隱含波動率反演的改進高斯牛頓法

袁敬嵐，江嘉華，何佳濱，鄧小毛

摘要：隱含波動率是將市場期權價格代入Black-Scholes方程等期權定價模型反推得到的波動率結果，它反映投資者對未來一段時間內標的資產價格的波動程度的預期。牛頓迭代法、二分法等經典算法計算隱含波動率時，在部分數據上無法收斂．因此該文基于高斯牛頓法，提出一種隱含波動率的改進算法，利用L曲線法進行正則化參數選取及最小殘差準則確定最優下降步長．使用上證50ETF期權數據的實驗結果表明，本文提出的改進算法在數據集上可全部收斂，且可反演得到合理的隱含波動率。

關鍵詞：隱含波動率；Black-Scholes 方程；高斯牛頓法；L曲線法

中圖分類號：65F22， 68T05? ? ? 文獻標識碼：A

文章編號：1009-3044（2022）33-0104-04

1 引言

金融衍生物是投資者用以風險管理的工具，期權就屬于種類眾多的金融衍生物中的一種．期權的發行者和持有者都希望以公平合理的價格進行交易，這就是期權定價問題．關于現代期權定價問題的研究，最早于1900年法國數學家Louis Bachelier在其博士論文《投資理論 （The Theory of Speculation）》中，從隨機過程理論的角度研究資產價格，假設股票價格變化過程是一個布朗運動，首次提出了歐式看漲期權的定價公式．在Bachelier之后，期權定價理論開始蓬勃發展。1973年，Fischer Black和Myron Scholes建立了著名的Black-Scholes期權定價模型[1]，這一模型具有重大的意義。幾乎在同時Robert Merton也發現了同樣的公式并發表，同時做了推廣應用的相關研究。

期權定價反問題也是期權領域的重要課題，其中一個為對隱含波動率的反演[2]。隱含波動率可以反映市場對標的資產包括股票、大宗商品、債券、貨幣等價格波動的預期，包含了未來波動率的信息。通過編制隱含波動率指數、隱含波動率曲面等方法可以與實際波動率比較，從而可制定基于波動率的風險溢酬的相關交易策略[3]。將市場期權價格等條件代入期權定價模型后可反推出隱含波動率，但是由于期權定價模型的復雜性，隱含波動率的計算通常不存在解析解。隱含波動率的計算方法主要分為近似解和數值解兩類。在近似解方面，通過將正態分布進行泰勒展開，并做二階近似可求解得到Corrado-Miller公式及其改進公式[4]；在數值解方面，從數值逼近的角度，若基于泰勒展開式可算得隱含波動率的無窮級數形式，通過計算系數得到其近似解[5]；此外基于Dirac Delta示性函數可得到隱含波動率的積分逼近形式，然后使用數值積分得到隱含波動率的漸進解[6] 。從最優化的角度，可以將Black-Scholes公式轉化為一個最小二乘目標函數，然后使用牛頓法和二分法等最優化方法迭代求解，得到該優化問題所對應的隱含波動率[7] 。值得注意的是，經典牛頓法及二分法應用于實際期權數據時，常出現收斂較慢或者對部分數據無法收斂的情況，難以得到合理的結果。為此本文將基于Black-Scholes模型研究隱含波動率改進的計算方法。

本文選擇上證50ETF期權數據作為實驗數據計算隱含波動率。2015年，上證50ETF期權經過證監會批準后，在上海交易所上市，這是我國第一只ETF期權[8]。上證50ETF期權同時也是除銅期權外目前在我國上市交易的兩種歐式期權之一。自從上證50ETF期權推出以來，受到投資者踴躍參與，一直有著良好的發展態勢，對我國的衍生品市場乃至金融業都有積極的影響。我國的期權市場與國外期權市場相比起步較晚，現在仍處于萌芽階段，隨著我國期權市場不斷完善成熟，可預見期權市場將有著可觀的發展空間。因此對期權隱含波動率的研究不僅有學術價值，也具有現實意義。

2 Black-Scholes期權定價模型

在無稅收、紅利和交易成本，市場無賣空限制、交易連續進行、貼現率與無風險利率相等等假設下，歐式期權價格[Vt]滿足如下Black-Scholes方程：

[?Vt?t+rSt?Vt?St+12σ2St2?2Vt?St2-rVt=0] （1）

其中[St]和[K]分別為股票價格和期權執行價，[r]為連續復利的無風險利率，[σ]為隱含波動率。[T]為期權有效期限，[t]為期權期限內某一時間，則[T-t]為期權剩余有效時間。邊界條件為：

