基于改進(jìn)差分進(jìn)化鯨魚算法的經(jīng)濟(jì)負(fù)荷分配

馬 健，李海明，李 鑫

(上海電力大學(xué)，上海 201306)

1 概 述

電力經(jīng)濟(jì)負(fù)荷分配(economic load dispatch，ELD)指的是對(duì)某一區(qū)域配電網(wǎng)中的所有機(jī)組進(jìn)行負(fù)荷的經(jīng)濟(jì)型分配，使得在成本最小的情況下利用現(xiàn)有資源可靠地滿足用戶的需求，以獲得最大經(jīng)濟(jì)效益。

由于發(fā)電機(jī)組的閥點(diǎn)效應(yīng)、配電網(wǎng)輸送性能差異的限制以及功率平衡的和機(jī)組運(yùn)行條件的約束，在分配機(jī)組負(fù)荷時(shí)往往使得最優(yōu)解的求解區(qū)域無(wú)法拓寬。早期通常選擇拉格朗日法、動(dòng)態(tài)規(guī)劃法等數(shù)學(xué)常規(guī)優(yōu)化方法處理該類負(fù)荷分配問(wèn)題[1]。除此之外，當(dāng)配網(wǎng)系統(tǒng)中出現(xiàn)較多機(jī)組時(shí)，發(fā)電機(jī)組兩端表現(xiàn)出的高維特性是基本數(shù)學(xué)優(yōu)化方法所無(wú)法快速求解的。

近些年來(lái)，許多學(xué)者提出使用群智能算法來(lái)應(yīng)對(duì)ELD問(wèn)題中的難點(diǎn)。群智能算法對(duì)計(jì)算中目標(biāo)函數(shù)的種類、計(jì)算數(shù)據(jù)的不確定性和搜索空間的結(jié)構(gòu)具有很強(qiáng)的適應(yīng)性，能夠處理電網(wǎng)損耗、閥點(diǎn)效應(yīng)、燃料差異等因素帶來(lái)的影響，使得求解結(jié)果更加符合工程實(shí)際。目前，粒子群算法(particle swarm optimization，PSO)[2]、遺傳算法(genetic algorithm，GA)[3]、簇類進(jìn)化算法(cluster evolutionary algorithm，CEA)[4]、差分進(jìn)化算法(differential evolution，DE)[5]等在最優(yōu)化領(lǐng)域均取得了不錯(cuò)的成果。

陳皓等在文章中提出了一種基于簇類搜索驅(qū)動(dòng)的群體進(jìn)化算法，該算法提出通過(guò)聚類對(duì)進(jìn)化個(gè)體構(gòu)建具有相互關(guān)聯(lián)的簇類化組織，實(shí)現(xiàn)了對(duì)計(jì)算過(guò)程進(jìn)行有目標(biāo)的調(diào)整和優(yōu)化[6]。Rahmat N等提出利用差分進(jìn)化免疫蟻群優(yōu)化算法解決具有閥點(diǎn)效應(yīng)的ELD問(wèn)題。該算法將原始蟻群優(yōu)化算法通過(guò)差分進(jìn)化和人工免疫算法的突變、交叉、選擇和克隆過(guò)程來(lái)改善原始算法的計(jì)算速度和防止計(jì)算進(jìn)入停滯[4]。Sen T等提出了三種元啟發(fā)式算法的混合，蟻群優(yōu)化(ant colony optimization，ACO)、人工蜂群算法(artificial bee colony，ABC)和諧波搜索(harmony search，HS)。尋找初始解集的任務(wù)由ACO算法處理。ABC算法檢查并增強(qiáng)了由ACO算法生成的解，而HS算法從解集中刪除了平庸的解，并用更高質(zhì)量的解替換了它們[7]。Chen X提出了一種通過(guò)雙種群自適應(yīng)DE算法(dual-population adaptive differential evolution，DPADE)處理考慮閥點(diǎn)效應(yīng)的大規(guī)模復(fù)合燃料ELD問(wèn)題的方案[8]。

