開普勒行星運(yùn)協(xié)定律的理解

胡明

德國著名天文學(xué)家、物理學(xué)家開普勒經(jīng)過20余年的潛心研究發(fā)現(xiàn)了一系列關(guān)于行星的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，并將其總結(jié)為三條基本規(guī)律分別于1609年和1619年發(fā)表在《新天文學(xué)》和《宇宙和諧論》中，這就是我們現(xiàn)在所熟知的開普勒行星運(yùn)動(dòng)定律。

一、開普勒第一定律

1.內(nèi)容：所有行星繞太陽運(yùn)行的軌道都是橢圓，太陽處在橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)上。

2.理解：開普勒第一定律指出了行星繞太陽的運(yùn)行軌跡是橢圓，而不是圓，因而行星與太陽之間的距離時(shí)刻在變化，行星運(yùn)行速度的大小和方向都在不斷改變。不同行星繞太陽運(yùn)行時(shí)的橢圓軌道是不同的，但太陽處在所有這些橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)上。

例1下列關(guān)于開普勒第一定律的說法中正確的是（

）。

A.太陽系中的所有行星都有一個(gè)共同的軌道焦點(diǎn)

B.行星的運(yùn)動(dòng)方向總是沿著軌道的切線方向

C.行星的運(yùn)動(dòng)方向總是與它和太陽的連線垂直

D.火星繞太陽沿橢圓軌道運(yùn)行時(shí)，其線速度大小保持不變

解析 根據(jù)開普勒第一定律可知，太陽系中的所有行星都圍繞著太陽沿不同的橢圓軌道運(yùn)行，太陽位于這些橢圓軌道的一個(gè)焦點(diǎn)上，選項(xiàng)A正確。行星的運(yùn)動(dòng)方向總是沿著橢圓軌道的切線方向，選項(xiàng)B正確。當(dāng)行星從近日點(diǎn)向遠(yuǎn)日點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，行星的運(yùn)動(dòng)方向與它和太陽連線的夾角大于90°，當(dāng)行星從遠(yuǎn)日點(diǎn)向近日點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，行星的運(yùn)動(dòng)方向與它和太陽連線的夾角小于90°，選項(xiàng)C錯(cuò)誤。火星繞太陽沿橢圓軌道運(yùn)行時(shí)，其線速度大小和方向都在時(shí)刻變化，選項(xiàng)D錯(cuò)誤。

答案：AB

二、開普勒第二定律

1.內(nèi)容：任意一個(gè)行星與太陽的連線在相等的時(shí)間內(nèi)掃過的面積都相等。

2.理解：開普勒第二定律給出了行星繞太陽公轉(zhuǎn)時(shí)面積與時(shí)間的關(guān)系，根據(jù)開普勒第二定律可以推導(dǎo)出行星在近日點(diǎn)的線速度大于在遠(yuǎn)日點(diǎn)的線速度，在近日點(diǎn)的角速度大于在遠(yuǎn)日點(diǎn)的角速度，在近日點(diǎn)的加速度大于在遠(yuǎn)日點(diǎn)的加速度。

例2 根據(jù)天文觀測，土星繞太陽運(yùn)行的軌跡如圖1所示，當(dāng)土星沿其橢圓軌道從A點(diǎn)向B點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，下列關(guān)于土星的線速度v，加速度a，角速度ω的關(guān)系式中正確的是（

）。

解析

當(dāng)土星沿其橢圓軌道從A點(diǎn)向B點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，即從近日點(diǎn)向遠(yuǎn)日點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，根據(jù)開普勒第二定律可知，其線速度、加速度和角速度均逐漸減小，即vA>vB，aA>aB，ωA>ωB。

答案：A

三、開普勒第三定律

1.內(nèi)容：所有行星軌道的半長軸的立方與其繞太陽公轉(zhuǎn)周期的平方的比值都相等。

2.理解：開普勒第三定律給出了行星繞太陽公轉(zhuǎn)時(shí)軌道半長軸與周期的關(guān)系，用公式表a3/T2=k，其中k是一個(gè)與行星無關(guān)，只與太陽有關(guān)的常量。

3.拓展：開普勒第三定律不僅適用于行星繞太陽的橢圓運(yùn)動(dòng)，也適用于任意天體繞中心天體的橢圓運(yùn)動(dòng)，以及近似處理時(shí)任意天體繞中心天體的圓周運(yùn)動(dòng)。中心天體不同，則比值k也不同，即比值k是一個(gè)只與中心天體有關(guān)的常量。

例3如圖2所示，“嫦娥五號”返回器在半徑為R的圓形軌道上繞地球穩(wěn)定運(yùn)行，其周期為T。當(dāng)“嫦娥五號”返回器獲得月壤樣品，需要將樣品帶回地球時(shí)，可在其運(yùn)行軌道上某一點(diǎn)A，將速率減小到適當(dāng)數(shù)值，從而沿著以地心為焦點(diǎn)的橢圓軌道運(yùn)行（橢圓軌道與地球表面相切于B點(diǎn)）。設(shè)地球半徑為r，則“嫦娥五號”返回器從A點(diǎn)返回到地面B點(diǎn)所需的時(shí)間為（

）。