基于B 樣條曲線的水稻葉片可視化建模

唐子宗 吳盼盼 楊樂,2* 王映龍,2 張歡歡 施俊林

（1 江西農業(yè)大學計算機與信息工程學院 南昌 330045；2 江西省高等學校農業(yè)信息技術重點實驗室 南昌 330045；第一作者：809894495@qq.com；*通訊作者：jxnzhyangle@163.com）

隨著農業(yè)信息技術和計算機圖形學的發(fā)展，目前已經(jīng)可以在計算機上實現(xiàn)模擬植物生長發(fā)育的過程。通過可視化技術，將采集的數(shù)據(jù)轉換成圖形信息顯示在計算機屏幕上，精確的虛擬作物模型有望為作物群體冠層結構的優(yōu)化、結構-功能模型以及理想株型設計等方面提供理論支持[1]。虛擬植物已成為目前農業(yè)科技領域和圖像處理中的研究熱點之一。水稻在生長發(fā)育過程中會受到溫度、土壤養(yǎng)分等因素的影響，是一個極復雜的系統(tǒng)過程。水稻葉片是其進行光合作用、營養(yǎng)物質生產(chǎn)與傳輸?shù)闹饕鞴伲柚嬎銠C技術建立葉片可視化模型，可為水稻的科學栽培和產(chǎn)量提高提供輔助決策。葉片可視化建模這一領域，國內外已做過許多研究，如REFFYE 等[2]采用隨機過程方法對植物結構進行仿真；PRUSINKIEWICZ 等[3]通過算法實現(xiàn)了L 系統(tǒng)；KAANDORP[4]采用分形方法對植物的生長與形態(tài)進行建模；楊紅云等[5]運用Bezier 曲線描述了水稻葉片的邊緣信息，并用一元二次方程模擬主葉脈曲線；劉曉東等[6]用基于NURBS 曲面的方法進行水稻葉片的可視化建模；石春林等[7]對水稻形態(tài)進行建模及對其虛擬生長進行研究。

目前，對水稻葉片可視化建模的研究及對其建模的方法有很多種，而使用B 樣條曲線對水稻葉片可視化建模的研究并不多。在前人研究的基礎上，本文改進了水稻葉片可視化建模的方法，降低了水稻葉片數(shù)據(jù)獲取的難度，運用B 樣條曲線來描述水稻葉片邊緣曲線和主葉脈曲線，結合主葉脈積分數(shù)學方法，構建基于B 樣條的水稻葉片可視化模型。

1 材料與方法

1.1 試驗材料

2019年在江西農業(yè)大學農學試驗站進行兩輪水稻栽培試驗[8]，在自然條件下測定水稻葉片在不同生長時期的形態(tài)結構參數(shù)，將統(tǒng)計分析后的試驗數(shù)據(jù)作為構建葉片模型的數(shù)據(jù)基礎[9]。

1.2 試驗方法

每天 9∶00 和 17∶00 用設置好相機參數(shù)后的佳能EOS6D Markll 數(shù)碼相機拍攝水稻葉片圖像，每天拍取2 張。選取參照物，保證獲取水稻長度時，即獲取水稻大致輪廓即可，獲取水稻寬度時僅需拍攝水稻最大寬度部分。

2 B 樣條曲線及其實現(xiàn)

2.1 B 樣條曲線

B 樣條曲線（B-spline Curves），是為能描述復雜形狀并具有局部性質，改用特殊的基函數(shù)即B 樣條基函數(shù)代替Bernstein 基函數(shù)。B 樣條基函數(shù)是多項式樣條空間中具有最小支撐的一組基函數(shù)，因此也被稱為基本樣條（Basis Spline）。B 樣條曲線其數(shù)學表達式為：

式（1）中，Pi（i= 0，1，… n）是控制多邊形的頂點，Bi,k（x）稱為 k 階（k-1 次）B 樣條基函數(shù)，k 是刻畫次數(shù)，其中k 可以是2 到n+1 之間的任意整數(shù)。

基函數(shù)：B 樣條基函數(shù)是一個稱為節(jié)點矢量的非遞減的參數(shù)u 的序列所決定的k 階分段多項式，這個序列稱為節(jié)點向量。其遞推公式為：