鯨魚優(yōu)化算法(whale optimization algorithm，WOA)[9]在近些年已成功應(yīng)用于水庫(kù)群供水[10]、斷路器的生產(chǎn)優(yōu)化[11]、魯棒多用戶檢測(cè)[12]、微網(wǎng)復(fù)合儲(chǔ)能系統(tǒng)容量?jī)?yōu)化配置[13]、電網(wǎng)無(wú)功優(yōu)化調(diào)度[14]等方面。WOA算法雖然結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單，尋優(yōu)方式新穎獨(dú)特，但同其他傳統(tǒng)的優(yōu)化算法一樣，在搜尋速度、搜尋最優(yōu)解的精度方面仍不理想，也難以擺脫局部最優(yōu)的困境，且在尋優(yōu)的后期易出現(xiàn)搜索疲軟的特征。DE算法是一種全局收斂性良好，運(yùn)算操作步驟簡(jiǎn)潔的典型算法，但該算法初始種群的選取具有不穩(wěn)定性，參數(shù)的選擇不當(dāng)將使算法在初期就陷入局部最優(yōu)。

為此，考慮將鯨魚優(yōu)化和差分進(jìn)化算法分別改進(jìn)，然后選取兩種算法各自的優(yōu)點(diǎn)，合并成一種改進(jìn)的差分進(jìn)化鯨魚優(yōu)化算法(improved differential evolution whale optimization algorithm，IDEWOA)。首先使用WOA算法中的捕食和氣泡網(wǎng)策略來(lái)代替DE中的變異步驟，更新種群信息。然后將算法中的收斂因子調(diào)整為特殊的非線性更新策略以增強(qiáng)算法的探索能力。最后引入差分進(jìn)化算法的交叉和選擇環(huán)節(jié)增強(qiáng)種群的多樣性，防止在求最優(yōu)解的過(guò)程中收斂精度的過(guò)早下降。同時(shí)在交叉環(huán)節(jié)采用淘汰機(jī)制，提高了算法的尋優(yōu)效率，從而證明了該算法在求解ELD問(wèn)題中的優(yōu)越性。

在上述研究的基礎(chǔ)上，該文選取13機(jī)組和40機(jī)組的電力系統(tǒng)負(fù)荷，用改進(jìn)的新算法對(duì)其進(jìn)行優(yōu)化分配的仿真測(cè)試，最后將該算法與標(biāo)準(zhǔn)鯨魚優(yōu)化算法、標(biāo)準(zhǔn)差分進(jìn)化算法等進(jìn)行對(duì)比分析，驗(yàn)證了該優(yōu)化算法的優(yōu)越性。

2 經(jīng)濟(jì)負(fù)荷分配模型

2.1 目標(biāo)函數(shù)

電力系統(tǒng)經(jīng)濟(jì)負(fù)荷分配模型中，目標(biāo)函數(shù)的解實(shí)際為整個(gè)電力系統(tǒng)機(jī)組發(fā)電費(fèi)用的最小值：

(1)

式中，F(xiàn)為機(jī)組發(fā)電所需的耗費(fèi)；Fi(Pi)為機(jī)組i的費(fèi)用特征函數(shù)；Pi為機(jī)組i的運(yùn)行功率；ai，bi，ci為耗量特征參數(shù)。

2.2 閥點(diǎn)效應(yīng)

閥點(diǎn)效應(yīng)將引起發(fā)電機(jī)組的耗量曲線上的不連續(xù)現(xiàn)象，其主要原因是機(jī)組氣閥在運(yùn)行過(guò)程中突然啟動(dòng)造成的拔絲現(xiàn)象。將閥點(diǎn)效應(yīng)納入計(jì)算中有利于提高負(fù)荷分配問(wèn)題最優(yōu)解的精度，故引入閥點(diǎn)效應(yīng)之后的數(shù)學(xué)模型為：

(2)

(3)

2.3 約束條件

2.3.1 功率平衡約束

(4)

其中，m為系統(tǒng)中發(fā)電機(jī)組之和；PD為電力系統(tǒng)中的負(fù)荷目標(biāo)值；PL為電網(wǎng)的損耗值。在一定配電網(wǎng)范圍下，當(dāng)系統(tǒng)內(nèi)負(fù)荷集中分布且覆蓋面較小時(shí)，其網(wǎng)絡(luò)損失可忽略不計(jì)，故將式(4)調(diào)整為如下形式：

