基于變換序列權(quán)重峰值擬合的直線電機速度的快速精密測量

趙 靜，王婉婉，周 楊，董 菲

（安徽大學(xué) 電氣工程與自動化學(xué)院，安徽 合肥 230601）

1 引 言

直線電機由于其加速度大、定位精度高、結(jié)構(gòu)簡單等優(yōu)勢，是高檔數(shù)控機床的核心驅(qū)動部件，在高速精密加工、制造行業(yè)中得到了廣泛的應(yīng)用［1-3］。對直線電機伺服系統(tǒng)而言，電機動子速度是重要的控制信息，其速度測量精度對于改善系統(tǒng)速度環(huán)的動態(tài)特性至關(guān)重要［4-6］。因此，研究一種簡單、精確的直線電機測速方法具有重要的實用價值。

系統(tǒng)速度反饋根據(jù)位移信息和信號采樣頻率獲得。目前，常見的直線電機動子速度測量方法采用光電編碼器、激光干涉儀等硬件傳感器。其中，直線光電編碼器測量精度較高，但環(huán)境適應(yīng)能力差［7］。而光柵應(yīng)用環(huán)境要求比較嚴(yán)格，不能承受較大振動，并且高精度光柵價格昂貴，維護困難，不適合長行程的直線電機［8］。雖然激光干涉儀測量精度較高，但其抗震性能差，并且成本較高，因此在機械加工現(xiàn)場較少使用［9］。針對特定場合下的直線電機測速，文獻［10］采用交叉感應(yīng)線纜對大型直線電機磁懸浮列車進行測速定位，精度較高，但僅適用于文獻研究場景，限制因素較多。

數(shù)字圖像測速技術(shù)是近年來發(fā)展起來的自主測速方法，具有非接觸性、高精度和低成本等優(yōu)點，廣泛應(yīng)用于工業(yè)測量領(lǐng)域［11-12］。將它引入到永磁同步直線電機動子速度測量上，為動子速度測量提供了新思路。數(shù)字圖像測速方法主要分為光流法和序列圖像測量［13-14］。文獻［15］采用SURF提取特征點，通過改進的光流法對特征點進行檢測和跟蹤。然而光流法要求相鄰幀的亮度恒定，計算比較耗時，不具備很好的實時價值。相位相關(guān)比空域互相關(guān)法有更高的精度和可靠性［16］，文獻［17］利用超聲拍攝系統(tǒng)采集血管造影圖像序列，通過對連續(xù)兩幅圖進行圖像互相關(guān)計算位移矢量，進而得到血流速度；文獻［18］提出了一種基于奇異值分解（Singular Value Decomposition，SVD）的相位相關(guān)矩陣的運動估計方法。為了降低圖像信息冗余，文獻［19］將二維圖像單行采樣，利用改進的相位相關(guān)算法（Extended Phase Correlation Algorithm，EPCA），速度和測量精度均得到提高。但以上方法僅能在小位移內(nèi)達到較高的精度，時效性仍有待提高。

上述測速方法均存在不足，因此本文以永磁同步直線電機為研究對象，設(shè)計了基于線掃描相機的電機動子測速系統(tǒng)，提出了一種基于連續(xù)一維信號和反比例權(quán)重峰值擬合的動子測速方法。首先，計算位移前后信號的歸一化互功率譜，使用傅里葉反變換得到狄拉克脈沖函數(shù)。然后，構(gòu)造反比例函數(shù)代替狄拉克函數(shù)，使用峰值點和兩個鄰域點加權(quán)估算出相關(guān)幀的亞像素位移值。最后，根據(jù)設(shè)定時間間隔和標(biāo)定系數(shù)，得到動子的平均速度，進而連續(xù)變換相關(guān)信號，得到直線電機的連續(xù)速度。

