全空間上類(lèi)p-Laplacian方程解的存在性

丁 玲

(中國(guó)人民解放軍陸軍炮兵防空兵學(xué)院 基礎(chǔ)部,安徽 合肥 230031)

1 預(yù)備知識(shí)

在全空間RN(N≥3)上考慮類(lèi)p-Laplacian方程

(1)

的解，其中2≤p

陳祖墀等[1]在有界光滑區(qū)域Ω?RN(N≥3)中研究了類(lèi)p-Laplacian方程的特征值問(wèn)題,證明了以下兩個(gè)有趣結(jié)果:

2 主要結(jié)果

假設(shè)

A3)NB(r)-B′(r)r關(guān)于r是嚴(yán)格單調(diào)遞增的.

定理1設(shè)A1)—A3),f1)—f2),V)成立，則方程(1)存在非平凡解u(x)∈W1,p(RN).

3 定理1的證明

3.1 能量泛函分析

記

由變分原理,尋求方程(1)的弱解可歸結(jié)為尋找

(2)

引理1設(shè)A1)—A3),f1),V)成立,則由(2)式定義的泛函I∈C1(E,R).

步驟1證明IA是Gateaux可微的.證明過(guò)程見(jiàn)文獻(xiàn)[1].

步驟2證明I′A是連續(xù)的,從而IA是Frechet可微的.

(3)

對(duì)于(3)式右邊第1項(xiàng)，有

→0.

對(duì)于(3)式右邊第2項(xiàng)，因?yàn)閍0≤a≤T，且Dum→Du,a.e.x∈RN,故由Lebesgue控制收斂定理,得

這就證明了I′A在u連續(xù),從而IA是Frechet可微的,即有IA∈C1(E,R).

步驟3對(duì)于泛函I中的其他積分項(xiàng),可類(lèi)似IA的證明,從而I∈C1(E,R).

接下來(lái)證明能量泛函I(u)具有山路幾何結(jié)構(gòu).

引理3存在v∈E,使得I(v)<0.

3.2 (PS)序列分析

由引理2和3,以及山路定理[7-8]知,對(duì)

其中:c為常數(shù)；Γ={γ∈c([0,1],E):γ(0)=0,γ(1)≠0,I(γ(1))<0},存在(PS)序列{um}?E,即有I(um)→c,I′(um)→0(m→∞).

命題1(PS)序列{um}是有界的.

(4)

計(jì)算可得

I′(um)φ→I′(u)φ.

(5)

為此，先證明下面的梯度幾乎處處收斂.

命題2設(shè){um}為泛函I的有界(PS)序列,則Dum→Du幾乎處處于RN中.

證由E=W1,p(RN)及延拓定理，可取緊集K′??K?RN.設(shè)光滑函數(shù)φK:RN→R滿(mǎn)足0≤φK≤1,并且φK=1在K′上,φK=0在RNK上.取φ=φK(um-u).由于um→u幾乎處處于K中,um→u于Ls(K)(1≤s

(6)

由A2)知

(7)

(8)

結(jié)合(6)—(8)式，易知Dum→Du幾乎處處于K中.利用一列緊集Ki(i=1,2,…)覆蓋RN,則由可數(shù)可加性知,Dum→Du幾乎處處于RN中.

下面證明(5)式.易知

等式右邊第2,3項(xiàng)顯然收斂于零,對(duì)于第1項(xiàng),有

而在BR上，由于Dum→Du幾乎處處成立,故由Egrov定理,得

從而可知Ⅳ→0.另一方面,由Lebesgue控制收斂定理易知Ⅴ→0.從而(5)式成立.

下面證明u≠0,即u是方程(1)的非平凡弱解.利用反證法.假設(shè)u=0.考慮泛函I∞:E→R,

命題3{um}是泛函I∞在水平的(PS)序列.

命題4存在R>0,α>0,使得

證假設(shè)結(jié)論不成立,則由集中緊性原理[8-9]知,um→0于Ls(RN)(p

從而有

即um→0于E以及Lp(RN)中,從而由I的定義,有I(um)→0,這與I(um)→c>0矛盾.

由命題4,存在α>0,R>0以及序列{yn}?RN,使得

(9)

4 例子

例1考慮方程

解的存在性，其中p≥2,N≥3,p

從而有

關(guān)于r是單調(diào)遞增的.故由定理1知方程存在一個(gè)非零解.