基于保守決策偏好的猶豫模糊余弦優化投影決策方法

崔洪雷，許立波，黃茹，龐超逸

（1.浙大寧波理工學院商學院，浙江 寧波 315000；2.浙大寧波理工學院計算機與數據工程學院，浙江 寧波 315000；3.杭州電子科技大學理學院，浙江 杭州 310018）

多屬性決策是決策者在內含多類型屬性值的備選方案中選擇最滿意方案的過程。決策主體認知、思維的局限性及模糊性，決策客體屬性的多樣化及復雜性，令決策者很難做選擇。針對這一問題，ZADEH［1］于1965 年提出模糊集概念，開辟了不確定信息描述的新途徑。此后，學者們不斷拓展，提出了直覺模糊、區間模糊、三角模糊、II 型模糊、猶豫模糊、區間直覺模糊、直覺三角模糊等概念［2-8］。其中，猶豫模糊可用多值集合表述決策者的不確定思維，通過對決策賦值，增加了靈活性，成為模糊集理論及應用發展的一個重要研究方向。文獻［9-11］研究了猶豫模糊集成算子、距離、相似度等問題，為猶豫模糊集計算奠定了理論基礎。文獻［12-15］對語言猶豫模糊集、區間語言猶豫模糊集、對偶猶豫模糊集、猶豫三角模糊集等做了拓展性理論研究。

針對猶豫模糊信息環境下的多屬性決策問題，通常采用 TOPSIS 法［16-17］、VIKOR 法［18-19］、LINMAP 法［20］、投影法及正交投影法［21］等多屬性決策方法，從逼近理想解的角度，確定備選方案的優劣順序。其中，投影法［22］和正交投影法［23］因簡單直觀、計算合理備受青睞，被廣泛應用于軍事訓練［24-25］、利益分配［26-27］、網站及人員評價［28-29］、企業管理結構復雜度和發展評價［30-31］、醫療數據和廢棄物管理［32-33］等實踐領域。正交投影法彌補了TOPSIS 法逆序排列的缺點，但由于其原理是比較備選方案與正理想解形成的向量在正負理想解向量上的投影長度，因此存在多個備選方案投影點一致的問題。基于此，文獻［34-35］提出了雙向投影法，即在正交投影法的基礎上補充考慮負理想解在備選方案與正理想解向量上的投影點，其核心是通過增加一個投影長度達到便于比較的目的。文獻［36］針對區間直覺模糊信息，構建了雙向投影的最大化非線性目標規劃模型。文獻［37］采用雙向投影法，解決了區間猶豫模糊信息環境下的供需匹配、資源匹配等雙邊匹配決策問題。文獻［38］在屬性值為三角猶豫模糊數的多目標決策中，引入了雙向投影法。文獻［39］拓展了雙向投影法模型，并將其用于處理帶有弱化程度修飾的模糊語言集（LTWHs）信息。文獻［36-39］是雙向投影法的改進與應用，其貢獻在于緩解決策信息特征丟失、提升決策質量等，所用算法的基本原理與文獻［34-35］相同，通過充分考慮每個備選方案與正、負理想解之間的關系，彌補了正交投影法僅考慮其與正理想解之間關系所導致的模型缺陷。

綜上所述，投影法是一種較完善合理的決策方法，在決策領域應用廣泛，但仍存在以下問題：

第一，設計思路主要是計算投影長度，本質是比較距離。投影法便于分離模與夾角［31-32，40］，既可以考慮備選方案方向，又顧及貼近度。現有投影法通常只比較投影長度，投影夾角余弦值僅用于計算投影長度。

