻技術，可以極大地降低系統對模數轉換器(analog digital converter, ADC)輸入帶寬和采樣率的要求，目前已廣泛應用于具有高帶寬和高采樣率的電子系統中完成信號的接收，為后續信號的處理和分析提供了前提。零中頻架構直接將射頻信號轉換為基帶同相(inphase, I)和正交(quadrature, Q)信號，因此相比于傳統的超外差式架構需要更少的模擬器件[1]，然而模擬器件由于設計的限制因素存在一定的非理想特性，導致I 和Q 信號之間幅度和相位不匹配，發生I/Q 失衡問題[2]。I/Q 失衡問題導致系統對鏡像頻率的抑制不足，從而嚴重惡化接收信號的質量并損害系統的相對鏡像比(relative image ratio, RIR)[3]，在具有更高硅集成度和更大調制階數的寬帶通信系統中，I/Q 失衡問題往往會進一步加劇[4]。另外，高帶寬高采樣率系統對I/Q 信號之間的時間失配(time mismatch, TM)誤差相比于窄帶系統變得更為敏感。不同于傳統I/Q 失衡誤差，TM 誤差一般由I/Q 通道路徑長度不一致，或兩路ADC 的采樣起始時間不一致等原因引起[5]，是I/Q 相位失衡的重要組成部分，會導致幅度較大的鏡像分量。

后端數字補償技術是解決寬帶I/Q 失衡問題最常用也是最有效的技術手段之一，目前已有諸多解決I/Q 失衡問題的研究，部分只考慮了與頻率無關(frequency independent, FI)的失衡誤差[6]，FI 失衡誤差值為常數，因此這些方法只適用于窄帶系統。而對于寬帶系統，I/Q 通道間器件頻響不一致等因素引入的幅度和相位失衡誤差會隨著信號頻率的變化而變化，為頻率相關(frequency selective, FS)誤差。針對FS 誤差模型，文獻[7]提出了一種基于復數有限脈沖響應(finite impulse response, FIR)濾波器的I/Q 失衡誤差的補償方法，但實現復數補償濾波器消耗資源較大。文獻[8]提出了一種基于實數FIR 濾波器的補償架構，相比于文獻[7]復數FIR 濾波器的復雜度降低，但對補償前RIR 有明確的閾值要求，存在一定的局限性。上述方法均利用信號的統計特性設計補償濾波器，忽略了TM 誤差的影響，無法感知I/Q 信號之間TM 誤差的整數部分[9]。同樣，文獻[10]雖然考慮了TM誤差，但只能消除整數采樣周期的TM 誤差，因不能消除TM 誤差的小數采樣周期部分而導致精度受限。因此，現有文獻大多忽視了TM 誤差的影響，少數考慮TM 誤差的方法也不能對TM 誤差進行精確的估計和補償。

文獻[7]和文獻[8]的方法都是基于在線補償的思路，需要高昂的計算資源且系統復雜度較高，而實際前端模擬電路的幅度和相位失衡誤差時變性較弱，在一個穩定的運行環境中只需要將校正過程加入開機啟動程序，不定期地根據需要執行誤差估計及相應的校準即可達到補償失衡誤差的效果。因此，本文考慮到TM 誤差對于寬帶系統影響的重要性，建立了一種包含TM 誤差的I/Q 失衡增廣誤差模型，并將誤差估計和補償過程進行解耦，采用“離線估計，在線補償”的補償策略。首先采用數據輔助方法估計I/Q 失衡誤差，并應用多項式擬合的方法對估計的相位誤差進行分解處理，得到各部分相位誤差的估計值。失衡誤差補償結構的設計采用對各部分失衡誤差“分而治之”的思路，其中估計得到的非線性相位(nonlinear phase, NP)誤差與幅度失衡誤差通過實數FIR 濾波器進行聯合補償，相比于復數補償濾波器可以節省大量的運算資源。在考慮濾波器因果性的基礎上應用基于Krylov子空間的共軛梯度平方(conjugate gradient squared,CGS)算法，結合增大過渡帶設計頻點間隔的思想設計補償濾波器，避免了直接求逆帶來的較大存儲資源消耗和病態矩陣(ill-conditioned)問題[11]。