[hST=ST-K+，看漲期權K-ST+，看跌期權]? （2）

在風險中性的條件下，不難解得歐式看漲期權的定價公式為[9]：

[C=SNd1-Ke-rT-tNd2] ? （3）

歐式看跌期權的定價公式為：

[C=Ke-rT-tN-d2-SN-d1] （4）

其中：

[d1=lnSK+r+σ22T-tσT-t]，

[d2=lnSK+r-σ22T-tσT-t]，

且[Nd1、Nd2]都是服從標準正態分布的變量的概率分布函數。

3 改進的高斯牛頓迭代法

由于Black-Scholes公式的復雜性，隱含波動率[σ]不存在解析解，一般可以通過如牛頓迭代法、二分法等數值方法求出隱含波動率的近似解。下面以歐式看漲期權為例，簡要說明牛頓迭代法的計算步驟。首先構造最小化目標函數[fσ;S，K，r，T，t]，它表示期權定價模型中的理論價格[Cσ]與實際期權市場價格[C]的差，簡記為：

[fσ=Cσ-C=SNd1-Ke-rT-tNd2-C] （5）

則牛頓迭代法表達式為：

[σk+1=σk-fσkf'σk] （6）

令[τ=T-t]，不難推得[fσ]，即Vega值如下：

[fσ=?Cσ?σ=S?Nd1?d1?d1?σ-Ke-rτ?Nd2?d2?d2?σ =SN'd1τ12]

（7）

此外Matlab軟件的Finance工具箱中也集成了基于Black-Scholes公式求解隱含波動率的函數BLSIMPV， 該函數使用其優化工具箱中fzero函數進行目標函數尋優。fzero函數使用了二分、割線和反二次插值等數值方法的組合。

牛頓法收斂速度快，但在計算隱含波動率時存在某些數據無法收斂的問題。因此本文在高斯牛頓法的基礎上提出改進算法。設[σ=σ1，σ2，…，σnT]為未知參數向量，其分量[σi]表示第[i]（[i=1，2，…，n]）個日期對應的隱含波動率；基于Black-Scholes公式的理論期權價格為[Cσ=Cσ1，Cσ2，…，CσnT]，實際期權價格為[C=C1，C2，…，CnT]。高斯牛頓法基于最小二乘法建立目標函數，且由于隱含波動率的求解是病態反問題，需加入正則化項來提高解的適定性。為了便于計算，選擇L2正則化項，則目標函數可表示為：

[Fσ=C-Cσ22+ασ22]? ? ? （8）

[其中α]為正則化參數。目標函數的解為：

[argminσi≥0Fσ]? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （9）

高斯牛頓迭代法的基本原理為首先對目標函數進行線性化近似處理。為此，假設[Cσ]可近似為[σ]的線性函數，則可表示為：

[Cσ≈Cσ0+J0Δσ]? ? ? ? ? ? ? ?（10）

其中，[σ0]是[σ]的n維初值向量；[Δσ=Δσ1，Δσ2，…，ΔσnT]是[σ]的修正方向向量；[J0]是n[×]n的雅可比矩陣，可使用式（7）求得。令線性誤差方程為：

[VΔσ=Cσ-C=Cσ0+J0Δσ-C] （11）

取[VΔσ]的二范數后得到：

[VΔσTVΔσ=Cσ0+J0Δσ-CTCσ0+J0Δσ-C]