第二，正交投影法和雙向投影法模型均缺少對決策主體風險抉擇的心理描述。2 種方法均通過對備選方案屬性值補長區分決策者風險偏好。而補長操作，在所有集合長度相等時，無法對決策者主觀心理進行差異化描述；另外，無論添加的元素是原始數據中的最大值、最小值還是平均值，均只能在集合已有元素基礎上添加，添加元素的數值和個數不具變通性。因此，上述2 種模型在刻畫決策者需求時均較為粗糙，當備選方案間差異較小時，可能出現排序結果與決策者實際風險偏好誤差較大的情況。

基于以上觀點，本文提出一種可靈活描述決策者風險規避心理的余弦優化投影法。在考慮投影長度的基礎上，用投影夾角表示決策者面對風險時的心理傾向，以“同等條件下，保守型決策者更傾向于選擇夾角小、貼近正負理想解向量的備選方案”作為評價規則，對方案進行排序。同時，設置態度參數，通過賦值達到強化或弱化決策主體風險規避心理的目的，令排序結果更準確、穩定，模型決策有用性得到提升。

1 投影法相關算法

1.1 正交投影法

正交投影法是利用投影原理，通過計算并比較各備選方案中正交投影點與正理想點的距離，判斷方案優劣的多屬性決策方法。

圖1 備選方案H1與H2在正交投影法下的比較Fig.1 Comparison of alternative H1 and H2 under vertical projection

1.2 雙向投影法

雙向投影法的核心是，計算2 個投影長度，利用TOPSIS 思想比較貼近度，判斷方案優劣。對于在正交投影法下無法排序的方案H1與H2，可采用雙向投影法，計算過程如下：

（1）計算投影長度1

圖2 備選方案H1與H2在正交投影法下的投影點一致Fig.2 Alternative H1 agrees with H2 projection point under vertical projection

經計算，可得排序，結果為H1?H2。

雙向投影法較好地解決了正交投影點一致情況下方案不可排序的問題。但其模型與正交投影法相同，對決策者風險偏好的描述也是通過對較短集合進行元素添加實現，因添加元素的內容受限，模型在描述決策者心理傾向上有一定局限性。

2 余弦優化投影法

正交投影法和雙向投影法無法有效刻畫決策者的風險態度，當多方案的綜合屬性值非常接近時，可能出現排序結果與決策者心理預期偏差較大的情況。比如，一家企業的經營管理層依據專家評價對投資項目H1、H2進行選擇。專家們對項目H1的評價為（50，70），表示項目H1的收益率最低為50%，最高為70%；而對項目H2的評價為（-20，140），即項目H2雖然存在高收益（140%）的概率，但有可能虧損（-20%）。按平均法，兩項目的綜合屬性值均為60%。通常認為，保守型決策者傾向選擇H1，放棄可能出現虧損的、具有較高風險的H2。又如，如果對H1和H2的評價分別為（50，70）和（10，120），H1的綜合屬性值為60%，H2的綜合屬性值為65%。雖然H2有微小優勢，但保守型決策者仍有極大可能選擇H1。通常，考慮投資穩健性，投資者會放棄最優解與最差解之間波動幅度較大的項目H2。

綜上所述，在實際評價與決策工作中，通常需要考慮決策者的主觀需求，而正交投影法與雙向投影法因其模型只能以元素補長這一常規化方法刻畫決策者的風險態度，無法根據決策者心理偏好進行靈活描述和主觀調整，所以很難從本質上反映不同類型決策者的風險認知。本文對正交投影模型進行了改進，將投影長度和投影夾角相融合，構建了可進行雙渠道比較的決策模型，設計思路如下：

（2）設置風險態度參數α，提升模型對決策主體風險偏好描述的細膩程度。α越大，表示越強調決策者的保守偏好，反之則越弱化。

對于正交投影點相同的方案H1與H2，如果強調決策者風險規避心理，可利用余弦優化投影模型，選擇投影夾角更小的方案H2。如圖4 所示，β2＜β1，因此排序結果應為H2?H1，這與圖3 所示的雙向投影法下的排序H1?H2不一致。若在計算過程中強調決策者的保守偏好，則可賦予風險態度參數α以較大值，令2 個方案的綜合屬性值差距增大，方便判斷其優劣。

