粘彈性材料特慢蠕變的局部結構導數本構模型

管佩瑤,梁英杰

(河海大學 力學與材料學院,南京 211100)

自然界中,除彈性固體和粘性流體之外,還有一種介于二者之間的復雜物質,即粘彈性物質。塑料、橡膠、油漆、樹脂、玻璃、陶瓷、混凝土以及金屬等工業材料,巖土、土壤、瀝青、石油和礦物等地質材料,肌肉、骨骼、血液等生物材料,常同時具有彈性和粘性兩種不同機理的形變,綜合地體現粘性流體和彈性固體兩者的特性,稱之為粘彈性材料。力學模型可以簡單、直觀地刻畫材料的本構關系。通常假設粘彈性材料具有線性粘彈性特征,可以利用線彈性和理想粘性的疊加來描述材料的粘彈性行為。彈性元件和粘性元件的串聯或者并聯可以產生不同的效果,以此描述不同的粘彈性力學行為。由力學元件組合而成的力學模型可以同時表現出彈性性質和粘性性質,串并聯特點類比于電路元件。最基本的粘彈性模型由一個彈性元件和一個粘性元件串聯或者并聯而成,這就是經典的Maxwell模型[1]和Kelvin模型[2]。傳統的Maxwell和Kelvin模型中粘性元件的應力與應變率呈線性關系,為整數階導數模型。整數階導數模型在經典力學、聲學、熱傳導、擴散、電磁學,甚至是量子力學中得到了較好的應用[3],但是物理學家和力學家也發現了越來越多的整數階導數模型不能很好地解釋的“反?！爆F象,例如復雜粘彈性材料的蠕變和松弛過程。當荷載持續時間較長時,材料的蠕變能導致內部結構的損傷,從而導致整體失穩或破壞[4]。因此,建立準確的粘彈性本構關系不僅能夠有效地控制由于研究對象形變而產生的結構損傷和破壞,而且可以指導這些粘彈性材料在實際工程中的應用。

近年來,非整數階導數模型是描述粘彈性本構關系的主要數學力學工具。蔡偉等[5]將分形導數應用到粘彈性建模中,推導了分形Maxwell和分形Kelvin模型的蠕變柔量和松弛模量,數值結果表明這些模型可以很好地描述擴展指數律依賴的粘彈性行為。分數階導數蠕變和松弛本構模型[6-7]是描述冪律依賴粘彈性行為的主要方法,與分形導數相比,分數階導數是一個積分算子,計算成本較高。分形導數模型和分數階導數模型描述的這些擴展指數律和冪律依賴的粘彈性力學行為,稱為反常力學行為。實驗表明[8],復雜粘彈性材料的蠕變或者松弛不滿足傳統的指數律增長或衰減機制,也不滿足擴展指數律和冪律,其力學行為為對數律依賴,稱為特慢力學行為。而分形導數模型和分數階導數模型均不能準確描述特慢力學行為。

目前,常用于研究粘彈性材料特慢蠕變的模型是傳統的Lomnitz模型[9],但是傳統的Lomnitz模型只是一個經驗模型,不能通過解析推導得到相應的蠕變函數。為更好地描述粘彈性材料特慢蠕變的現象,通常在傳統整數階導數模型的基礎上添加更多的彈簧元件和牛頓粘壺,以此獲得較好的擬合效果。然而,這樣的處理方式導致在本構方程中引入了更多的材料參數,也使得本構關系具有復雜的形式。另外,蘇祥龍等[10]建立了一種非局部結構導數模型,運用于描述混凝土的特慢力學行為,但是該建模方法包含積分計算,計算成本較高。楊旭等[11]以逆Mittag-Leffler函數為結構函數建立了局部結構粘壺,用于描述混凝土的特慢蠕變,由于逆Mittag-Leffler函數沒有解析表達式,該模型不方便推廣使用。為解決上述問題,文中將采用局部結構導數[11]進行建模。