(5)

2.3.2 機(jī)組運(yùn)行約束

(6)

綜上所述，考慮了閥點(diǎn)效應(yīng)、功率平衡約束和運(yùn)行功率約束的ELD問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型為:

(8)

由上式可知，ELD問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型中含有非線性等式和不等式約束的限制，其函數(shù)變量不可微且不連續(xù)，所求的可行解范圍非凸。為更有效地求解ELD問(wèn)題，該文提出將原先的兩種算法加以改進(jìn)并組合成一種新型優(yōu)化算法。

3 改進(jìn)的差分進(jìn)化鯨魚優(yōu)化算法

3.1 經(jīng)典鯨魚優(yōu)化算法

WOA算法的靈感來(lái)源于座頭鯨的捕獵行為。算法的主要步驟為包圍獵物、氣泡網(wǎng)捕食、搜尋新獵物三步，算法的尋優(yōu)過(guò)程如下：

(1)包圍獵物。

包圍獵物階段，當(dāng)前種群的鯨魚個(gè)體根據(jù)食物所在位置開展包圍行動(dòng)，以當(dāng)前迭代中適應(yīng)度最佳的鯨魚坐標(biāo)作為獵物所在的位置，而其他鯨魚則通過(guò)不斷更新自己坐標(biāo)來(lái)包圍獵物，其位置更新公式如下：

XG+1=X*-A·|XG-C·X*|

(9)

其中，X*為本次迭代最優(yōu)解個(gè)體的坐標(biāo)，XG為該鯨魚種群的坐標(biāo)，A為收斂因子，由式(10)得出：

A=2a·r-a

(10)

A采用線性遞減策略從2變化至0。C為一個(gè)隨機(jī)數(shù)，表示鯨魚捕食的擺動(dòng)行為，由式(11)得出：

C=2·r

(11)

在式(10)和式(11)中，r表示為(0,1)的常數(shù)。

(2)氣泡網(wǎng)捕食。

WOA中的氣泡網(wǎng)捕食階段，主要由螺旋吐氣泡與包圍捕食兩種策略構(gòu)成，其中螺旋運(yùn)動(dòng)按照公式(12)進(jìn)行移動(dòng)：

XG+1=D·ebl·cos2πl(wèi)+X*

(12)

式中，D=|X*-Xt|表示該個(gè)體與目標(biāo)獵物之間的距離，b為螺旋線常量，一般取1，用于定義鯨魚運(yùn)動(dòng)方式，l取值為[-1,1]。

在WOA中，鯨魚螺旋線運(yùn)動(dòng)與包圍捕食同時(shí)進(jìn)行，故通常假設(shè)鯨魚均有一半的可能性選擇其中一種方式靠近獵物，其坐標(biāo)迭代表達(dá)式如式(13)所示：

(13)

式中，p為[0,1]的隨機(jī)數(shù)。

(3)搜尋新獵物。

當(dāng)|A|<1時(shí)，鯨魚繼續(xù)進(jìn)行包圍性的搜尋，并依照式(9)改變其本身的坐標(biāo)；當(dāng)|A|≥1時(shí)，鯨魚進(jìn)行隨機(jī)的全局搜尋，防止出現(xiàn)局部最優(yōu)。其坐標(biāo)迭代表達(dá)式如下：

D'=|XG-C·Xrand|

(14)

XG+1=Xrand-A·D'

(15)

其中，Xrand表示該種群中的任意一頭鯨魚，D'為此鯨魚與其尋找到的更優(yōu)獵物間的距離。

3.2 經(jīng)典差分進(jìn)化算法

(1)變異環(huán)節(jié)。

在當(dāng)前種群G的所有個(gè)體Xi,G(i=1,2,…,N)中選取互異的三個(gè)作為變異個(gè)體：

Vi,G+1=Xr1,G+F*(Xr2,G-Xr3,G)

(16)

式中，r1,r2,r3表示[1,N]中的隨機(jī)自然數(shù)，同時(shí)滿足r1≠r2≠r3≠i，F(xiàn)為縮放因子，文中取F=0.5。

(2)交叉環(huán)節(jié)。

交叉環(huán)節(jié)為使交叉后的種群Ui,G+1(i=1,2,…,N)中能至少包含一個(gè)變異個(gè)體，采用以下策略保證變異個(gè)體Vi,G的貢獻(xiàn)率：