2 直線電機的圖像測速系統(tǒng)設(shè)計

本文設(shè)計的直線電機動子測速系統(tǒng)如圖1所示。

系統(tǒng)主要利用線掃描相機獲取底座上的序列條紋信號。在兩幀有重疊區(qū)域的位移前后信號f1（x）和f2（x）中，f2（x）可以表示為：

通過研究的亞像素測量算法，估計出兩幀之間的位移矢量Δx，在設(shè)定時間間隔Δt下，計算平均速度，通過連續(xù)速度關(guān)聯(lián)形成直線電機的速度狀態(tài)監(jiān)測，動子的瞬時速度為：式中：x為圖像的灰度像素，v表示瞬時速度。由于設(shè)定的時間間隔極短，動子的平均速度近似等于瞬時速度。

直線電機在做一維線性運動時動子往往會產(chǎn)生縱向抖動。如果是普通的二維灰度圖像，相機掃描目標(biāo)圖像時會產(chǎn)生掃描偏差，因此需要將目標(biāo)圖像的縱向灰度變化量置零，避免縱向振動的干擾。同時為了使圖像橫向灰度信息更豐富，本文構(gòu)造出一種鋸齒波條紋目標(biāo)圖像，如圖2所示。

圖2 鋸齒波條紋目標(biāo)圖像Fig.2 Sawtooth stripe target image

沿著動子的水平運動方向，在底座上固定鋸齒波條紋目標(biāo)圖像。在電機運動過程中，動子側(cè)面的線掃描相機實時掃描目標(biāo)圖像獲取一維信號，如圖3所示。計算出動子的實際位移，在已知兩幀時間間隔下，即可計算出平均速度。對于直線電機動子運動平臺，由于獲取的條紋信號是連續(xù)并且能穩(wěn)定地進行相位相關(guān)，因此可以得到連續(xù)的動子對地速度。

圖3 線掃描相機獲取的信號Fig.3 Signals acquired by line scanning camera

3 基于權(quán)重峰值擬合的測速方法

3.1 相鄰信號的直接相位差算法

直線電機動子在一維線性運動過程中，固定在其側(cè)面的線掃描相機在時刻t獲取到的鋸齒波信號為f（x），在時刻t+Δt獲取到的鋸齒波信號為g（x）。根據(jù)式（1）可知，f（x）和g（x）滿足：

式中d為位移前后幀的像素位移矢量。

首先f（x）和g（x）計算相位相關(guān)，引入快速傅里葉變換（Fast Fourier Transform，F(xiàn)FT），f（x）和g（x）的傅里葉變換關(guān)系為：

其中：G（U）和F（U）代表g（x）和f（x）的傅里葉變換，U是頻率域坐標(biāo)，i是復(fù)數(shù)，M是圖像尺寸。為了得到相關(guān)幀的相位差，計算f（x）和g（x）的歸一化互功率譜，并對歸一化互功率譜做傅里葉反變換，得到：

式中：F-1表示傅里葉逆變換，q（x）看作狄拉克函數(shù)。由于信號只存在一維x方向的運動向量，因此，理想情況下一維狄拉克函數(shù)在x方向上定義為：

式中：δ表示變量為x，δx的分段函數(shù)，d x和δx表示x方向的運動向量。設(shè)定鋸齒波條紋相關(guān)幀位移d=15 pixel，即動子向左平移，拍攝的信號向右平移，計算的狄拉克函數(shù)如圖4所示。

從圖4可以看出，理想狀態(tài)下整像素平移后的脈沖函數(shù)的峰值為1，且脈沖函數(shù)出現(xiàn)在三維圖的一個平面上，一維互相關(guān)峰值的橫坐標(biāo)是15 pixel，與設(shè)定位移d大小吻合。函數(shù)δ的峰值反映了相鄰信號的相關(guān)性，峰值越接近1，檢測精度越高。而當(dāng)位移是亞像素時，脈沖函數(shù)峰值較低且出現(xiàn)較多的次峰。

圖4 相位相關(guān)峰值Fig.4 Phase correlation peak

3.2 基于反比例函數(shù)的鄰域點加權(quán)精確擬合

本文引入可以用來計算圖像平移參數(shù)的反比例函數(shù)來替代狄拉克函數(shù)：

當(dāng)a→0時，得：

當(dāng)a→0時，對式（8）進行積分，得：

由式（9）可知，所構(gòu)造的反比例函數(shù)滿足一維狄拉克函數(shù)平移性質(zhì)，得到：

由式（10）可知，脈沖峰值位置只會出現(xiàn)在圖像的邊界上，即一維x方向上。整像素位移僅需一個峰值點就能確定，但亞像素位移會使脈沖函數(shù)出現(xiàn)多個次峰。在峰值點的相位差信號的能量值最高，若采用峰值點以外的鄰域點擬合，會增加計算耗時，并且擬合精度會受到旁瓣噪聲的干擾［20］。