造價管理一直是水利工程機電安裝工作的重點，因此相關人員在工作中，必須要全面評估當前機電安裝造價管理中存在的問題，并及時提出改進措施，結合BIM等現代化信息技術，尋找機電安裝造價管理的新路徑。

然此本后來湮沒無聞，不知何故。魯迅即言“至清，皆稱“《稽中散集》”，仍十卷。其稱“《嵇康文集》者，無聞。”[10]70。

1 I/Q 失衡模型

I/Q 失衡模型如圖1 所示，設接收到的射頻信號為r(t)，載波頻率為ωLO，兩路本振(local oscillator,LO)信號分別為cos(ωLOt)和 -gsin(ωLOt+φ)，其中φ是LO 相偏，g是LO 引入的幅度誤差，δd是I/Q 信號之間的TM 誤差。I/Q 兩路的低通濾波器(low-pass filter, LPF)HI(ω)和HQ(ω)用于消除正交混頻產生的高頻分量，ADC 分別對I/Q 兩路信號進行采樣，將模擬I/Q 信號轉化為數字信號，采樣后的信號分別表示為xI(n)和xQ(n)。

圖1 I/Q 失衡模型

本節將圍繞迭代法中的投影法展開討論，其中基于Krylov 子空間的迭代算法是投影法最為經典的算法之一[15]。投影法通過迭代算法在仿射子空間中搜尋滿足Petrov-Galerkin 條件的近似解，設由A和 初始殘差r0張成的Krylov 子空間為：

I/Q 失衡誤差參數的估計方法主要分為時域估計法和頻域估計法兩大類。時域估計法是基于properness 統計特性的誤差估計方法，但是無法估計I/Q 信號之間TM 誤差的整數部分。而頻域估計方法是通過對輸入的輔助正弦信號進行時頻域轉換，從而根據信號頻譜估計誤差參數，更加適合估計I/Q 失衡增廣誤差，因此本文將選用基于正弦信號的失衡誤差頻域估計方法。

2 失衡誤差估計及分離

式中，Y(ω)是理想的基帶復信號；Y*(-ω)為誤差引起的鏡像信號分量，且：

理論上根據FS 失衡誤差頻響特性關于正負頻率的對稱關系，即埃爾米特對稱性[12]，可以得到LO 相偏的估計值，但是由于實際系統中模擬器件的非理想特性以及噪聲的存在，失衡誤差參數不一定會呈現嚴格的對稱關系，理想的對稱性假設會導致失衡誤差參數估計不準確，從而影響后續的補償精度。另外，基于正弦掃頻信號的估計方法只能得到總的相位誤差參數，當系統中存在TM 誤差時，該方法無法分離TM 誤差和NP 誤差。因此，本節采用基于掃頻信號獲取全帶寬各個頻點總相位失衡誤差，然后對總相位失衡誤差進行多項式擬合的方法來求解各部分獨立的相位誤差參數。

雖然后來求學艱難，畢竟進入了省重點高中—廣水一中，遺憾的是，由于發揮失常，2002年高考只過了專科線，進入武漢一所普通專科學校學習法律專業，但內心深處始終有一個堅定的信念：北大在等著我。

設 ωk為單音信號頻率，k=1,2,···,K，K為總的輸入掃頻信號個數，這一組信號頻率等間隔的覆蓋了整個基帶帶寬。ωLO=2πfLO為LO 信號角頻率，掃頻單音信號逐個被送入接收機并分別與兩路LO信號進行混頻。具體推導過程參考文獻[13]，將估計得到的I/Q 信號幅度誤差和相位誤差分別表示為A?(ω) 和θ?(ω)。

首先對測得的相位失衡誤差θ?(ω)進行多項式擬合，θ?(ω)可以擬合為一個S階多項式：

將式(4)表示為矩陣形式θ=K·P，其中P為擬合多項式系數向量，且

抓項目，重點水利工程建設全面加快。新一輪治淮全面提速，全省單項投資最大的水利工程——淮干蚌埠浮山段行洪區調整和建設工程開工建設，淮河洼地治理外資項目穩步推進，南水北調東線洪澤湖抬高蓄水位影響處理完成主體工程。長江干支流治理有序推進，青弋江分洪道、水陽江、滁河近期防洪治理工程進展順利。續建43個中小河流治理項目，開工建設89個中小河流治理項目。完成5個山洪災害防治縣級非工程措施。實施中小河流治理重點縣綜合整治與水系連通試點。新安排實施11座大中型病險水閘除險加固。同時，重點水利項目前期工作加快推進，省政府將22項重點水利項目列入2013年全省重大前期工作項目推進計劃，進行重點調度。