通過引入新的結構函數,基于傳統模型對牛頓粘壺的應變率進行修正,提出了一種新的局部結構導數建模方法,發展準確描述粘彈性材料特慢力學行為的本構模型。與現有的常用于描述復雜系統的非局部分數階導數相比,局部結構導數沒有積分計算,為計算模擬節約了大量的計算成本。特別地,傳統整數階導數和分形導數均是文中所提局部結構導數的特例。傳統整數階導數的結構函數是線性函數,分形導數的結構函數是冪函數,而文中局部結構導數建模方法使用的結構函數為對數函數。

文中第一部分簡要介紹了現有的傳統整數階模型和分形導數模型,并推導了局部結構導數模型,對比了不同粘壺的本構方程;第二部分以Maxwell本構模型為基礎,介紹了傳統整數階模型和分形導數模型的蠕變和松弛方程,推導了局部結構導數,并對比了不同模型的蠕變柔量和松弛模量;第三部分通過3組混凝土蠕變實驗數據,驗證了局部結構導數模型,并與不同模型進行了對比;第四部分對文中工作進行了總結。

1 粘彈性材料建模方法

1.1 傳統整數階模型

在傳統整數階模型中,彈性元件應力與應變呈線性關系,粘性元件應力與應變率呈線性關系[1],即

式中:E為彈性模量,η為粘性系數。這里的彈性元件由彈簧表示,粘性元件由牛頓粘壺表示,如圖1所示。

圖1 牛頓粘壺Fig.1 Newtonian dashpot

傳統整數階Maxwell模型由彈簧和牛頓粘壺串聯而成,傳統整數階Kelvin模型由彈簧和牛頓粘壺并聯而成,如圖2所示。

圖2 整數階Maxwell模型和整數階Kelvin模型示意圖Fig.2 Schematic diagrams of integer order Maxwell model and integer order Kelvin model

在傳統整數階Maxwell模型中,總應力與粘性元件、彈性元件各自應力相等,總應變為2部分應變之和,由此可以得到傳統整數階Maxwell模型所描述的本構方程[1]為

類似的,在Kelvin模型中,總應變與粘性元件、彈性元件各自應變相等,總應力為2部分應力之和。由此可以得到傳統整數階Kelvin模型所描述的本構方程[1]為

1.2 分形導數模型

分形導數基于時空變換的定義[12]為:

式中,α、β分別表示時間和空間上的分形導數的階數。從定義式中可以看出,當導數的階數取為1時,分形導數可以退化為經典的導數。蔡偉等[5]將分形導數應用到粘彈性建模中,用分形導數取代牛頓粘壺里的常規導數,得到一種分形粘壺,如圖3所示。

圖3 分形粘壺Fig.3 Fractal dashpot

其本構關系為

式中,β是分形導數的階數,代表一種分形維數。

分形粘壺與彈簧串聯可得分形導數Maxwell模型,分形粘壺與彈簧并聯可得分形導數Kelvin模型,如圖4所示。

圖4 分形導數Maxwell模型 和分形導數Kelvin模型示意圖Fig.4 Schematic diagrams of fractal derivative Maxwell model and fractal derivative Kelvin model

與傳統整數階模型類似,可以得到分形導數Maxwell模型的本構方程和Kelvin模型的本構方程[13],為

式中,β表示分形導數的階數,0＜β＜1。當β=1時退化成傳統整數階模型。

1.3 局部結構導數模型

通過引入新的結構函數,提出了一種局部結構導數建模方法。

給定函數u(t),以時間為變量,其局部結構導數的定義[14]為

式中B(t)為結構函數。特別地,當B(t)=tβ時,局部結構導數退化為分形導數;當B(t)=t時,局部結構導數退化為整數階導數。

文中采用式(11)作為結構函數,構造局部結構導數本構模型為

式中,τ0為對t無量綱化的處理。在局部結構導數建模方法中,用結構粘壺(見圖5)替代傳統粘壺[11],即可得到對應的局部結構導數粘彈性模型。

圖5 結構粘壺Fig.5 Structural dashpot

結構粘壺的本構關系為

式中:E0為粘性模量;α為結構導數的階數。將結構粘壺與彈簧串聯或者并聯可以得到局部結構導數Maxwell模型和Kelvin模型,如圖6所示。

圖6 局部結構導數Maxwell模型和局部結構導數Kelvin模型示意圖Fig.6 Schematic diagrams of local structural Maxwell model and local structural Kelvin model