(17)

式中，rand(j)的取值范圍為[0,1]；rnb(i)表示[1,N]中的隨機(jī)整數(shù)；CR為交叉概率因子，用以控制交叉的程度，文中取CR=0.5。

(3)選擇環(huán)節(jié)。

交叉環(huán)節(jié)后得到的個(gè)體Ui,G+1與當(dāng)前個(gè)體Xi,G進(jìn)行優(yōu)劣對(duì)比，選擇適應(yīng)度更佳的個(gè)體放入下一代種群。

(18)

3.3 改進(jìn)的差分進(jìn)化鯨魚優(yōu)化算法

文中將具有較強(qiáng)探索能力的DE整合到WOA中，來(lái)完善WOA開發(fā)算法空間的能力。每輪迭代的初始階段，WOA利用氣泡網(wǎng)和獵物搜尋機(jī)制對(duì)種群個(gè)體的位置進(jìn)行預(yù)處理變異，生成初始化種群，再由DE對(duì)鯨魚算法處理過(guò)的種群進(jìn)行交叉和選擇，來(lái)進(jìn)行種群的更新迭代。具體改進(jìn)方法如下：

3.3.1 約束條件處理

考慮到功率平衡約束在高維情況下復(fù)雜度過(guò)高的情況，文中提出一種將運(yùn)行約束和功率平衡約束同時(shí)考慮在內(nèi)的策略，具體步驟如下：

Step1：設(shè)置種群序號(hào)為i(i=1,2,…,N)，N為種群數(shù)量。

Step2：計(jì)算當(dāng)前種群i中所有機(jī)組的功率之和Psum與系統(tǒng)需求的總負(fù)荷值PD，并計(jì)算其差值。若差值不為0，則繼續(xù)下一步；若為0，則跳轉(zhuǎn)至Step5。

Step3：隨機(jī)生成一個(gè)序號(hào)r(r為[1,m]內(nèi)的任意整數(shù))，將該序號(hào)下r機(jī)組的有功功率Pi設(shè)置為Pi=Pi-(Psum-PD)。

Step4：檢查Pi的機(jī)組運(yùn)行約束，若超出上下限，則將其設(shè)置為上下限。跳轉(zhuǎn)至Step2。重新驗(yàn)證是否滿足差值為0。

Step5：i=i+1依次對(duì)所有種群的機(jī)組進(jìn)行約束調(diào)整，直到所有種群的Psum與系統(tǒng)需求的總負(fù)荷值PD的差值均為0。

3.3.2 鯨魚優(yōu)化算法取代差分進(jìn)化算法的變異部分

Wi,G+1=

(19)

其中，Wi,G+1為新一代變異種群。即用Wi,G+1代替Vi,G+1進(jìn)行下一步的交叉操作。

同時(shí)改進(jìn)鯨魚優(yōu)化算法的變異操作：WOA的探索和開發(fā)能力的相互協(xié)調(diào)引導(dǎo)著整個(gè)算法的走向。其中，探索能力指的是搜索更廣的區(qū)域范圍，跳出局部最優(yōu)的能力；開發(fā)能力指的是對(duì)已知解附近的區(qū)域進(jìn)行局部搜索的能力，有利于加快收斂速度。

3.3.3 收斂因子的改進(jìn)

通過(guò)文獻(xiàn)[11,15]可知，WOA算法中的收斂因子a對(duì)該算法的探索和開發(fā)能力有著至關(guān)重要的影響：收斂因子a越大，算法的全局搜索性能越強(qiáng)；若收斂因子a越小，則算法的局部尋優(yōu)性能越強(qiáng)，收斂速率越高。而在標(biāo)準(zhǔn)WOA算法中，隨著迭代的進(jìn)行，收斂因子a這種線性遞減的方式雖然讓算法在前期擁有較好的全局搜索能力，但收斂速度過(guò)慢；而當(dāng)算法即將達(dá)到最大迭代次數(shù)時(shí)，收斂因子a才逼近零點(diǎn)，其收斂速度才有所加快，但已經(jīng)無(wú)法擺脫局部最優(yōu)的困境，沒(méi)有做到探索和開發(fā)的良好協(xié)調(diào)。因此原始的WOA算法中的收斂因子并不能有效利用算法的優(yōu)越性。