式（2）中，xi是節(jié)點值，x=（x0,x1,… xn+k）構成了 k 階（k-1 次）B 樣條函數(shù)的節(jié)點矢量。B 樣條曲線所對應的節(jié)點向量區(qū)間：x∈[xk-1, xn+1]。

B 樣條曲線類型分為4 種，分別是均勻B 樣條曲線、準均勻B 樣條曲線、分段Bezier 曲線以及非均勻B樣條曲線。本文采用了均勻B 樣條曲線進行研究，均勻B 樣條基函數(shù)的節(jié)點沿參數(shù)軸均勻等距分布，并且均勻B 樣條的基函數(shù)呈周期性，即所有的基函數(shù)有相同形狀，每個后續(xù)基函數(shù)僅是前面基函數(shù)在新位置上的重復。

2.2 二次均勻B 樣條的實現(xiàn)

n+1個控制點的均勻二次B 樣條曲線矩陣表達式為：

式（3）中，以 4個控制點 P0、P1、P2、P3生成兩段二次均勻B 樣條曲線為例，由公式3 可求出其一階導數(shù)，控制點 P0、P1、P2確定第 1 段二次均勻 B 樣條曲線，P1、P2、P3確定第2 段曲線。第2 段曲線的起點切矢量P1P2沿P1P2邊的走向，和第1 段曲線的終點切矢量相等，兩段曲線實現(xiàn)自然連接。我們已知控制點的坐標，只需t 取[0,1]上不同的值，就可以繪制出B 樣條曲線上各個點，然后將各個點用線段相連，B 樣條曲線也就繪制出來了。但為了曲線更加光滑，我們需要盡可能把t 在[0,1]間取更多的值，即間距縮小。二次均勻B 樣條在visual studio 2010 中運行結果如圖1 所示。

圖1 二次均勻B 樣條

3 水稻葉片形態(tài)計算機仿真

3.1 二維水稻葉片模型的建立及其三角網(wǎng)格化

前期已通過測量得到某一生態(tài)環(huán)境下水稻葉片葉長為17.5 cm、葉寬0.6 cm 等，如圖2 所示。假設水稻葉片的基部位于坐標原點，通過測量最大葉長和最大葉寬得到兩者的值，葉脈中心線為坐標縱軸y 方向，它的最大葉寬為葉脈的中心點的反方向，葉片邊緣可近似于兩段曲線P1P3P2與P1P4P2組成，其中，這4個點的坐標為P1（0，0）、P2（0，17.5）、P3（-0.3，8.75）、P4（0.3，8.75）。繪制一條二次均勻B 樣條后，可把這一條曲線視為水稻葉片邊緣曲線的一條。再次繪制關于y 軸對稱的一條B 樣條曲線，即葉片邊緣可近似于兩條曲線組成。將P1、P3、P23 點代入公式 3，可求出 P1、P3、P23 點組成的二次均勻B 樣條的曲線參數(shù)方程。同理，將P1、P4、P23點代入公式 3，求出曲線 P1、P4、P2的參數(shù)方程。圖 3（a）是在VS2010 平臺上實現(xiàn)的葉片可視化二維圖像。

圖2 真實水稻葉片（a）及水稻葉片二維模型（b）

圖3 水稻葉片可視化模型（a）和三角網(wǎng)格化可視化模型（b）

在繪制B 樣條曲線時，兩條B 樣條曲線上的點的個數(shù)是相同的，即i 取相同的值，可代入B 樣條曲線方程，得到葉邊緣關于y 軸對稱點的坐標信息，將左葉片邊緣坐標信息存入數(shù)組（LXi，LYi），右葉片邊緣坐標信息存入數(shù)組（RXi，RYi），在平面坐標系中，可近似認為左葉片邊緣坐標和右葉片邊緣坐標是關于y 軸對稱，即兩點的中點是在y 軸上，也就是關于主葉脈對稱。當取不同的i 值時，可得到曲線上各個點的坐標，最終，將左右葉邊緣的點連接起來，將（LXi，LYi）、（RXi，RYi）、（0、RYi+1）3 點連接，則能得到水稻葉片三角網(wǎng)格化模型。在VS2010 平臺下，結果如圖3（b）所示。