圖3 備選方案H1與H2在雙向投影法下的比較Fig.3 Comparison of alternative H1 and H2 under bidirectional projection

圖4 備選方案H1與H2在余弦優化投影法下的比較Fig.4 Comparison of alternative H1 and H2 under cosine optimal projection

圖5 灰靶理論下備選方案H1、H2與球面正負靶心的距離Fig.5 The distance between the alternative H1 and H2 and the spherical positive or negative target center under gray target theory

3 猶豫模糊信息環境下的余弦優化投影算法

3.1 猶豫模糊集

定義1［9-10］設X為非空集合，則稱從X到［0，1］的子集函數為猶豫模糊集，記為

3.2 問題描述

3.3 余弦優化投影法的計算步驟及排序方法

步驟1 對猶豫模糊決策矩陣進行規范化處理。

先對猶豫模糊集合中的所有元素進行增序排列，再對集合長度及指標評價規則進行規范化處理。

（1）統一猶豫模糊集長度

其中，lij和li'j分別為2 個猶豫模糊集的元素數，即猶豫模糊集的長度。一般情況下，Rij與Ri'j中所含元素數并不相等，需對較短的猶豫模糊集進行補長操作，使Rij與Ri'j等長，即lij=li'j=l。通過添加最大值、最小值或均值，分別形成激進型、保守型或適中型決策矩陣，用于后續計算和排序。

（2）統一指標評價規則

步驟6 計算備選方案的綜合屬性值并排序。

設方案Hi的綜合屬性值為Ci，則其在余弦優化投影法下的Ci為

圖6 顯示了當態度參數α分別取0，0.3，0.6 和1時，投影夾角對方案綜合屬性值Ci的影響。投影夾角越小，Ci越大；當投影夾角相同時，α越大，Ci越小，α可描述不同投影夾角下決策者的保守心理差異。

圖6 態度參數α 函數Fig.6 Attitude parametric α function

基于以下考慮，設0 ≤α≤1。

（1）在模型中，可將決策者的保守心理視作從0～100%的調節過程。當α=0 時，無需強調決策者的保守心理，或決策者是完全不保守型決策主體，因此，余弦優化投影法的方案排序結果與正交投影法相同。當α=1 時，最大化強調決策者保守心理，或決策者是完全保守型決策主體。在實際應用中，決策者可按照自身對風險規避的需求，通過對α賦值，從0～100%選擇保守程度，調節投影夾角在模型中的貢獻度，得到符合自身保守程度要求的排序。

幾何光學原理認為高頻電磁波的能量沿射線傳播，因此用射線追蹤的方法就可以求解電場。基于口徑場法計算拋物反射面天線遠場時，先通過射線跟蹤獲得天線口徑面上的切向電場，然后對口徑面電場進行積分而得到天線的輻射場[13-16]。偏置拋物面的結構如圖7所示。

（2）若擴大α的范圍，則可能出現因極端值導致決策排序完全失真的情況。若在［0，1］的基礎上擴大α所屬區間的上下限，如調整為-1 ≤α≤2。當投影夾角為89°時，若α=-1，則(cos 89°)-1≈0.017 45-1≈57.31；若α=2，則(cos 89°)2≈0.017 452≈0.003 045。極端值對方案綜合屬性值影響極大，由于強調投影夾角，使備選方案綜合屬性值發生過度扭曲，最終導致排序完全失效。

3.4 余弦優化投影法的優缺點分析

余弦優化投影法的核心在于，基于決策者風險偏好，用投影長度和投影夾角衡量各備選方案綜合屬性值，解決猶豫模糊集合信息環境下的多屬性決策問題。具有以下優點：

（1）與其他投影法相比，余弦優化投影法對決策者風險規避心理刻畫得更細膩，變通性更強。在正交投影法基礎上，疊加投影夾角余弦值和態度參數，分別描述保守型決策者心理及其變化，克服了現有投影法模型缺乏對決策者心理區分的局限性，提升了投影法在實際決策應用中的普適性與靈活性。

