圓錐曲線的解題技巧知多少

李曾明

高中數學的解析幾何一直以來都是高考的一個重點和難點，在高考試題中所占比重較大，分值較高，也是高考的一個重頭戲，并且高考的趨勢是越來越強調在多種知識（如平面向量、三角函數、方程等）的交匯點命題。常見的題型有：離心率問題、過定點問題、最值問題等。同學們解答數學圓錐曲線試題，需要有較強的代數運算能力和圖形認識能力，要能準確地進行數與形的語言轉換和推理轉換，并在運算過程中注意思維的嚴謹性，以保證結果的完整性。下面舉例說明一些常見解題方法的應用。

一、基本不等式法

例1在平面直角坐標系xOy中，已

（1）求橢圓C的方程。

（2）在橢圓C上，是否存在點M（m，n），使得直線l：mx+ny=1與圓O：x2+y2=1相交于不同的兩點A，B，且△OAB的面積最大？若存在，求出點M的坐標及對應的△OAB的面積;若不存在，請說明理由。

當0《b《1時，|PQ|2當y=-b時取到最大值，且最大值為b2+4b+4。由b2+4b+4=9，解得b=1，與假設0《b《1不符合，舍去。

當b≥1時，|PQ|2當y=-1時取到最大值，且最大值為3b2+6。由3b+6=9，解得b2=1。則α2=3，橢圓C的方程是

（2）假設點M（m，n）存在，則有m2+

反思感悟：本題是圓錐曲線中的探索性問題，也是最值問題，求圓錐曲線的最值問題是高考考查的一個重，點，通常是先建立一個目標函數，然后利用函數的單調性或基本不等式求最值。

二、條件轉化法

例2已知F（3，0）為橢圓

（1）求橢圓C的方程;

（2）若直線1與橢圓C分別相交于A，B直線1的斜率的取值范圍。

解析：（1）由題意知，橢圓的另一個焦點為（-3，0），所以點M到兩焦點的距離之和

（2）當直線L的斜率不存在時，結合橢圓的對稱性可知，ko4+koB=0，不符合題意。

故設直線l的方程為y=kx+m（k≠0），A（x1，y1），B（x2，y2）。

綜上，直線1的斜率的取值范圍為

反思感悟：求某個量的取值范圍，要看清與這個量有關的條件有幾個，有幾個條件就可轉化為幾個關于這個量的不等式，解不等式取交集可得結果。

三、消參法

例3已知橢圓

（1）求橢圓C的方程;

（2）設直線L：y=kx+t（t≠0）與橢圓C相交于A，B兩點，若以OA，OB為鄰邊的平行四邊形OAPB的頂點P在橢圓C上，求證：平行四邊形OAPB的面積為定值。解析：（1）橢圓C經過點（2，1），代入橢聯立①②，解得α2=4，b2=2。

反思感悟：證明某個量為定值，一般方法是用一個參數表示出這個量，通過化簡消去參數，得出定值。

（責任編輯 徐利杰）