現(xiàn)有的研究中，已有多種非線性更新策略。文獻(xiàn)[12]中提出用三角函數(shù)代替原收斂因子，公式如下：

(20)

式中，t和T分別表示當(dāng)前迭代次數(shù)和最大迭代次數(shù)，下同。

文獻(xiàn)[16]則提出采用分段的收斂因子更新策略，公式如下：

(21)

文獻(xiàn)[17]提出一種以e為底的正指數(shù)形式的收斂因子更新策略，公式如下：

(22)

文中提出一種以常數(shù)為底的負(fù)指數(shù)形式的自適應(yīng)收斂因子更新策略：

(23)

其中，μ表示一常數(shù)，其取值根據(jù)算例的自身情況而調(diào)整，經(jīng)過(guò)實(shí)驗(yàn)測(cè)試，取μ=1 000為最佳。

將上述四種策略函數(shù)與線性遞減的曲線繪制在同一幅圖中，如圖1所示(取迭代次數(shù)T=2 000)。

從圖1中可知：負(fù)指數(shù)形式遞減的更新策略相比于其他策略函數(shù)，其在算法的早期迭代階段保持了較大的a值，使算法跳出局部極值的機(jī)會(huì)更多；在算法的中期，函數(shù)單調(diào)遞減幅度高于其他四種策略，且能夠?qū)⑹諗恳蜃觓驟降到一個(gè)較小的值，從而有效保證收斂的高效性；而后期最優(yōu)解的搜索范圍基本確定，該策略中的收斂因子a又處于較小值且遞減速度緩慢，算法的最終收斂精度得到了保障。

如圖2所示，文中將僅采取非線性負(fù)指數(shù)形式遞減策略的鯨魚算法與經(jīng)典鯨魚算法進(jìn)行檢驗(yàn)(算例采用文章中的13臺(tái)機(jī)組系統(tǒng))對(duì)比。由圖可知，采取非線性收斂因子的鯨魚算法取得的全局最優(yōu)極小值所需要的迭代次數(shù)更少，極值更小，且在早期階段就實(shí)現(xiàn)收斂，可有效改善傳統(tǒng)鯨魚算法中線性遞減所帶來(lái)的收斂性能不佳等負(fù)面效應(yīng)。

3.3.4 引入交叉操作和淘汰機(jī)制

改進(jìn)差分進(jìn)化的交叉操作：交叉因子CR的大小很大程度上決定了差分進(jìn)化算法的收斂性能。從等式(17)可知，CR值越大，Vi對(duì)Ui的貢獻(xiàn)率越高，這意味著交叉操作后種群中將包含更多的變異個(gè)體；CR的值越小，Xi對(duì)Ui的貢獻(xiàn)率越低，算法開拓其他區(qū)域解的能力越差，收斂效率不佳，但有利于保留原始個(gè)體特征(維持物種的多樣性)，從而使得算法在局部求解期間具有更高的成功率。

因此，若要在早期階段更穩(wěn)定地保持種群的多樣性，則應(yīng)從一個(gè)較小的CR值出發(fā)，以維持初期的多樣性和成功率，而后逐漸增加CR，提升后期的收斂速度，從而有效減少整個(gè)迭代中陷入局部最優(yōu)的次數(shù)，這才是較為理想的CR變化規(guī)律。

此外，文中提出在交叉操作中提前篩選變異的個(gè)體，從而為種群中優(yōu)秀的個(gè)體提供更多的機(jī)會(huì)；而劣勢(shì)個(gè)體則被賦予較低的選擇概率而被逐漸淘汰。因此，文中提出了一種基于個(gè)體適應(yīng)度的淘汰機(jī)制(以求解最小值為例)：

(24)