（2）有利于尋找決策者保守心理下的穩健排序。可比較保守型、激進型和適中型3 種決策矩陣在不同態度參數下的計算結果，并從中選取穩健性最好的排序結果。能獲取較其他投影方法風險規避能力更強的決策結果，更好地回應保守型決策者的實際需求。

（3）通過投影長度和投影夾角雙因素確定方案排序，對方案間的微小差異更敏感，區分度更高。不但可以解決正交投影法投影點一致導致的不可排序問題，而且較雙向投影法運算更簡單，更便于解釋。

余弦優化投影法雖然在保守型決策者中具有一定優勢，但仍有待改進。在猶豫模糊集信息環境下，投影夾角小，備選方案的綜合屬性值波動幅度小，穩健性好。但在其他信息環境下，如何正確使用投影夾角，如何在具有肯定、猶豫、否定三元素的數據集中表現出穩健性，如何在具有評價與概率雙元素的概率模糊數據集中表現出穩健性并進行合理整合等，均需進一步探討。

4 算例分析

4.1 不同投影法比較

設某多屬性決策問題形成的猶豫模糊集方案為H1、H2、H3、H4，每個方案包含K1、K2兩個指標。為清楚地分析屬性值特征與排序結果之間的關系，本算例不設權重。表1 為采用正交投影法、雙向投影法及余弦優化投影法計算得到的綜合屬性值及排序結果，其中K1、K2為規范化后的決策矩陣。

表1 正交投影法、雙向投影法與余弦優化投影法的綜合屬性值CiTable1 The Ci under vertical projection，bi-directional projection and cosine optimal projection

由表1 可知，在正交投影法中，方案H1與H3的綜合屬性值一致，均為0.115 0，無法排序。在雙向投影法中，方案H1、H3的綜合屬性值分別為0.209 6，0.194 1，排序結果為H1?H3。在余弦優化投影法中，當α=1 時，方案H1、H3的綜合屬性值分別為0.018 2，0.029 6，排序結果為H3?H1，與雙向投影法的排序結果不一致。這主要是由于余弦優化投影法強調了決策者的保守心理，觀察指標K1、K2，可知方案H3中，K1，K22 個數值之間差異均更小，波動更小。因此，當決策者對風險容忍度較小，傾向于規避風險的穩健決策時，H3?H1的結論顯然更合理。

4.2 城市信用評價算例

國務院印發的《社會信用體系建設規劃綱要（2014—2020 年）》，確定了我國社會信用體系建設的功能定位，將其與“加強與創新社會治理”目標緊密結合。以城市為單位，建設并完善社會信用體系已成為我國構建有效治理體系，提升治理能力現代化的重要手段之一。因此，對城市信用進行評估具有重要的理論及實踐意義。選取A、B、C 3 個重點城市，由專家從守信激勵、失信治理、信用服務、信用創新和信用環境5 個維度分別對K1～K55 個指標進行信用評價。其中，K1、K2、K3、K4為效益型指標，K5為成本型指標，見表2。

表2 城市信用評價維度及指標Table 2 Urban credit evaluation dimensions and indicators

3 個城市的信用評價信息均可形成猶豫模糊集。如對城市C 誠信傳播程度的評價集為｛0.2，0.3，0.4，0.6｝，表示對城市C，K1指標的評價存在4種看法，評分依次為0.2，0.3，0.4 和0.6。表3 為3個城市信用評價增序排列后的原始數據。

表3 3 個城市信用評價增序排列后的原始數據Table 3 List of raw data after increasing order of credit evaluation in three cities

