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圓錐曲線的解題技巧知多少

2022-04-05 13:52:02李曾明
中學生數理化·高二版 2022年1期

李曾明

高中數學的解析幾何一直以來都是高考的一個重點和難點,在高考試題中所占比重較大,分值較高,也是高考的一個重頭戲,并且高考的趨勢是越來越強調在多種知識(如平面向量、三角函數、方程等)的交匯點命題。常見的題型有:離心率問題、過定點問題、最值問題等。同學們解答數學圓錐曲線試題,需要有較強的代數運算能力和圖形認識能力,要能準確地進行數與形的語言轉換和推理轉換,并在運算過程中注意思維的嚴謹性,以保證結果的完整性。下面舉例說明一些常見解題方法的應用。

一、基本不等式法

例1在平面直角坐標系xOy中,已

(1)求橢圓C的方程。

(2)在橢圓C上,是否存在點M(m,n),使得直線l:mx+ny=1與圓O:x2+y2=1相交于不同的兩點A,B,且△OAB的面積最大?若存在,求出點M的坐標及對應的△OAB的面積;若不存在,請說明理由。

當0《b《1時,|PQ|2當y=-b時取到最大值,且最大值為b2+4b+4。由b2+4b+4=9,解得b=1,與假設0《b《1不符合,舍去。

當b≥1時,|PQ|2當y=-1時取到最大值,且最大值為3b2+6。由3b+6=9,解得b2=1。則α2=3,橢圓C的方程是

(2)假設點M(m,n)存在,則有m2+

反思感悟:本題是圓錐曲線中的探索性問題,也是最值問題,求圓錐曲線的最值問題是高考考查的一個重,點,通常是先建立一個目標函數,然后利用函數的單調性或基本不等式求最值。

二、條件轉化法

例2已知F(3,0)為橢圓

(1)求橢圓C的方程;

(2)若直線1與橢圓C分別相交于A,B直線1的斜率的取值范圍。

解析:(1)由題意知,橢圓的另一個焦點為(-3,0),所以點M到兩焦點的距離之和

(2)當直線L的斜率不存在時,結合橢圓的對稱性可知,ko4+koB=0,不符合題意。

故設直線l的方程為y=kx+m(k≠0),A(x1,y1),B(x2,y2)。

綜上,直線1的斜率的取值范圍為

反思感悟:求某個量的取值范圍,要看清與這個量有關的條件有幾個,有幾個條件就可轉化為幾個關于這個量的不等式,解不等式取交集可得結果。

三、消參法

例3已知橢圓

(1)求橢圓C的方程;

(2)設直線L:y=kx+t(t≠0)與橢圓C相交于A,B兩點,若以OA,OB為鄰邊的平行四邊形OAPB的頂點P在橢圓C上,求證:平行四邊形OAPB的面積為定值。解析:(1)橢圓C經過點(2,1),代入橢聯立①②,解得α2=4,b2=2。

反思感悟:證明某個量為定值,一般方法是用一個參數表示出這個量,通過化簡消去參數,得出定值。

(責任編輯 徐利杰)

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