其中，CRmax和CRmin分別為CR的最大值和最小值。同時(shí)，每次迭代都會(huì)計(jì)算所有種群個(gè)體適應(yīng)度的平均值fav并尋找最佳的適應(yīng)度f(wàn)min。以尋找全局最小值為例，如果種群適應(yīng)度的平均值fav低于個(gè)體當(dāng)前的適應(yīng)度f(wàn)i，可以將此個(gè)體視為優(yōu)勢(shì)個(gè)體。單獨(dú)個(gè)體的交叉率CR將根據(jù)接近最佳適應(yīng)度的程度而自適應(yīng)調(diào)整。如果適應(yīng)度的平均值fav高于個(gè)體當(dāng)前的適應(yīng)度f(wàn)i，則可以將此個(gè)體視為劣勢(shì)個(gè)體。該個(gè)體的CR將被重新設(shè)置為CRmin。因此，優(yōu)勢(shì)個(gè)體將不斷被保留至下一代，劣勢(shì)個(gè)體由于被選擇的概率較低而逐漸減少。

該方法下，適應(yīng)度更好的個(gè)體將被保留，同時(shí)CR將逐步趨近于最大參數(shù)值CRmax，從而契合CR的最佳變化規(guī)律。

3.3.5 正常的選擇環(huán)節(jié)

圖3為IDEWOA算法求解電力系統(tǒng)經(jīng)濟(jì)負(fù)荷分配模型的流程圖。

4 算例仿真與分析

為測(cè)試IDEWOA算法對(duì)電力系統(tǒng)經(jīng)濟(jì)負(fù)荷的優(yōu)化分配能力，分別采用標(biāo)準(zhǔn)DE、標(biāo)準(zhǔn)WOA和IDEWOA算法對(duì)13臺(tái)機(jī)組和40臺(tái)機(jī)組的電力系統(tǒng)經(jīng)濟(jì)負(fù)荷進(jìn)行最優(yōu)化求解，引入閥點(diǎn)效應(yīng)，暫不考慮電網(wǎng)損耗，系統(tǒng)的基本參數(shù)設(shè)置均來(lái)自文獻(xiàn)[18]。

為避免算法隨機(jī)性問(wèn)題，分別對(duì)三種算法獨(dú)立執(zhí)行40次。圖4和圖5分別為三種算法對(duì)2個(gè)測(cè)試算例的收斂曲線圖，表1和表3為多種算法對(duì)2個(gè)測(cè)試算例的統(tǒng)計(jì)結(jié)果。

4.1 13臺(tái)機(jī)組的負(fù)荷分配

13臺(tái)機(jī)組系統(tǒng)要求的負(fù)荷值為D=1 800 MW，維數(shù)為13，種群規(guī)模為65(一般設(shè)置為維數(shù)的5～10倍)，CRmax和CRmin分別取1和0.5，迭代次數(shù)為2 000次。

表1 13臺(tái)機(jī)組結(jié)果對(duì)比

IDEWOA與其他算法仿真結(jié)果比較見(jiàn)表1。其中，DE、WOA和IDEWOA算法在Python 3.7上分別運(yùn)行40次，統(tǒng)計(jì)并分析所得運(yùn)算結(jié)果，PSO、SA和CS的仿真結(jié)果參考自文獻(xiàn)[19]。13臺(tái)機(jī)組的IDEWOA算法與基本DE、基本W(wǎng)OA算法的運(yùn)行結(jié)果對(duì)比如圖4所示。圖中所選取為IDEWOA算法中較優(yōu)的一次運(yùn)行結(jié)果。

從圖4中的曲線和表1中的數(shù)據(jù)可知，IDEWOA算法相比于其他標(biāo)準(zhǔn)的DE、WOA以及其他類似的群智能算法，能夠取得更好的效果，收斂速度提升顯著，搜索精度較高。表1數(shù)據(jù)顯示：IDEWOA算法運(yùn)行平均值為17 972.88，明顯優(yōu)于其他算法的最優(yōu)解，且實(shí)驗(yàn)的標(biāo)準(zhǔn)差僅為0.04，證明該算法所求解比較穩(wěn)定，魯棒性較強(qiáng)。從圖4中可以看出，WOA和DE算法在早期容易陷入早熟的特點(diǎn)較為明顯，而IDEWOA經(jīng)過(guò)改進(jìn)后能夠在短時(shí)間內(nèi)多次跳出局部最優(yōu)解區(qū)域，并在算法中期之前就取得了精確度較高的解。綜上所述，IDEWOA在13臺(tái)機(jī)組的負(fù)荷分配問(wèn)題上能夠有效降低能耗，減少經(jīng)濟(jì)成本。