首先，對猶豫模糊集進行補長處理，使猶豫模糊集等長，分別獲得保守型決策矩陣（表4）、激進型決策矩陣（表5）及適中型決策矩陣（表6），以分析模型的穩健性。

表4 保守型決策矩陣Table 4 Conservative decision matrix

表5 激進型決策矩陣Table 5 Radical decision matrix

表6 適中型決策矩陣Table 6 Moderate decision matrix

其次，以保守型決策矩陣為例，給出其排序結果。先對決策矩陣中的指標進行規范化處理，得到規范化后的保守型決策矩陣，如表7 所示。再通過計算獲得客觀權重向量W＝（0.198 1，0.199 4，0.205 0，0.205 0，0.192 6）。根據現階段對城市社會信用體系建設的要求，按照失信治理＞守信激勵=信用創新＞信用環境＞信用服務的順序，給出各維度主觀修正系數c=（0.25，0.30，0.05，0.25，0.15）。由式（3），可得W′ ＝（0.247 9，0.299 6，0.051 3，0.256 5，0.144 6）。由式（4）～式（10），計算當α分別取0，0.5，1 時，A、B、C 3 個城市的綜合屬性值，得到排序結果，如表8 所示。

表8 保守型決策矩陣排序結果Table 8 Ranking of conservative decision matrix

最后，采用相同的方法，計算激進型決策矩陣和適中型決策矩陣的綜合屬性值并進行排序，結果見表9 和表10。

表9 激進型決策矩陣排序結果Table 9 Ranking of radical decision matrix

表10 適中型決策矩陣排序結果Table 10 Ranking of moderate decision matrix

由表8 可知，對于保守型決策矩陣，當α=0.5 和1 時，余弦優化投影法得到的城市A、B 排序與其他2種方法存在差異。正交投影法得到的城市A、B 的綜合屬性值差距非常小（0.105 4-0.103 8=0.001 7）。觀察表3 中數據發現，城市A 多項指標的數值差距較城市B 小，分布更均勻，說明對城市A 的評價統一度更高、爭議更小。對保守型決策者來說，A?B 的排序顯然更合理。同時，α取值越大，越強調決策者的保守心理，采用余弦優化投影法，城市A、B 的綜合屬性值差距越大。如當α=1 時，城市A、B 的綜合屬性值差距（0.079 1-0.070 5=0.008 6）大于當α=0.5 時兩城市的綜合屬性值差距（0.087 5-0.083 3=0.004 2）。說明模型中增加的投影夾角余弦值及態度參數有助于提升投影法對備選方案的區分度。

由表9 和表10 知，采用正交投影法，城市A、B的激進型決策矩陣（0.155 1-0.068 7=0.086 3）綜合屬性值與適中型決策矩陣（0.100 6-0.073 6=0.027 0）綜合屬性值差距較大。此時，無論α是否變化，余弦優化投影法得到的城市A、B 的排序始終與其他2 種方法的排序一致，說明本方法合理可靠。

5 結 論

相較于正交投影法及雙向投影法，本文提出的余弦優化投影法利用投影夾角和態度參數靈活描述決策者的風險偏好，計算簡單且區分度高，模型具有合理性及穩定性。當采用正交投影法所得的各備選方案的結果一致或非常接近時，若強調決策者保守心理（α＞0），余弦優化投影法與雙向投影法的排序結果可能不同，這時需要決策者根據自身風險偏好做出決策。因此，在需要考慮決策者風險偏好的實際決策應用中，可采用以下標準進行方案排序：若在不同態度參數α下所有類型決策矩陣的排序結果均一致，則排序結果的不確定性最小，結論可靠；若不同決策矩陣的排序結果不一致，則保守型決策者可選擇強調投影夾角的排序結果，因其在同等條件下，綜合屬性值波動幅度較小、相對穩健，具有一定的風險規避作用。

本文提出的余弦優化投影法是在猶豫模糊信息下對投影法的有益擴展，可用于考慮決策者風險偏好的實際決策問題。