為了確保精度和實時性，本文根據(jù)一維峰值點x=argmaxp（x）及其兩個鄰域點作為擬合陣列，得到：

其中：（x2，P（x2））是x方向上的峰值點，（x1，P（x1））和（x3，P（x3））分別是左右鄰域點。緊接著P（x1）除以P（x2），P（x2）除以P（x3），得到：

令a=0，得到：

根據(jù)式（13），考慮存在以下3種假設(shè)條件：

（1）位移矢量在狄拉克函數(shù)的左邊緣，x1不存在。采用點x2，x3及其峰值P（x2），P（x3）擬合亞像素級峰值點，得到：

式（14）有兩個解，選擇x2～x3間的值作為最佳峰值點；

（2）位移矢量在狄拉克函數(shù)的右邊緣，x3不存在，采用點x1和x2擬合亞像素級峰值點，得到：

同理選擇x1～x2間的值為最佳峰值位置；

（3）位移矢量在狄拉克函數(shù)中心附近，則峰值點在x2的兩側(cè)。狄拉克函數(shù)具有對稱性，距峰值位置越近，函數(shù)值越大。因此按照峰值大小設(shè)定兩個準(zhǔn)峰值位置不同的權(quán)重，來選擇最終的峰值位置。考慮前兩種情況，構(gòu)建基于權(quán)重的擬合公式［21］如下：

圖5 經(jīng)驗值對測量精度的影響Fig.5 Influence of empirical value on measurement accuracy

式中w1和w2是權(quán)重函數(shù)：

式中k是一個常數(shù)。

k的選取影響著權(quán)重值w1和w2，進而影響算法的測量精度。本文通過改變k值進行仿真實驗，計算測量位移誤差，如圖5所示。從圖5可以看出，當(dāng)經(jīng)驗值k取12時，此時算法的最大測量誤差值為0.055 pixel，精度最高，因此仿真實驗k值均取12。

3.3 速度計算

由于線掃描相機的行頻很高，設(shè)定拍攝幀頻為1 000 frame/s，則圖像信號的偏移量始終處于有限范圍內(nèi)，f（x）和g（x）的互相關(guān)函數(shù)主峰位于中心附近。因此，利用本文提出的算法進行處理時，僅計算相關(guān)峰的鄰域有限點，即可計算出像素位移矢量。事先標(biāo)定好相機像素的物理尺度s。在相鄰間隔時間內(nèi)可近似認為直線電機動子是保持相對地面高度不變的勻速直線運動，那么動子的平均速度為：

速度方向由像素位移矢量方向決定。

4 仿 真

為驗證本文方法的有效性，在Matlab2017a中進行仿真實驗，電腦配置為：inter（R）i5-8250U，3.40 GHz主頻，8 GB RAM。

由式（18）可知，速度值相當(dāng)于位移矢量乘以常量，因此對位移矢量的仿真測量就相當(dāng)于對速度的測量，本文的測速方法對位移矢量的測量表現(xiàn)能夠體現(xiàn)出對速度的測量性能。將EPCA［19］，SURF［15］，MPF［20］，SVD［18］與所研究的權(quán)重相位相關(guān)峰值擬合（Weighted Phase Correlation Peak Fitting，WPCPF）方法進行仿真實驗對比，分別從運行時間、測量范圍以及精度魯棒性等方面進行驗證。

為了驗證本文算法的快速性，分別記錄上述5種算法每一次運行的耗時，進而繪制如圖6所示的算法耗時對比曲線。從圖6可以看出，WPCPF算法的平均耗時在0.019 8 ms左右，其計算速度遠遠高于其他4種算法，完全滿足線掃描相機的幀頻掃描要求。SVD和EPCA的平均耗時分別是0.018 s和5.79 ms。本文算法的效率比EPCA提高了至少100倍，在算法耗時上能夠滿足直線電機動子位置檢測的實時性要求。

