復數問題考點例析

鄧建兵

復數是每年高考的必考內容，高考主要考查復數的基本概念，復數的幾何意義，復數的模以及復數的最值等。

考點1：復數的概念

例1給出下列四個命題：①滿足z=1/z的復數有±l，±1;②若a，b∈R，且a=b，則（a一b）+（a+b）i是純虛數;③復數z∈R的充要條件是z=z;④在復平面內，實軸上的點都表示實數，虛軸上的點都表示虛數。其中正確命題的序號是

。

解：i2=-l，顯然①不正確。當a=b=0時，（a一b）+（a+b）i不是純虛數，②不正確。由共軛復數的定義知，③正確。虛軸上的點除原點外都表示純虛數，④不正確。答案為③。

評注：準確理解復數的實部、虛部、純虛數、共軛復數的概念是解題的關鍵。

考點2：復數的幾何意義

評注：當平面向量的起點在原點時，向量的終點對應的復數即為向量對應的復數;反之，復數對應的點確定后，從原點引出的指向該點的有向線段，即為復數對應的向量。

評注：復數的兩層幾何意義：一是復數z=a+bi與復平面內的點（a，b）一一對應;二是復數z=a+bi與向量OZ -對應，其中點Z的坐標為（a，b）。復數的模的兩層意義：一是代數上的意義，也就是它是一個標量，表示的是大小，不表示方向;二是幾何上的意義，表示的是復平面上點到原點的距離。

考點4：復數的最值問題

例4 已知復數z滿足|z| =i，則z-（4+3i）的最大值和最小值分別為

。

解：因為|z|=l的幾何意義是以原點0為圓心，1為半徑的圓，而lz-（4+3i）l的幾何意義是圓上的動點Z（x，y）到復平面上的定點A（4，3）的距離，所以|z- （4+3i）|的最大值是5+1=6，最小值是5-1=4。

評注：求復數的模的最大值和最小值，可以轉化為動點到定點的距離問題求解。

說明：本文為十三五規劃論文。