圖像全站儀快速天文測量中星點軌跡研究

張 旭，張 超，李華孝楊，路 輝，2

(1.信息工程大學，鄭州 450001;2.96766部隊，河南 信陽 464000)

天文測量是通過觀測天體來確定地面點的天文坐標或兩點間天文方位角的觀測方法，是一種可靠性高、實用性強、隱蔽性好的定位定向方法，在所有定向測量中精度最高[1]。短時間內實現快速天文定向，確定地面目標天文方位角技術在航海、野外盲測、無路徑導航等領域有諸多的應用[2]。

天文測量正在朝智能化、快速化的方向發展。傳統天文觀測通過人眼獲得目標，人儀差不可避免，使天文測量的精度和效率下降[3]。20世紀80年代CMOS(Complementary Metal-Oxide-Semiconductor)傳感器誕生之后，CMOS成像技術得到快速發展。CMOS技術引入到天文測量儀器，可實現自動化、智能化觀測，消除人儀差的影響，真正在短時間內實現快速天文觀測。對于無窮遠處的恒星來說，短時間內在地球上觀測到的相對角運動平均速度為15″/s，搭載CMOS傳感器的圖像全站儀具有1.5°視場角，研究短時間內星點軌跡，預測星點下一時刻在視場中的大致位置，實現星圖的快速處理。

短時間內星點軌跡的研究對快速天文測量具有重要作用。最常用的三角形星識別算法，需要對多顆星連續觀測，外推同一時刻下各恒星的方位信息，研究短時間內星點運動可以合理把握觀測時間，建立正確外推模型[4]；此外，研究星點軌跡可預判星點在視場中的大致位置，不僅可實現不轉動儀器的前提下連續觀測亮星，還便于縮小星圖處理區域，快速提取星點質心像素坐標[5-6]。文中從幾何模型理論推導和實測數據最小二乘擬合兩個方面，分析短時間內連續觀測亮星的軌跡，并給出符合最佳擬合效果的時間范圍，為精密天文測量中單顆星觀測時長提供參考。

1 圖像全站儀快速天文測量

1.1 基于CMOS圖像全站儀的天文測量

基于CMOS傳感器的圖像全站儀促進了天文測量的發展。互補金屬氧化物半導體(CMOS)是制造大規模集成電路芯片用的一種技術，這種技術制造出來的芯片，也被用于制作數碼影像器材的感光元件，又被稱為CMOS光電影像傳感器。相較于CCD傳感器，CMOS傳感器具有低功耗、抗輻射能力強、動態范圍大、讀出速度快、成本低、成品率高等優點[7]。因此，提高工作效率的同時降低數據轉移的風險和工作成本，數據也可永久保存，這些優點用于全站儀恰好能改進傳統天文測量儀器方面的不足[8]。

目前，CMOS傳感器在圖像全站儀精密天文測量中廣泛使用。將CMOS傳感器引入全站儀進行天文觀測，可建立相對穩定、準確的轉換關系，計算時只需準確客觀的轉換公式就可替代人眼觀測，避免校準計算[9]；相較于傳統天文測量儀器，圖像全站儀有穩定的自動轉臺，在計算機控制下，利用CMOS傳感器拍攝亮星可使兩星之間只需間隔在5 s以內，大大提高觀測速度；另外，將CMOS傳感器引入到測量儀器中，可以短時間內獲取恒星的圖像信息，所獲得的圖像無需打印處理可以直接在計算機上自動處理、分析、計算；基于CMOS傳感器成像方法，獲取拍照時延更加精確，可提高天文觀測的精度。發揮CMOS圖像全站儀的優勢，可實現自動定位恒星和快速天文定位定向。

1.2 CMOS相機坐標與全站儀坐標之間的轉換

CMOS相機內置于全站儀，兩者固定成統一的剛體，但兩者之間并不完全重合，CMOS相機坐標系(o-xcyczc)與全站儀坐標系(O-ZYX)之間存在差異(見圖1)，在測量之前要先確定兩個坐標之間的轉換參數。其中包括:相機投影中心在全站儀坐標系中的3個位置偏移量(Δx,Δy,Δz),像空間坐標系和全站儀坐標系的3個旋轉角(φ,ω,κ),以及坐標系比例尺轉換系數m。這7個參數也被稱為相機相對于全站儀的姿態偏移參數OFFSET。

圖1 坐標轉換圖

(1)

其中，(X,Y,Z)表示物點在全站儀坐標系下的坐標，Rφωκ表示xc,yc,zc3個方向的旋轉矩陣，(x,y,z)表示物點在CMOS相機坐標系下的坐標。通過提前獲得參數，對星點拍照時每張圖像的OFFSET是一樣的，只需標定坐標轉換數學模型，發揮CMOS芯片的優勢，達到圖像實時處理和快速獲取數據的目的[10]。