當結構粘壺與彈簧串聯時,總應力與粘性元件、彈性元件各自應力相等,總應變為兩部分應變之和,即

式中:下標e代表彈性元件;下標v代表粘性元件。由此可得局部結構導數Maxwell模型的本構方程為

當結構粘壺與彈簧并聯時,總應變與粘性元件、彈性元件各自應變相等,總應力為兩部分應力之和,即:

由此可以得到局部結構導數Kelvin模型所描述的本構方程為

1.4 方法對比

表1給出了整數階模型、分形導數模型和局部結構導數模型的對比結果。從模型的粘性元件構成來看,分形導數粘彈性模型是用分形粘壺替代整數階粘彈性模型中的牛頓粘壺,局部結構導數粘彈性模型則是用結構粘壺替代牛頓粘壺。從模型的本構方程來看,當分形導數的β=1時,退化成整數階模型。

表1 3個模型對比圖Table 1 Comparison of three models

表中:ε為應變,σ為應力,是實驗測得參數;E為彈性模量,η為粘性系數,E0為粘性模量,三者都是材料參數;α為結構導數的階數,β為分形導數的階數,均可通過模型擬合實驗數據獲得;τ0為對t無量綱化的處理。

2 不同粘彈性模型下的蠕變和松弛行為

本節將根據局部結構導數本構方程推導對應的蠕變柔量和松弛模量。

2.1 局部結構導數Maxwell模型

根據式(15)局部結構導數Maxwell模型的本構方程,給定初始應力σ0,有

同時,當t=0 時,ε(t)=。將式(19)兩邊同時積分,得到蠕變過程:

蠕變柔量為

若在式(21)基礎上,給定初始應變ε0,可得

將兩邊分離變量,得

再根據初始條件當t=0 時,σ(t)=Eε0,可得松弛過程

松弛模量為

表2給出了3種不同Maxwell模型的蠕變和松弛方程。

表2 3種不同Maxwell模型的蠕變和松弛對比Table 2 Comparison of creep and relaxation in three different Maxwell models

2.2 局部結構導數Kelvin模型

根據式(18)局部結構導數Kelvin模型的本構方程,給定初始應力σ0,有

當t=0 時,ε(t)=0,由此求得C1、C2,再將兩邊同時積分,得到蠕變過程:

蠕變柔量為

若在式(18)基礎上,給定初始應變ε0,可得松弛過程

表3給出了3種不同Kelvin模型的蠕變方程。

表3 3種不同Kelvin模型的蠕變對比Table 3 Comparison of creep in three different Kelvin models

2.3 對比和分析

根據上述松弛方程可知,Maxwell模型的松弛響應隨時間增加而減小,當t較小時,松弛響應接近于彈性體;當t趨向于無窮時,松弛響應接近于牛頓流體。此外,傳統整數階Maxwell模型的蠕變響應表現為一條斜直線,這說明整數階Maxwell模型在發生瞬時彈性的同時,產生穩定的流動,然而幾乎沒有材料的蠕變曲線是這種線性形式,因此很少有學者用該模型來模擬蠕變現象。整數階Maxwell模型因而被稱為松弛模型,主要用來描述松弛過程。

圖7給出了不同Maxwell模型對應松弛模量的變化曲線。在下面的部分中,若沒有特殊說明,參數分別設置為:彈性模量E=10,無量綱化τ0=2,粘性模量E0=100。局部結構導數模型階數分別取典型值α=0.5和α=1。從圖7可以看出,當t=0時,所有模型的松弛模量與彈性模量相等。短時期內4個模型差異較小,但在長期松弛過程中,整數階模型衰減速率最快且最早達到穩定狀態;分形導數衰減速率次之,局部結構導數衰減速率最慢。另外,局部結構導數模型階數α=0.5的松弛過程衰減速率顯著慢于階數α=1的松弛過程。

圖7 不同Maxwell模型對應松弛模量的對比Fig.7 Comparison of relaxation modulus in different Maxwell models