表2為IDEWOA算法求解得到的仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果。該條件下求得的最優(yōu)解即為17 972.81。

表2 13機(jī)組功率分配情況

4.2 40臺(tái)機(jī)組的負(fù)荷分配

為了測(cè)試IDEWOA算法在更高維環(huán)境中的穩(wěn)定性，文中選擇IEEE 40臺(tái)機(jī)組300節(jié)點(diǎn)作為實(shí)驗(yàn)對(duì)象，該算例中機(jī)組數(shù)(維數(shù))較多，增大了求解的難度，極其考驗(yàn)算法高維度的求解能力。其系統(tǒng)所需負(fù)荷值為D=10 500 MW，維數(shù)為40，種群規(guī)模取維數(shù)的五倍，即200，CRmax和CRmin分別取1和0.5，最大迭代次數(shù)tmax=2 000。

IDEWOA與其他5種算法仿真結(jié)果對(duì)比見(jiàn)表3。其中同樣對(duì)DE、WOA和IDEWOA算法分別在Python 3.7上獨(dú)立隨機(jī)地運(yùn)行40次，PSO、SA和CS的仿真結(jié)果參考自文獻(xiàn)[19]。40臺(tái)機(jī)組的IDEWOA算法與基本DE、基本W(wǎng)OA算法的運(yùn)行結(jié)果對(duì)比如圖5所示。圖中選取的為IDEWOA算法較優(yōu)的一次運(yùn)行結(jié)果。

表3 40臺(tái)機(jī)組結(jié)果對(duì)比

從圖5中的曲線和表3中的數(shù)據(jù)可知，在高維度算例中，IDEWOA算法相比于其他算法，優(yōu)化配置能力明顯更強(qiáng)。仿真實(shí)驗(yàn)的運(yùn)行結(jié)果顯示：IDEWOA算法所得最優(yōu)值的平均值、最大值和最小值均為所列算法中最低，其收斂性能優(yōu)秀，其標(biāo)準(zhǔn)差為6.45也比其他算法低，說(shuō)明在高維度下，IDEWOA算法仍能保持較好的魯棒性。

表4 40機(jī)組功率分配情況

表4為IDEWOA算法求解得到的仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果。該條件下求得的最優(yōu)解即為120 645.74。

通過(guò)上述算例可以發(fā)現(xiàn)，IDEWOA算法相比其他算法，具有較好的全局收斂能力，在尋優(yōu)速度和收斂精度方面都有所提升，且在高維條件下仍保持了良好的穩(wěn)定性，優(yōu)越性明顯。

5 結(jié)束語(yǔ)

文中提出一種改進(jìn)的差分進(jìn)化鯨魚優(yōu)化(IDEWOA)算法應(yīng)用于電力系統(tǒng)經(jīng)濟(jì)負(fù)荷的尋優(yōu)分配，利用該算法可以解決非凸、非線性約束、高維度的優(yōu)化問(wèn)題。首先在鯨魚算法中的搜尋包圍獵物時(shí)期，調(diào)整了原有的線性收斂因子，使其更適應(yīng)整個(gè)算法的尋優(yōu)同時(shí)兼顧全局探索和局部開發(fā)能力。然后結(jié)合差分進(jìn)化算法的交叉選擇策略，同時(shí)引入自適應(yīng)淘汰機(jī)制，加快整個(gè)算法的收斂，推進(jìn)了搜尋最優(yōu)解的進(jìn)程。最后將該算法應(yīng)用于電力系統(tǒng)13機(jī)組和40機(jī)組負(fù)荷分配的優(yōu)化測(cè)試，測(cè)試結(jié)果驗(yàn)證了利用IDEWOA求解負(fù)荷分配問(wèn)題的優(yōu)越性和有效性。

下一步的研究是如何將IDEWOA算法應(yīng)用于多目標(biāo)優(yōu)化領(lǐng)域以及如何改進(jìn)算法中的控制參數(shù)。