2 短時間星點軌跡分析

2.1 幾何模型法

亮星在夜空中運動，短時間內在地球上觀測到的平均相對角運動為15″/s，其運動軌跡模型如圖2所示。

圖2 星點軌跡模型

其中，M,N為亮星軌跡上的兩個點，Q為MN間的角距，Q點為地球上的測站，由于地球距離亮星的距離為無窮遠，設距離為R=1。由圓弧計算式和三角形計算關系可知:

(2)

(3)

其中，Rn(x)為拉格朗日余項，ξ為0與x之間的不確定值。由于θ的值較小，取n=2，有:

(4)

令cosξ=-1使得Δθ取最大，則:

(5)

2.2 最小二乘曲線擬合法

數學原理擬合星點軌跡。CMOS圖像全站儀連續獲取星點的圖像信息，若每顆恒星拍攝n次，經圖像處理和星點提取，獲得n組亮星在地平坐標系下的水平角和高度角，令觀測時間x和水平角或者高度角組成坐標(x1,y1),(x2,y2),……，(xn,yn)，之后對坐標進行k階多項式最小二乘擬合。

(6)

這些多項式對應的曲線不一定可以擬合所有點。因此，需計算出滿足式(7)的一組系數。

(7)

由式(8)對a0,a1,a2,…,ak求偏導，并令其為0求解所有系數的值。

(8)

對此范德蒙矩陣繼續分解，令:

則式(8)可以分解為:XTXa=XTY,可得到a=(XTX)-1XTY，求出各參數的系數。由實驗數據，利用最小二乘方法擬合不同階次的曲線，計算系數。比較不同階曲線的擬合效果和殘差平方和，得出最為符合星點軌跡的曲線擬合方式。

3 實驗設計與數據分析

3.1 實驗設計

2020年8月10日晚20時，在我國華北地區某固定測站采集天文數據。采用測角精度為±0.5"的徠卡TS60圖像全站儀，粗瞄范圍廣，精瞄準確度高；搭配Y/JGT-01天文測量系統，具體觀測條件如表1所示。

表1 觀測條件

3.2 數據分析

星點觀測數據經過處理，可以更好展現星點運行軌跡。圖3是從所有觀測亮星中任取1顆，將其8次圖像像素疊加，從圖中可看出星點軌跡大致呈直線型。

圖3 星點軌跡像素疊加圖

從觀測數據分析，任選其中4顆亮星，每顆星的8張圖像經圖像處理后獲得一組水平角、高度角的時間序列，分別將兩個方位角的時間序列與觀測時間進行不同階最小二乘擬合，計算各擬合方式的均方根誤差，如表2所示。由表中的數據可知，顯然一次擬合的精度更高，且計算復雜度更低，也說明短時間星點軌跡線性擬合為最佳擬合的準確性。

表2 任意亮星多種擬合殘差平方和 (″)

另外，為研究擬合時間跨度對擬合精度的影響，將16個時段中所觀測的192顆星的方位角時序隨機選取時間范圍完成一次最小二乘擬合，并計算擬合的均方根誤差，如圖4所示，由于其他因素的影響，包括儀器觀測誤差、人儀差、星、溫度等外界觀測條件的變化，使得相同擬合時間的均方根相互之間存在差異，但絕大多數分布在一定精度范圍內[11]。

圖4 192顆星方位角時序隨機擬合均方根誤差

另外，從圖4中發現相同擬合時間存在幾個互差較大的孤點，人工剔除孤點后，計算相同擬合時間均方根的平均值，如圖5，隨著擬合時間跨度的增加，均方根呈現上升的趨勢，且擬合時間不超過60 s時，均方根誤差不超過1″，驗證短時間星點軌跡線性擬合的可靠性，為天文測量中快速星點處理提供有價值的參考。

圖5 不同時間跨度的方位角時序擬合均方根平均值

4 結束語

從幾何模型中推導短時星點運動軌跡特征，之后建立數學模型并結合實測數據，將星點的方位角時序與觀測時間多階擬合，驗證短時星點軌跡時序線性擬合的準確性。在此基礎上，對觀測亮星隨機劃分時間跨度擬合方位角時序，極大清晰地說明該結論的可靠性，且擬合時間跨度小于60 s時，均方根誤差不超過1″。文中的研究不僅對圖像全站儀應用于天文測量具有重要意義，且根據該理論可預測亮星下一時刻的位置，以縮小星圖處理的范圍，從而加速星點質心的提取速度。另外，觀測者可控制合理的觀測時間，以滿足高精度的天文測量。