3.2.2 補償濾波器設計原理

3 I/Q 失衡補償結構及補償算法設計

3.1 I/Q 失衡補償結構

本文設計的補償結構如圖2 所示，主要分為LP 補償、NP 和幅度失衡誤差補償兩個部分，并分別用虛線框和實線框進行了標注。

圖2 失衡誤差補償結構

首先LP 補償部分中的TM 誤差 δ?d可以分為整數D和分數F兩個部分，即δ?d=F+D。延時模塊用于消除整數部分D，而分數部分F可以采用分數延時(fractional delay, FD)濾波器補償，經過延時模塊和FD 濾波器的I 信號為x˙I(n)。LP 中的LO 相偏φ?則由兩個增益因子tan φ?和 sec φ?進行補償。實數FIR 濾波器用于補償NP 誤差φ?(ω)和幅度失衡誤差A?(ω)，經過濾波器后的Q 信號為x˙Q(n)，經過補償模塊后的I/Q 信號可以分別表示為：

3.2 指定頻響的補償濾波器設計

本節的目標是設計一個實數FIR 濾波器去逼近Hopt，但是補償Hopt可能需要一個非因果或具有無限長脈沖響應的濾波器，在實際的系統中無法實現這樣的濾波器，需要對其進行截斷，而截斷長度以及截斷起始點會直接影響濾波器的設計精度。假設截斷階數為N，則截斷的操作相當于一個長度為N的矩形窗去點乘該濾波器的脈沖響應，而點乘序列的起點則取決于時延值d。設無限長非因果濾波器的脈沖響應如圖3a 所示，d=0時則代表矩形窗框選的是抽頭0～N-1，然而抽頭 -1的幅度明顯大于抽頭N-1，因此直接截斷會引入較大的誤差。以圖3b 中d=1的方式進行截斷，此時框選的是圖3a中的抽頭-1～N-2，則將值較大的抽頭 -1也包括在截取的系數中，因此d=1截取得到的濾波器逼近精度要高于d=0的截取方式。

設增加過渡帶后的全奈奎斯特帶寬目標頻響為Hd=[Hsn,Hopt_d,Hsp]，Hsp和Hsn分別為正負頻段增加的過渡帶頻響，長度均為L，因此Hd的總長度為R=2L+K。定義傅里葉變換矩陣Fr,n=e-j2πωrn，其中r=1,2,···,R，n=0,1,···,N-1，N為設計補償濾波器階數，濾波器系數hd和Hd之間的關系可以表示為：

根據第2 節中的多項式擬合算法可以直接得到LO 相偏φ?和TM 誤差 δ?d并對其補償，設NP 誤差φ?(ω)和幅度失衡誤差A?(ω)組成的誤差頻響為Hopt，頻響Hopt的補償轉化為一個具有NP 特性的實數FIR補償濾波器的設計問題。

圖3 濾波器截斷示意圖

綜上所述，在選定濾波器階數的情況下，時延值d的選取會對濾波器的設計精度造成很大影響。加入延時d的目標頻響Hopt_d可以表示為：

P0和P1分別為擬合多項式的常數項和一階項系數，該值分別為LO 相偏估計值 φ?和TM 誤差估計值 δ?d，剩余部分則為LPF 頻響誤差引入的相位誤差的估計值φ?(ω)。根據各部分相位誤差和頻率的關系，可以將總相位失衡誤差分為線性相位(linear phase, LP)部分和NP 部分，其中LP 部分包括LO相偏φ?和TM 誤差 δ?d，而NP 部分則由φ?(ω)組成。

式(10)中的MSE 包含所有待設計頻點的頻響誤差，若將全奈奎斯特帶寬均勻抽樣后的頻響作為目標頻響，則過渡帶的設計頻點較多。過渡帶的設計頻點占據總頻點的權重越大，在MSE 一定的情況下通帶頻點的設計精度越差，若減小掃頻頻率間隔會使得該現象更為嚴重。因此本文通過增大目標頻響的過渡帶頻點間隔，減少待擬合的過渡帶頻點個數的方式來提高通帶的補償精度。由于過渡帶頻響設計的主要目的是保證過渡帶的衰減特性，防止系統信噪比的惡化，因此只需要保證目標幅頻特性在過渡帶處呈現衰減趨勢即可。由于目標相頻φ?(ω)是非線性相位，為避免群延時發生陡變而使得濾波器難以設計，本文相頻的設計原則是根據已有的通帶邊界相位值及其趨勢進行平滑擬合。