在Kelvin模型中,蠕變響應隨時間增加而增加,并且當t趨向于無窮時,蠕變響應接近于彈性體。然而,Kelvin模型無法模擬應力松弛現象,因此Kelvin模型主要用來描述蠕變過程。

圖8給出了不同Kelvin本構模型對應蠕變柔量的對比。與Maxwell松弛模量對比圖類似,傳統整數階模型蠕變過程的增長速率最快,分形導數模型次之,局部結構導數模型的增長速率最慢,并且局部結構導數模型階數α=0.5的蠕變過程增長速率顯著慢于階數α=1的蠕變過程。

圖8 不同Kelvin模型對應蠕變柔量的對比Fig.8 Comparison of creep modulus in different Kelvin models

由模型的理論結果表明,局部結構導數對應的Maxwell模型和Kelvin模型都能刻畫粘彈性材料的較慢的蠕變和松弛現象。圖9和圖10分別給出了基于局部結構導數模型不同階數對應的蠕變和松弛曲線,α分別取0.1、0.3、0.6、1。結果表明,當統一其他參數時,α取值越小,蠕變和松弛的速率越慢。α取值越接近于1,不同α之間的速率差異越大。α取值越小,蠕變或者松弛過程趨于穩定所需的時間越短。

圖9 局部結構導數Maxwell模型不同α 的松弛模量對比圖Fig.9 Comparison of relaxation modulus in local structural derivative Maxwell model with different values ofα

圖10 局部結構導數Kelvin模型不同α 的蠕變柔量對比圖Fig.10 Comparison of creep modulus in local structural derivative Kelvin model with different values ofα

3 局部結構導數模型的應用

本節將采用3組混凝土的蠕變實驗數據驗證局部結構導數模型描述特慢蠕變的可行性。

第一組實驗數據為高強自密實混凝土的蠕變實驗數據。高強自密實混凝土與普通的高強混凝土相比,具有諸多的優點和施工優勢。高強自密實混凝土不僅具有高強混凝土的優勢,而且還具有自密實混凝土的特點,是一種新型的建筑材料。自密實混凝土在施工工藝方面具有節能、環保、降噪等特點,并且可以大大節省施工時間。文中選取文獻[15]中高強自密實混凝土在16 h齡期、加載30%的強度應力比條件下的實驗數據,用局部結構導數模型進行擬合分析,其結果見圖11所示。

圖11 傳統整數階模型、分形導數模型、局部結構導數模型和Lomnitz模型擬合第一組混凝土蠕變實驗數據的對比圖Fig.11 Fitting results for the first creep experimental data set of the concrete by using the classical integer order model,the fractal derivative model,the local structural derivative model and the Lomnitz model

第二組實驗數據為混凝土長達12 a的蠕變實驗數據,取自參考文獻[16]。混凝土圓柱試樣在房間20±1 ℃溫度和50±5%相對濕度條件下,對混凝土圓柱試樣進行加載,局部結構導數模型擬合結果如圖12所示。

圖12 傳統整數階模型、分形導數模型、局部結構導數模型和Lomnitz模型擬合第二組混凝土蠕變實驗數據的對比圖Fig.12 Fitting results for the second creep experimental data set of the concrete by using the classical integer order model,the fractal derivative model,the local structural derivative model and the Lomnitz model

第三組實驗數據選取文獻[17]中,高性能混凝土(UHPC)在90℃(194°F)下進行熱處理,并在加載時以其拉伸強度的40%進行加載,以獲得90 d的蠕變實驗數據。擬合結果如圖13所示。圖中J是蠕變柔量,單位為GPa-1。

圖13 傳統整數階模型、分形導數模型、局部結構導數模型和Lomnitz模型擬合第三組混凝土蠕變實驗數據的對比圖Fig.13 Fitting results for the third creep experimental data set of the concrete by using the classical integer order model,the fractal derivative model,the local structural derivative model and the Lomnitz model

