小議恒成立與能成立問題

宋秀玲

解決不等式恒成立、能成立問題，常見有四種解法：解集法，分離參數(shù)法，主參換位法和數(shù)形結(jié)合法。解答這類問題的方法靈活，能提升同學(xué)們的邏輯推理、數(shù)學(xué)運算等素養(yǎng)。恒成立問題：a>f（x）恒成立<=>a>f （X）max，a≤f（x）恒成立<=>a≤f （X ）min。能成立問題：a>f（x）能成立<=>a>f（x）min，a≤f（x）能成立<=>a≤f （x） max。

題型1：自變量在R上取值，不等式恒成立，求參數(shù)的取值范圍

評注：解答本題要注意兩點：一是正弦函數(shù)的有界性，二是換元后新元的取值范圍。

題型2：自變量在某個區(qū)間上取值，不等式恒成立，求參數(shù)的取值范圍

例3 已知函數(shù)f（x） =x2 +mx-1，若對任意的x∈[m，m+1]，都有f（x）<0成立，則實數(shù)m的取值范圍為

。

評注：畫二次函數(shù)圖像有兩個要點：一是看二次項系數(shù)的符號，確定二次函數(shù)圖像的開口方向;二是看對稱軸和最值，確定二次函數(shù)的具體位置。

評注：解對數(shù)型函數(shù)問題，應(yīng)注意對底數(shù)的分類討論。

題型3：當(dāng)參數(shù)在某個區(qū)間上取值時，不等式恒成立，求自變量的取值范圍

評注：轉(zhuǎn)換思維角度，把變量與參數(shù)變換位置，構(gòu)造以參數(shù)為變量的函數(shù)，再求得原變量的取值范圍。

評注：在處理多變元問題時，可以選取其中的常數(shù)（或參數(shù)），將其看作是“主元”，而把其他變元看作常量，從而達到減少變元，簡化運算的目的。

題型4： x∈R，使不等式成立，求參數(shù)的取值范圍

評注：能成立問題可以轉(zhuǎn)化為m>ymax或m

例8 已知命題p：存在實數(shù)z，使得不等式x2 +2ax +a≤0成立。若命題p是假命題，則實數(shù)a的取值范圍為____。

評注：根據(jù)命題真假求參數(shù)的方法：利用題目條件，推出每一個命題的真假（有時不一定只有一種情況）;再求出每個命題是真命題時參數(shù)的取值范圍;最后根據(jù)每個命題的真假情況，求出參數(shù)的取值范圍。