圓錐曲線的解題技巧知多少

李曾明

高中數(shù)學(xué)的解析幾何一直以來都是高考的一個重點和難點，在高考試題中所占比重較大，分值較高，也是高考的一個重頭戲，并且高考的趨勢是越來越強調(diào)在多種知識（如平面向量、三角函數(shù)、方程等）的交匯點命題。常見的題型有：離心率問題、過定點問題、最值問題等。同學(xué)們解答數(shù)學(xué)圓錐曲線試題，需要有較強的代數(shù)運算能力和圖形認(rèn)識能力，要能準(zhǔn)確地進行數(shù)與形的語言轉(zhuǎn)換和推理轉(zhuǎn)換，并在運算過程中注意思維的嚴(yán)謹(jǐn)性，以保證結(jié)果的完整性。下面舉例說明一些常見解題方法的應(yīng)用。

一、基本不等式法

例1在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已

（1）求橢圓C的方程。

（2）在橢圓C上，是否存在點M（m，n），使得直線l：mx+ny=1與圓O：x2+y2=1相交于不同的兩點A，B，且△OAB的面積最大？若存在，求出點M的坐標(biāo)及對應(yīng)的△OAB的面積;若不存在，請說明理由。

當(dāng)0《b《1時，|PQ|2當(dāng)y=-b時取到最大值，且最大值為b2+4b+4。由b2+4b+4=9，解得b=1，與假設(shè)0《b《1不符合，舍去。

當(dāng)b≥1時，|PQ|2當(dāng)y=-1時取到最大值，且最大值為3b2+6。由3b+6=9，解得b2=1。則α2=3，橢圓C的方程是

（2）假設(shè)點M（m，n）存在，則有m2+

反思感悟：本題是圓錐曲線中的探索性問題，也是最值問題，求圓錐曲線的最值問題是高考考查的一個重，點，通常是先建立一個目標(biāo)函數(shù)，然后利用函數(shù)的單調(diào)性或基本不等式求最值。

二、條件轉(zhuǎn)化法

例2已知F（3，0）為橢圓

（1）求橢圓C的方程;

（2）若直線1與橢圓C分別相交于A，B直線1的斜率的取值范圍。

解析：（1）由題意知，橢圓的另一個焦點為（-3，0），所以點M到兩焦點的距離之和

（2）當(dāng)直線L的斜率不存在時，結(jié)合橢圓的對稱性可知，ko4+koB=0，不符合題意。

故設(shè)直線l的方程為y=kx+m（k≠0），A（x1，y1），B（x2，y2）。

綜上，直線1的斜率的取值范圍為

反思感悟：求某個量的取值范圍，要看清與這個量有關(guān)的條件有幾個，有幾個條件就可轉(zhuǎn)化為幾個關(guān)于這個量的不等式，解不等式取交集可得結(jié)果。

三、消參法

例3已知橢圓

（1）求橢圓C的方程;

（2）設(shè)直線L：y=kx+t（t≠0）與橢圓C相交于A，B兩點，若以O(shè)A，OB為鄰邊的平行四邊形OAPB的頂點P在橢圓C上，求證：平行四邊形OAPB的面積為定值。解析：（1）橢圓C經(jīng)過點（2，1），代入橢聯(lián)立①②，解得α2=4，b2=2。

反思感悟：證明某個量為定值，一般方法是用一個參數(shù)表示出這個量，通過化簡消去參數(shù)，得出定值。

（責(zé)任編輯 徐利杰）