圖6 耗時比較曲線Fig.6 Time-consumption comparison curves

為了驗證WPCPF算法的位移測量范圍，與EPCA，SURF，MPF和SVD算法的測量范圍進行比較。以一定步長1.04 pixel對目標(biāo)圖像進行位移設(shè)定，分別采用上述5種算法進行位移計算，測量結(jié)果如圖7所示。

圖7 長距離下不同算法的測量精度Fig.7 Measurement accuracy of different algorithms in long measurement range

從圖7可以看出，在動子位移范圍較大的情況下，EPCA，SURF，MPF，SVD的測量誤差達到了400 pixel，即在較大的位移范圍內(nèi)算法無法進行測量。其中，SVD，SURF和EPCA在位移接近200 pixel時誤差發(fā)生突變，無法實現(xiàn)亞像素測量。

而WPCPF算法始終保持亞像素測量，平均測量精度為-0.007 pixel，測量誤差為-0.05～0.03 pixel。因此與其他算法相比，本文算法可以實現(xiàn)更遠距離的測量，并且測量精度更高，滿足直線電機在速度較高情況下相關(guān)幀偏移較大的測量要求。

當(dāng)位移值設(shè)定在一個較小的范圍內(nèi)，驗證不同算法的測量精度，采用上述算法進行位移仿真測量對比，計算結(jié)果如圖8所示。

圖8 不同算法的測量精度Fig.8 Measurement accuracy of different algorithms

由圖8可知，EPCA的測量范圍為-0.068 74～0.023 35 pixel，其 平 均 測 量 誤 差 為0.007 1 pixel；SURF算法的誤差為-0.027 14～0.017 89 pixel；MPF算法的測量最大誤差為0.206 6 pixel；SVD進行亞像素位移估計時，其測量誤差的波動為-0.031 62～0.032 47 pixel。而本文算法在測量相關(guān)幀較小的偏移，其測量誤差為-0.034 32～0.055 1 pixel，測 量 精 度 達 到0.02 pixel。由此表明，本文算法具有較高的測量精度以及良好的測量穩(wěn)定性。

為了驗證本文測量算法的魯棒性，對鋸齒波條紋目標(biāo)圖像添加不同種類噪聲或不同強度的高斯噪聲，使用WPCPF算法進行位移計算，測量結(jié)果如圖9所示。

由圖9可知，隨著高斯噪聲強度的不斷增加，測量結(jié)果并沒有發(fā)生明顯的變化，本文算法仍然保持較高的測量精度。當(dāng)高斯噪聲方差為0.08時，測量最大誤差在0.043 96 pixel，測量誤差波動較小且波動曲線并未發(fā)生突變。在椒鹽噪聲和散斑噪聲下測量的平均誤差為-0.011 pixel和-0.022 1 pixel。因此，WPCPF的測量結(jié)果穩(wěn)定，對噪聲具有很強的抗干擾性，在進行真實噪聲的模擬環(huán)境下具有較強的魯棒性。

圖9 不同噪聲下的位移檢測結(jié)果Fig.9 Displacementdetectionresultsunder differentnoises

綜上所述，本文研究的權(quán)重相位相關(guān)峰值擬合算法在實時性、測量范圍、精度和魯棒性等方面優(yōu)于傳統(tǒng)方法。

5 實 驗

5.1 實驗平臺的建立

為了驗證本文方法的可行性，搭建如圖10所示的實驗平臺。為方便實驗，固定優(yōu)選出的鋸齒波條紋圖像，使之與線掃描相機的鏡頭相垂直。PMSLM的最大運行速度為1 m/s，有效行程為380 mm，線掃描相機的分辨率為1×1 024 pixel，幀頻為103frame/s。補光燈用以改變現(xiàn)場光強，照度計測量環(huán)境光強。當(dāng)直線電機運動時，線掃描相機實時獲取含有運動信息的一維信號序列，然后將一維信號送到計算機使用WPCPF算法進行處理，并根據(jù)像素標(biāo)定系數(shù)得到動子的速度。

