求函數最值與值域的常用方法

甄新鋒

求函數的最值與值域是高中數學的重要內容。函數的值域就是全體函數值的集合，是由其定義域、對應法則共同決定的。求函數的最值與值域在解法上是相通的。下面舉例分析，供同學們學習與參考。

方法一：函數的單調性法

評注：利用單調性法求最值，先確定函數的單調性，再由單調性求最值。

評注：形如分子、分母的最高次數為二次的分式函數，可利用判別式法求函數的最值。

評注：利用基本不等式求最值時，必須滿足的三個條件：一正、二定、三相等?！耙徽本褪歉黜棻仨殲檎龜?“二定”就是要求和的最小值，必須把構成和的二項之積轉化成定值，要求積的最大值，必須把構成積的因式的和轉化成定值;“三相等”就是檢驗等號成立的條件，判斷等號能否取到，只有等號能成立，才能利用基本不等式求最值。

評注：反解法求函數的值域，先由已知函數式解出x，再根據x的取值范圍列不等式求出值域。

評注：數形結合法包含“以形助數”和“以數輔形”兩個方面，其應用大致可以分為兩種情形：一是借助于形的生動性和直觀性來闡明數之間的聯系，即以形作為手段，數作為目的，如利用函數的圖像來直觀地說明函數的性質;二是借助于數的精確性和嚴密性來闡明形的某些屬性，即以數作為手段，形作為目的，如應用曲線的方程來精確地闡明曲線的幾何性質。