3.2.1 補償濾波器設計的因果性問題

要計算生產、消費和進出口的要素含量，需要獲得各行業生產的要素投入量。各行業的要素投入量既包括直接投入的要素，也包括間接的要素投入，即生產中間投入所需的要素。

至此，補償濾波器的設計被轉化為一個線性方程求解的問題，求解線性方程的方法可以歸納為兩大類：直接求解法和迭代求解法。直接求解法主要包括消元法、Cholesky 分解法等[14]，但直接求解法會涉及矩陣求逆的計算，需要消耗大量的計算及存儲資源，還可能存在病態矩陣問題，因此本文采用迭代求解法的思想設計補償濾波器。

3.3 基于Krylov 子空間迭代法的濾波器設計

A(ω) 和φ(ω)是由濾波器HI(ω)和HQ(ω)之間的不匹配引入的幅度和相位失衡誤差。綜上，帶有上述失衡誤差的復信號的頻域表達式X(ω)可以表示為：

例如在進行《茉莉花》這首歌的教學時，筆者會重視學生主體地位在課堂中的體現。在教學開始時，先為學生講述這首歌的一點故事，為下階段教學的開展打好基礎。接著要求學生通過小組合作的方式自主學習《茉莉花》，在相對自由和諧的課堂氛圍中學生的學習積極性明顯提升，同時因為有故事之間的鋪墊，趣味性也得到了增強，有效地提高了教學質量。最終學生都能通過小組合作的方式完成音樂學習任務，很好地激發學生的音樂學習興趣。

式中，初始殘差r0=b-A×hd,0，hd,0為式(13)中的任意初始解；m維 的仿射子空間表示為Km(A,r0)+hd,0。投影法主要包括基于Lanczos 和Arnoldi 過程的迭代算法，基于Lanczos 過程的方法需要更少的存儲資源和數學運算[16]，主要有雙共軛梯度算法(biconjugate gradient, BiCG)、穩定雙共軛梯度算法(biconjugate gradient stabilized, BiCGstab)、CGS、擬極小殘差法(quasi-minimal residual, QMR)和最小平方QR 分解法(least square QR, LSQR)。

為比較上述算法設計補償濾波器的效果，設I/Q 通道LPF 模型為3 階巴特沃斯濾波器，頻響分別為：

德國在聯邦政府基金支持下展開了智慧能源E-Energy示范項目。我國國家發改委、能源局和工信部于2016年2月24日聯合發布了《關于推進“互聯網+”智慧能源發展的指導意見》[1],將“互聯網+”智慧能源簡稱為能源互聯網,以互聯網+、 智慧能源、充分競爭市場作為能源互聯網的基本要素,認為它是一種互聯網與能源生產、傳輸、存儲、消費以及能源市場深度融合的能源產業發展新形態。互聯網+使得交易開放成為能源互聯網的主要特征之一,因而建設能源互聯網,必須要“建立多方參與、平等開放、充分競爭的能源市場交易體系”。

式中，fc,I和fc,Q分別為上述LPF 的截止頻率，且滿足fc,Q=(1+p%)fc,I，p代表兩個濾波器之間的極點失衡百分比，本實驗中設置p=2。定義標準化殘差：

以p=1為例，上述各迭代算法迭代10 次的標準化殘差變化曲線如圖4 所示，其中CGS 迭代算法具有最快的收斂速度和最高的收斂精度，再綜合考慮上述算法的計算量和穩健性等方面的表現情況，本節選擇CGS 算法來完成實數FIR 補償濾波器的設計。