（12）

則線性近似下的目標函數可轉化為：

F[Δσ=VΔσTVΔσ+αΔσTΔσ] （13）

進一步，令F[Δσ]關于[Δσ]的一階偏導為0。

[?FΔσ?Δσ=2JT0VΔσ+2αΔσ=0n×1] （14）

可推得正則化后的解為：

[Δσ=JT0J0+αI-1JT0C-Cσ0] ? ? ?（15）

由此構建高斯牛頓法的迭代公式為：對于[k=0，1，…，n]。

[σk+1=σk+λkΔσkΔσk=JTkJk+αI-1JTkC-Cσk]? ? ? ? （16）

[Jk]是第[k]步迭代的雅可比矩陣。

該迭代格式中有兩個需要確定的參數，即為正則化參數<E：＼2022知網文件＼33＼7xs202233＼Image＼image57.png>和迭代步長<E：＼2022知網文件＼33＼7xs202233＼Image＼image58.png>。首先，正則化參數的選取會影響解的精度，過大則解不準確，過小則數值不穩定。正則化參數可以通過先驗選取或者后驗選取。先驗選取依賴精確解的先驗信息，但在實際應用中精確解的先驗信息往往難以獲得。后驗選取的方法有很多，常用的方法有廣義交叉驗證（GCV）、L曲線法等[10-11]。L曲線法可用于線性最小二乘泛函中正則化參數的選取。它的基本思路是通過構造最小二乘殘差范數與L2范數正則化項的變化曲線，通過找出曲線上曲率達到最大值的點，得到其對應的正則化參數[11]。由于高斯牛頓法已對目標函數進行了線性化處理，故可采用L曲線法確定正則化參數。由于高斯牛頓法對初值的依賴性較強，在首先使用L曲線法取得正則化參數[α]之后，使用（15）計算[Δσ]后可得到一個改進的初值[σ0]如下：

[σ0=σ0+Δσ]? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（17）

其次，在迭代過程中，步長[λk]也會對迭代結果產生影響。如果步長過小，則需要的迭代次數會增加，從而降低收斂速度；如果步長過大，則迭代結果會快速變化，容易導致無法收斂。本文使用最小殘差步長準則確定迭代步長[12]。記第[k+1]次迭代的殘差[rk+1]為：

[rk+1=Cσk+1-C]

[≈Cσk+Jkσk+1-σk-C] ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （18）

把高斯牛頓法計算的[σk+1]表達式代入（3.14）式，得到如下形式：

示為殺出，長對

[ rk+1=Cσk-C-Jkσk+Jkσk+λkJTkJk+αI-1JTkC-Cσk]

[=rk-λkJkJTkJk+αI-1JTkrk][?rk-λkBkrk]? ? ?（19）

其中記[Bk?JkJTkJk+αI-1JTk]。對第[k+1]次迭代，要使殘差最小，即：

[argmin? Rλk=rk+122]? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（20）

對[Rλk]關于[λk]求導，并令其為零，有：

[? R'λk=2rTk+1?r'k+1λk]? ? ? ? ? ? ? ? ? ?[ =2rk-λkBkrkT-Bkrk]? [=-2rkTBkrk+2λkBkrk22=0]? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （21）

最后化簡可得到步長[λk]。 表達式為：

[λk=rkTBkrkBkrk22] ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （22）

綜上所述，基于改進高斯牛頓法的隱含波動率計算方法具體步驟如下：

Step1： 給定隱含波動率初值[σ0]，對期權定價公式在[σ0]處做線性化處理；

Step2： 利用L曲線法確定正則化參數[α]，并用（17）式更新隱含波動率初值[σ0]；

對于 [k=1，…n，]和[σk]，給定誤差限[ε]，

Step3： 使用（7）式計算[Jk]，根據最小殘差步長準則（22）式得到步長[λk]，使用（16）式更新得到[σk+1]；

Step4： 若滿足[σk-σk-12]<[ε]，則停止迭代，輸出隱含波動率的求解結果；否則回到Step3，直至收斂準則被滿足。

4 實證分析

平值期權的執行價格等于或最接近于市場期權價格。由于在平值附近的期權交易更加活躍，相比實值期權和虛值期權更能反映市場的真實情況，故本文選取的樣本包含四個50ETF期權平值看漲期權合約，分別是2016年7月28日至2017年3月22日、2017年3月23日至2017年6月28日、2017年6月29日至2017年9月27日、2017年9月28日至2017年12月27日共347個交易日的期權收盤價[C]、標的資產價格[S]、執行價格[K]、期權合約剩余期限[τ]（計算時除以年交易日數進行年化處理），無風險利率[r]選擇2017年所有中債國債1年期利率的均值0.0330。數據來源為Wind數據庫，為便于展示，時間按日期順序排列并從1至347進行編號，下列所有圖的時間軸均以日期編號代替具體日期。