3.2 三維水稻葉片彎曲模型的建立

水稻彎曲真實葉片如圖4（a）所示，根據(jù)其彎曲圖片繪制出概念化模型如圖4（b）所示。由于葉片會受到自然環(huán)境因素或自身重力的影響發(fā)生彎曲。可以采用二次函數(shù)來表示葉片主葉脈的伸展方向，該方法較好展示了葉片彎曲效果。但此方法在幾何建模過程中，需要獲取葉脈與水稻主莖間的夾角來求解該二次函數(shù)的系數(shù)，而葉片數(shù)據(jù)測量中獲取該夾角的值有一定的困難。這里提出一種基于主葉脈積分的方法進行求解：假設葉片發(fā)生彎曲后不會發(fā)生折斷，葉子P2點的坐標變成P2'（x2,y2）,葉脈長度L=17.5 cm，利用公式4 可求解該二次函數(shù)的系數(shù)。

圖4 水稻真實葉片（a）及葉片彎曲概念化模型（b）

其系數(shù)解的矩陣表達式為：

鑒于葉脈彎曲前與彎曲后其插值點到坐標原點的長度保持不變，借助公式6 可求解出葉脈彎曲后插值點的橫坐標值。

式（6）中，i∈[1, n]，n 為原始葉脈插值點的個數(shù)，為葉脈彎曲前第i個插值點到坐標原點的高度，即該點到葉脈底部的長度，為葉脈底部的第1 點的橫坐標值，該值在葉脈彎曲前后不發(fā)生改變?yōu)榍蠼饽繕耍慈~脈彎曲后第i 點的橫坐標值，當全部點的橫坐標求解后，再次借助葉脈函數(shù)可求解出其縱坐標值。其可視化效果如圖5 所示。其中，繪制B 樣條曲線的函數(shù)代碼如下：

圖5 頂點位置展現(xiàn)的葉脈彎曲形態(tài)

在visual studio 2010 中，只需調整newpoint 葉脈頂點的坐標位置，就能得出不同的彎曲形態(tài)。運行該程序，得到的結果如圖6 所示。

圖6 水稻葉片彎曲模型

3.3 試驗結果分析

本次試驗實現(xiàn)了基于B 樣條的水稻葉片可視化建模，在計算機設備上實現(xiàn)了水稻葉片在三維空間上的彎曲。選擇3 條B 樣條曲線實現(xiàn)對水稻葉片邊緣曲線與主葉脈曲線的模擬，并在試驗中添加了三角網(wǎng)格化處理，使得葉片更加真實逼真。在水稻彎曲模型的建立中，運用了主葉脈積分的新方法，避免了獲取葉脈與水稻主莖間夾角的困難。相較于Bezier 曲線，應用B 樣條曲線進行模擬建模更具有優(yōu)勢。例如，Bezier 曲線控制多邊形與曲線的逼近程度較差，次數(shù)越高，逼近程度就越差；Bezier 曲線不支持局部的修改，調整某一控制點將影響到整條曲線；Bezier 曲線拼接時，滿足幾何連續(xù)條件十分困難。B 樣條曲線則在保留Bezier 曲線優(yōu)點的同時，克服了它的不足。本試驗表明，通過調整new－Point 葉脈頂點的坐標位置可以得到不同葉脈彎曲形態(tài)，該點坐標值只需通過簡單的工具測量獲得，而并不需要測量葉脈與水稻主莖間的夾角。

4 結論

本文圍繞水稻葉片的可視化建模展開研究，由于水稻葉片的輪廓可用曲線來描述，因此，運用B 樣條曲線來可視化葉片邊緣，通過二次函數(shù)模擬主葉脈彎曲，并提出一種對該函數(shù)積分的方法求解彎曲后主葉脈的新坐標值。結果表明，運用B 樣條曲線來描述水稻葉片邊緣葉脈和主葉脈信息的方法，能夠較好反映葉片的特征，使水稻葉片的三維可視化建模僅與葉脈的邊緣曲線、主葉脈、最大葉寬、最大葉長等信息相關。

本研究對葉片的可控性不高，隨著外部環(huán)境因素的改變，如積溫、N、P、K 等元素、水分、光照等，這些數(shù)據(jù)的輸入難度也大大增加。除此之外，測量與現(xiàn)實中的水稻葉片也存在誤差，而依靠測量的數(shù)據(jù)進行模擬建模，也會產(chǎn)生一部分計算機誤差。在以后的工作中，將進一步對模型進行試驗，以提高模型的普適性和實用性。