圖10 速度檢測實驗平臺Fig.10 Experimental platform for speed detection

實驗前，需要對動子的實際物理距離與像素位移值進行標(biāo)定，采用棋盤標(biāo)靶法進行系統(tǒng)標(biāo)定，本 實 驗 的 標(biāo) 定 系 數(shù) 是0.035 6 mm/pixel［22］。則動子的速度進一步表示為：

式中Δt是固定間隔時間，相關(guān)幀的物理位移距離為0.035 6×δx。因此，動子速度v的計算誤差主要來源于相關(guān)幀的位移計算誤差。

為進一步驗證WPCPF方法的正確性，設(shè)計兩組實驗：（1）動態(tài)位置精度跟蹤實驗；（2）動子速度的跟蹤檢測實驗。

5.2 實驗結(jié)果與分析

5.2.1 位置跟蹤性能

根據(jù)圖10的速度檢測實驗平臺，進行位置跟蹤實驗。為了驗證WPCPF方法的跟蹤定位精度，當(dāng)給直線電機預(yù)設(shè)一些分辨率為1μm的位置脈沖時，條紋圖像序列被同步捕獲處理。然后，計算實際位置并與設(shè)定的運動值進行比較。預(yù)設(shè)軌跡如圖11（a）所示，并測量WPCPF方法的誤差，結(jié)果如圖11（b）所示。

通過比較圖11（a）中的設(shè)置運動軌跡，所提出的方法可以在誤差范圍內(nèi)較準(zhǔn)確地測量PMSLM的動子運動位置。從圖11（b）可以看出，該方法的測量誤差波動較小，3種預(yù)設(shè)的運動狀態(tài)的平均絕對誤差分別為0.026 87，0.022 5和0.021 4 mm。它的跟蹤性能方法進一步得到驗證。因此，該方法可以高精度跟蹤永磁同步直線動子的運動位置，并且提供了一種可以用于檢測直線運動目標(biāo)運動軌跡的方案。

5.2.2 測速實驗

為了驗證WPCPF方法的測速精度，在實驗平臺上進行不同速度下的速度檢測實驗。保持現(xiàn)場光強不變，通過運動控制模塊改變電機速度，分別在0.3，0.5和1.0 m/s下采集運動信號，采用本文方法計算相鄰信號間的速度，實驗結(jié)果與分析如圖12所示。在電機運動過程中，采用WPCPF算法對實時采集的一維運動信號進行處理，對動子速度進行計算，運動速度測量結(jié)果如圖12（a）所示。將預(yù)設(shè)速度和測速結(jié)果進行比較，得到的測速誤差曲線如圖12（b）所示。

圖11 WPCPF跟蹤精度驗證Fig.11 WPCPF tracking precision verification

圖12 速度測量精度驗證Fig.12 Speed measurement precision verification

從圖12可以看出，當(dāng)電機動子分別以不同速度穩(wěn)定運行時，本文方法的測速精度保持在一個穩(wěn)定的測量范圍。3種速度下的測速誤差分別為-0.019～0.025 mm/s，-0.024～0.028 mm/s，-0.025～0.027 mm/s。即使電機以最大速度1.0 m/s運行時，該測量方法也能保持穩(wěn)定的測量結(jié)果。

綜上所述，在整個運動過程中測速誤差不大于0.03 mm/s，測速精度良好。從圖12（b）的測速誤差曲線可以看出，動子在3種不同速度下的速度誤差較小，能夠滿足較高的測速精度要求。

6 結(jié) 論

本文分析了光流法、互相關(guān)法和頻域擬合等粒子圖像測速方法的優(yōu)點和限制，在此基礎(chǔ)上提出了永磁同步直線電機動子圖像測速系統(tǒng)的設(shè)計，采用線掃描相機進行拍攝，構(gòu)造出鋸齒波條紋圖像作為目標(biāo)圖像，研究了基于反比例權(quán)重峰值擬合的亞像素測量方法，應(yīng)用到直線電機動子速度測量上，提高了測量的實時性，平均耗時約為0.02 ms。文中搭建了電機動子圖像測速實驗平臺，實驗結(jié)果表明，動子速度的測量精度達到0.03 mm/s，驗證了本文方法的可行性。