下面將使用50ETF期權數據進行隱含波動率反演。由于從實際期權數據中反演的隱含波動率沒有真解，故主要對比計算期權價格與實際期權價格的誤差。高斯牛頓法的初值在所有日期均設為[σn=0.3，]誤差準則選取為[σk-σk-12<ε]，其中誤差限選取為[ε=10-5]。 用L曲線法算得的最優的正則化參數為[α=0.1091]，見圖1。

使用改進高斯牛頓法和Maltab軟件中BLSIMPV函數算得的隱含波動率及期權價格的比較結果見圖2-圖4，期權價格相對誤差見表1。由圖2及表1可看出，改進高斯牛頓法對該數據集的所有數據均可收斂，計算期權價格與實際期權價格較為接近，其滿足[Cσ-C<0.02]的數據點為311個，占比為[311347=89.63%] ；而BLSIMPV函數的計算結果中有98個數據無法收斂，顯示結果為NaN，反演失敗率為[98347=28.24%]。圖3的計算殘差分布顯示，在BLSIMPV函數能收斂的點處，改進的高斯牛頓法的計算殘差多位于零軸附近，比BLSIMPV函數的殘差更小；在BLSIMPV函數無法收斂的數據點處，這些點多位于每兩個期權數據的分界點附近，改進的高斯牛頓法均能收斂，且計算殘差保持在合理的范圍。圖4中改進高斯牛頓法迭代過程顯示其相鄰兩次迭代的絕對誤差能快速下降，達到收斂準則的迭代次數為81次。由此知本文提出的計算方法對實際期權數據的隱含波動率反演更加有效，數值更加穩定。

5 總結

由于經典的牛頓法、二分法在應用于實際期權數據計算隱含波動率存在局部不收斂的問題，本文提出的改進算法在高斯牛頓法的基礎上，利用L曲線法和最小殘差步長原則分別確定最優正則化參數和迭代步長，可快速得到隱含波動率的合理解。基于上證50ETF期權數據的實驗結果表明，利用本文改進算法計算的隱含波動率全部收斂，且精度優于Matlab自帶函數BLSIMPV，理論期權價格與實際期權價格的相對誤差控制在合理的范圍內。進一步研究可將本文提出的算法應用于改進的期權定價模型中。

參考文獻：

[1] Black F， Scholes M. The pricing of options and corporate liabilities[J]. J. Political Econ.， 1973， 81（3）： 637-654.

[2] 鄭振龍， 秦明. 隱含波動率與實際波動率的關系：中美比較[J]. 管理科學， 2018， 31（6）： 58-73，2018.

[3] Fassas A P， Siriopoulos C， Implied volatility indices – A review[J]. The Quarterly Review of Economics and Finance， 2020， DOI：10.1016/j.qref.2020.07.004.

[4] Li S， A new formula for computing implied volatility[J]. Applied Mathematics and Computation， 2005， 170（1）： 611-625.

[5] Keshan B G C， Wijerathna J K. Implementation and validation of a closed form formula for implied volatility[J]. Indian Journal of Science and Technology， 2020， 13（38）：4064–4072.

[6] Cui Z， Kirkby J， Nguyen D， Taylor S M. A Closed-form Model-free Implied Volatility Formula through Delta Families[J]. Journal of Derivatives， forthcoming， 2020， 24 pages， DOI： 10.13140/RG.2.2.21031.29602.

[7] 馬青華，李艷濤，呂書強. 用改進的Newton-Raphson方法計算隱含波動率[J]， 西南師范大學學報（自然科學版），2015， 40（7）： 50-53.

[8] 史高桐. 上證50ETF期權推出對中國股票市場波動性影響的實證研究[J].廣西質量監督導報， 2019， 8：191-195.

[9] 鄭振龍， 陳蓉.金融工程（第四版）[M].北京： 高等教育出版社， 2016.

[10] 劉繼軍. 不適定問題的正則化方法及應用[M].北京： 科學出版社， 2008.

[11] Cultrera A， Callegaro L. A simple algorithm to find the L-curve corner in the regularization of ill-posed inverse problems[J]. IOP SciNotes， 2020， 025004. DOI： 10.1088/2633-1357/ abad0d.

[12] 曾小牛，劉代志，牛超，齊瑋. 改進高斯牛頓法的位場向下延拓[J].測繪學報， 2014， 43（1）： 37-44.

【通聯編輯：李雅琪】