圖4 Krylov 子空間各迭代算法收斂性能對比

4 仿真實驗驗證

系統采樣率fs=1 GSPS，基帶頻率范圍為[-400 MHz, +400 MHz]，系統信噪比為40 dB，LO頻率fLO=1 GHz，掃頻輸入信號頻率間隔設置為10 MHz，通帶頻點數K=80。LO 引入的FI 部分誤差分別為幅度失衡誤差g=1.03，相偏φ=3°，TM 誤差δd=1.2Ts，且Ts=1/fs，p=2。多項式擬合階數越大則擬合的算法復雜度越高，因此本節設定的擬合階數為3。設置補償濾波器階數N=40，因此延時值d的變化范圍為0～20，測試增加的過渡帶點數L的變化范圍為1～5。3 階多項式擬合得到的NP 部分作為算法的目標相頻，估計得到的幅度失衡誤差作為目標幅頻，組成補償濾波器目標頻響。根據目標頻響，CGS 算法在不同的d和L值下分別迭代20 次得到的通帶頻響誤差MSE 值以及RIR 平均值(所有頻點求得的平均值) 等高線分布分別如圖5 所示。

圖5 CGS 設計補償濾波器頻響誤差MSE 和補償后RIR 平均值等高線圖

觀察圖5 中的MSE 值變化趨勢可知，隨著過渡帶點數L的增加，MSE 值逐漸變差，該趨勢與3.2.2 節的分析相符合。RIR 平均值隨著L值變化的趨勢與MSE 值一致，同樣是隨著L的增加而惡化。由圖5 觀察到相比于較小的L值，較大的L需要更大的d值才能達到與較小的L值相似的MSE以及RIR 平均值，這意味著補償結構的延時會進一步增大，不利于補償結構以及系統整體的實時性。

結合上述各組參數設置得到各個頻點的RIR值以及設計補償濾波器過渡帶的波動情況進行分析，得到dopt=8，L=1為最佳的參數設定，設計得到的濾波器頻響如圖6 所示，過渡帶呈現平穩下降的趨勢。

圖6 CGS 設計補償濾波器頻響特性

測試補償前后的RIR 曲線如圖7 所示，為了驗證提出方法的有效性，同時驗證了系統中不存在TM 誤差的情況。首先觀察校正前的RIR 曲線，相比于沒有TM 誤差的系統RIR 曲線，δd=1.2Ts對應的RIR 值大幅度下降，在大部分頻點已經降至0 dB 以下，進一步說明了TM 誤差的存在使得RIR 的惡化更加嚴重。當δd=1.2Ts時，經過本文提出的補償結構后RIR 平均值提升了近77 dB，而沒有TM 誤差的RIR 平均值也提升了近47 dB。

因此，沙四上亞段沉積早期的湖底扇、深水濁積扇及在扇體前方發育的滑塌濁積巖是辛鎮地區沙四上亞段沉積期的主要儲層類型。其中，尤屬發育在沙四上亞段沉積早期的湖底扇砂體厚度大，孔隙結構特征等方面顯示儲集性能最好，其他類型儲集性能相對較差。

我跟喬振宇因為這些“政見不合”的事爭執過多次，他一辯不過我必然出口抱怨：“我喬振宇堂堂一個大丈夫，當初怎么就豬油蒙心找了你這個油鹽不進的三等女了呢？”

圖7 補償前后RIR 曲線

因此綜上所述，本文提出的濾波器設計方法可以通過增加少量過渡帶頻點來保證其衰減特性，同時確保了通帶的補償精度，設計的補償架構獲得了很好的I/Q 失衡增廣誤差補償效果。

5 結 束 語

本文針對I/Q 失衡問題建立了一種包含TM 誤差的增廣誤差模型，提出了一種“離線估計，在線補償”的補償策略。首先利用數據輔助型方法進行幅度和相位誤差估計，然后應用多項式擬合對各部分相位誤差進行分離，并提出了一種對各部分失衡誤差“分而治之”的補償結構。該結構采用具有NP 特性的實數FIR 濾波器，相比于傳統的復數補償濾波器可以節省大量運算資源。補償結構中的FIR 濾波器的設計利用LS 法選擇最優的延時值，保證了濾波器的因果性。采用基于Krylov 子空間迭代算法中的CGS 迭代算法設計FIR 補償濾波器，并通過增大過渡帶設計頻點間隔同時保證了補償濾波器通帶的設計精度和過渡帶的衰減特性。實驗結果表明，本文提出的補償結構具有很好的I/Q 失衡增廣誤差補償效果，獲得了近77 dB 的RIR提升。