需要指出的是,最早應用于研究粘彈性材料特慢蠕變的模型是傳統的Lomnitz模型

式(32)這種對數蠕變律已被用來描述地幔的地震后變形[18]和巖石的流變學[19]。許多學者[20-23]研究了經典的Lomnitz模型并試圖對其進行修改,但是這些模型不適用于描述廣義的特慢流變現象。同時,Lomnitz模型只是一個經驗模型,物理意義不明晰,無法通過解析解得到蠕變或者松弛過程的函數。

本節將同時對比基于Maxwell本構的傳統整數階模型、分形導數模型、局部結構導數模型和Lomnitz模型,描述上述3組混凝土實驗中特慢蠕變力學行為的可行性。圖11～圖13分別給出了4種模型擬合3組混凝土實驗對應蠕變柔量數據的結果。

從圖11～圖13中的擬合結果可以看出,傳統整數階模型呈線性變化趨勢,與粘彈性材料性質不符。在實驗初期,除了傳統整數階模型之外的3個模型都與實驗數據吻合良好。在實驗中期和末期,局部結構導數和Lomnitz模型表現得更好。Lomnitz模型可用于描述混凝土特慢蠕變的實驗數據,但是該模型是一個經驗模型,物理意義不清楚,不利于推廣。與Lomnitz模型相比,局部結構導數模型在第一組和第二組實驗數據擬合結果上,均有明顯的優勢,特別是第一組實驗數據的擬合結果。對于第三組實驗數據,兩者的擬合結果相當。模型的參數通過最小二乘法確定,表4和表5分別給出了局部結構導數模型和Lomnitz模型參數的值。

表4 局部結構導數模型的參數值Table 4 The values of the parameters in the local structural derivative model

表5 Lomnitz模型的參數值Table 5 The values of the parameters in the Lomnitz model

僅從局部結構導數所描述的蠕變過程來說,實驗時間越長,材料的應變越大,且應變呈對數律增加。當t=0時,其值為同等應力水平下不考慮粘性性質的材料應變大小,即為參數的大小。

對3組實驗數據的擬合結果分別計算擬合優度,表6給出了不同模型擬合優度的對比,整數階模型和分形導數模型的擬合優度較小,局部結構導數模型的擬合優度與Lomnitz模型的擬合優度接近。在第二組和第三組實驗中,局部結構導數模型的擬合優度最高。結果表明,局部結構導數模型是可行的。

表6 不同模型的擬合優度對比Table 6 Comparison of goodness-of-fit in different models

4 結論

傳統的整數階模型適用于描述指數增長的蠕變過程,分形導數模型適用于描述擴展指數增長的蠕變過程,這兩者均不能用于描述特慢蠕變的力學行為。Lomnitz模型雖然可以用于描述特慢蠕變的力學行為,但是它只是一個經驗模型,物理意義并不十分明晰。通過上述研究,文中通過引入lnα(1+t/τ0)作為結構函數,建立的局部結構導數本構模型,能夠更好地描述具有對數依賴現象的粘彈性材料特慢力學行為。通過3組混凝土蠕變實驗數據,驗證了其描述特慢力學行為的可行性。與傳統整數階模型、分形導數模型和Lomnitz模型相比,局部結構導數模型在刻畫特慢蠕變力學行為方面具有明顯的優勢。

根據局部結構導數Maxwell模型本構方程,可得該模型無法描述初始應變為0的蠕變過程和初始應力為0的松弛過程。根據局部結構導數Kelvin模型本構方程,可得該模型只能描述初始應變為0的蠕變過程,并且無法描述粘彈性材料的松弛過程。結構粘壺也可描述初始應變為0的蠕變過程。

文中主要關注的問題是粘彈性材料的特慢蠕變力學行為建模,對特慢松弛模型的驗證將在今后的工作進一步研究。其次,從數學形式的角度來說,Lomnitz模型是局部結構導數Maxwell模型的特殊形式。局部結構導數Maxwell模型為Lomnitz模型提供了明確的物理解釋。因此,文中僅應用了局部結構導數Maxwell模型,并將其與其他模型進行對比,對局部結構導數Kelvin模型的應用將在今后的工作中完善。最后,以宏觀模型和數學解析的方法描述粘彈性材料的力學行為,沒有結合材料的微觀結構,將在后面的研究做進一步分析和討論。