不僅“為了生活”

郜舒竹

長期以來，數學課程內容表現出的特點是“高度的抽象性、嚴謹的邏輯性與準確性、廣泛的應用性”，這使得數學成為枯燥、難學與難教的同義語。針對此，人們對數學課程與教學的認識逐漸出現了“生活化”的傾向。教科書與課堂教學中充滿了與物質生活息息相關的內容，“為了生活”而學的說法愈發盛行。熟悉的生活情境對于學生的認知是必要的，但并非是充分的。在“素養導向、育人為本”理念的指導下，數學課程與教學還需要讓學生體驗并感悟精神生活的“人文性（Humanity）”。而對“美（Beauty）”的鑒賞與創造，是人文性的重要方面。

在數學發展的歷史中，很多的研究及其成果并非為了滿足物質生活的需求與應用，而是數學家對美的鑒賞與創造，是精神世界的追求與獲得，是人心智中情感的力量。如果說數學的“邏輯（Logic）”強調概念、判斷和推理，是對“真（Truth）”的追求，那么對美的鑒賞與創造則指向人“情感（Sensibility）”的愉悅。不僅如此，它還對數學研究過程與結果的選擇、評價、生成具有導向作用，對喚起進一步研究的動機有促進作用。20世紀英國數學大師戈弗雷·哈羅德·哈代（Godfrey Harold Hardy，1877—1947）在《一位數學家的辯白》一書中說：“一個數學家，就像一個畫家或詩人，是‘模式（Pattern）’的制造者。這樣的模式之所以能夠持久，因為它是由‘想法（Idea）’構成的模式……數學的模式，就像圖畫和詩歌，必須是美的。想法，就像圖畫中的顏色或詩歌中的文字，必須以和諧的方式‘契合（Fitting Together）’。”

哈代把數學的美視為“想法的契合”，這與蘇格蘭哲學之父弗蘭西斯·哈奇森 （Francis Hutcheson，1694—1746）所描繪的美的標準相近，哈奇森認為一切的美都蘊含著“異中之同（Uniformity amidst Variety）”。繁雜中的一致、運動與變化中的不變等，都可以認為是“異中之同”，就像衣服穿在人身上如果很合適，那么身體與衣服二者就是和諧的契合，就顯得美，因為身體與衣服的相關部分存在著諸多的異中之同。

當然，哈代所說的契合的對象是非物質的，是心智中已有或生成的想法。那么這樣和諧的契合具體會表現為什么形式？大衛·威爾（David Well）對一些數學家的調查結果顯示，普遍認同的數學美的表現形式是簡單（Simplicity）、清晰（Brevity）和意外（Unexpected）。

比如，用加的想法計算“1+3+5”，得到的結果是“9”，而用乘的想法知道“9=[3×3]”。兩個想法建立起聯系，成為一個模式：1+3+5=[3×3]。這就是兩個想法的契合。如果畫出包含9個小方格的正方形，方格總數是[3×3]（如圖1）。自下而上看，方格總數是“1+3+5”，與[3×3]在一張圖中完美地契合，給人帶來簡單、清晰和意外的感覺，同時人們還會產生進一步探究連續奇數求和的動機。關于數學美的表現形式的認識與表述存在著主觀的差異性，比如還有“意外的簡單和必然（Unexpected Simplicity and Inevitability）”，以及“最小的完備和最大的適用（Minimal completeness/Maximal applicability）”等說法。

總之，對數學之美的鑒賞不僅是視覺的感受，更是思維與情感相互作用的過程與結果，給人帶來的是情感的體驗、愉悅和滿足，會進一步促進思維活動的發展。學數學不僅是為了掌握生活的技能，更是為了體驗精神世界的人文性。將美的元素融入數學課程內容與教學，讓學生有機會鑒賞、創造數學的美，努力實現數學教學過程中“智育”與“美育”的融合，這應成為新時代數學課程與教學的目標之一。

（首都師范大學初等教育學院? ?100048）