利用函數(shù)模型解決實際問題的策略

徐春宇

函數(shù)模型可以清晰地刻畫實際問題中變量之間存在的聯(lián)系。下面從函數(shù)模型的應(yīng)用、函數(shù)模型的選擇以及函數(shù)模型的構(gòu)造等方面，幫助同學(xué)們學(xué)會合理地利用函數(shù)模型解決實際問題。

題型1：應(yīng)用所給函數(shù)模型解決實際問題

此類題型的解題策略是先利用已知數(shù)據(jù)得出函數(shù)模型中的未知數(shù)，再把題目要求的數(shù)值代人完整的函數(shù)模型，即可求解。

例1 某工廠產(chǎn)生的廢氣必須經(jīng)過過濾后排放，規(guī)定排放時污染物的殘留含量不得超過原污染物總量的0.5%。已知在過濾過程中的污染物的殘留數(shù)量P（單位：mg/L）與過濾時間t（單位：h）之間的函數(shù)關(guān)系為P=P0 - e-kt（k為常數(shù)，P0為原污染物總量）。若前4h廢氣中的污染物被過濾掉了80%，那么要使廢氣能夠按規(guī)定排放，還需要過濾nh，則正整數(shù)n的最小值為____。（參考數(shù)據(jù)：1ogs 2≈0.43）

為了描述增加的銷售量與投入廣告費用的關(guān)系，現(xiàn)有以下三種函數(shù)模型供選擇：H （x） =ax3+ bx2+ cx，H（x）=0.5x +a，H（x）=klogax+b（a，b，f∈R）.

（1）選出你認為最符合實際的函數(shù)模型，并求出相應(yīng)的函數(shù)解析式。

（2）你認為銷售量增加達到多少時，才能使每干件的廣告費用最少？

解：（1）函數(shù)模型H（x） =0.5r +a是遞減函數(shù)，由已知數(shù)據(jù)對應(yīng)遞增函數(shù)模型，可知函數(shù)模型H（x）=0.5。+a與已知數(shù)據(jù)不符合。函數(shù)模型H （x）=k1ogax +b在x=0處無意義，故也不符合題意。

評析：在選擇函數(shù)模型時，可以對比已知數(shù)據(jù)和函數(shù)模型的變化模式或變化趨勢。選擇的函數(shù)模型在某些特定點處要符合實際，如題中當(dāng)x=0時函數(shù)所表示的意義。

題型3：構(gòu)造函數(shù)模型解決實際問題

此類題型是較為復(fù)雜的函數(shù)應(yīng)用題，通常會描述一個實際生活情境并提供實際問題中變量的具體數(shù)值或代表的未知數(shù)，要求挑選合適的變量，構(gòu)建函數(shù)模型，并且利用構(gòu)建好的函數(shù)模型進行答題。

例3 如圖1，某單位在精準扶貧活動中，給一戶結(jié)對幫扶的貧困家庭贈送M、N兩種經(jīng)濟作物的種子，并在三角形地塊OAB中劃出一部分來種植M種子，其余部分種植N種子。已知該地塊OA的長為70 m，OB的長為50 m，邊OA上的高為40 m。△OAB位于直線x=t（0≤t≤70）左側(cè)的地用來種植M種子，每平方米盈利300/t元;右側(cè)的地用來種植N種子，每平方米盈利30元。記△OAB位于直線x=t（0≤t≤70）左側(cè)的圖形的面積為f（t）。

（1）求函數(shù)f（t）的解析式。

（2）設(shè)該農(nóng)戶種植M、N兩種經(jīng)濟作物的盈利總和為S元，求S的最大值。

解：（1）由題意可知點B（30，40），可得直

線OB的方程為y=4/3x。同理可得直線AB的方程為y=70-x。