讓格子圖成為幾何直觀能力培養的載體

吉林吉林市吉化第九小學校（132000） 佟麗馨

縱觀人教版教材，隨處可見格子圖的身影，只要教師能對格子圖善加運用，不但可以促進學生幾何直觀能力的形成和發展，而且有助于學生建立初步二維空間的觀念，學會用幾何方式分析數量問題。

一、現象思考

“平行四邊形的面積”是一節幾何常規課，但教師對于該課中格子圖的使用存在較大分歧。意見一：格子圖非用不可。課本中既然出現了，就不能違背編者意圖和教材宗旨；面積單位的定義和面積度量的理論基礎都是對面積單位的累計，這是根本。意見二：可以棄用格子圖。格子圖太過刻板，學生不容易想到，與其勉強使用教材，不如直接棄用；即使棄用格子圖，照樣可以推導出平行四邊形的面積公式。

格子圖用或不用取決于執教者的教學觀念，如果執教者想要進一步發展學生的空間觀念，培養學生數形結合的思想，那么在推導平行四邊形的面積公式時，是可以用格子圖的，這與用割補法推導平行四邊形的面積公式其實并不沖突。在使用割補法之前可以將平行四邊形劃分成一個個方格（每個方格恰好為一個面積單位），然后引導學生發現這種數方格的直觀方法存在很大的缺陷，因為圖形中存在很多不規則的“半格”“大半格”等，無法計數，從而促使學生尋找新的途徑，想辦法讓這些“殘缺”的方格盡量拼湊成整格，便于計數。最后滲透轉化思想，將平行四邊形割補成長方形，因為長方形是可以徹底分割成很多整塊的方格的，所以在整個割補的過程中，依然可以保留格子圖背景。學生在割補之后發現，所有的半格都合并成整格，可以通過數方格數出其面積，也可以通過“行×列”計算出方格數，暗合了“長×寬”的公式。這樣，在格子圖的幫助下，割補法中抽象的元素轉化變得直觀生動。

二、編排情況

人教版教材緊扣知識發展線索，為了符合學生的知識基礎和認知發展規律，才系統而漸進地推出格子圖，使學生的空間觀念得到持續、穩健而長足的發展。在課程標準劃定的四大板塊中，圖形與幾何、數與代數兩大板塊中格子圖使用最為頻繁。以2013 年審定的人教版教材“圖形與幾何、數與代數”模塊為例，滲透了格子圖內容的有以下章節：

教材 圖形的認識 測量 圖形的運動與位置 數的認識 數的計算一年級上冊一年級下冊二年級上冊數的認識（總復習）數的順序比較大小乘法口訣角的認識平移二年級下冊1000以內數的認識三年級上冊平行四邊形的認識分數的認識長方形和正方形的周長長方形和正方形的面積筆算乘法三位數乘兩位數平行四邊形的面積三年級下冊四年級上冊四年級下冊五年級上冊五年級下冊平行四邊形和梯形三角形的認識和分類鋪一鋪位置（二）小數的意義與比較大小圓的認識觀察物體（對稱圖形）平行與垂直軸對稱圖形平移鋪一鋪位置（一）圖形的變換小數的初步認識六年級上冊倍數的特征質數和合數百分數的認識數與形分數乘法分數除法

續表

格子圖幾乎貫穿于整套教材中，這是格子圖的強大功能所致。首先，格子圖最顯著的特征就是直觀，體現在方向感強——縱橫交錯的網格線使上下左右的方位十分清晰，學生只需看一眼就能辨識。其次，格子圖自帶準確的刻度標志。在測繪圖形的過程中，由于刻度尺度量、讀數等環節都容易存在誤差，再加上被一些細枝末節分散注意力，學生會在分析時感到困難。而格子圖則從源頭上堵住這個漏洞。因此，格子圖與生俱來的對距離和方向的記錄功能，能促使教學直達知識核心。

格子圖在教材中具有如此強大的生命力，是有原因的。從心理學角度出發，學生在整個小學階段的認知離不開形象思維，即使到了高年級，對于一些幾何問題，尤其是抽象的面積問題，學生剛剛形成的抽象思維還是不夠用的。到了四、五年級后，學生的抽象思維只能解決代數部分的問題，也就是四則混合運算（包括簡易方程），但是這個階段的幾何問題難度明顯增大，需要計算一些面積，甚至是體積，包括最后圓形的面積和圓柱體的體積，如果離開了形象思維和幾何直觀，學生是很難抽象地理解和運用相關公式的。如果此時重新建立直觀模型，不但會與低年級建立的直觀割裂，而且還缺乏經驗的支撐，前期形成的空間觀念也會受到沖擊。因此，最好的辦法就是繼續運用格子圖，保證學生的空間觀念得到持續性發展，還可以繼續促進學生抽象思維的發展，如面積就是以方格為基本單位，體積也可以理解為三維空間上的方格，“行數×列數×層數”就可看作是長、寬、高上的方格數相乘。

三、有效使用格子圖的策略

格子圖被編入教材，就意味著承擔促進學生數學思維發展、發展學生空間觀念、突顯幾何直觀等重要使命。作為教師，應深刻領會格子圖的巨大潛在價值，做到物盡其用。

1.“格”來鋪墊，順勢推導

格子圖的第一用途就是鋪墊。在小學階段，學生主要靠觀察來學習基本幾何概念，而格子圖則為學生學習抽象的幾何性質建立緩沖區。有了格子圖，學生就能循序漸進地理解和接受一些幾何概念，消除一些不必要的誤會。以第九冊的“平行四邊形的面積”教學為例，學生很難憑空想到割補法。此時，引入格子圖，并以格子圖為參照，學生就能發揮想象力，進行切割和拼貼。有了格子圖的鋪墊，將平行四邊形割補成長方形不再難以理解，而是順理成章。

面積定義的本源就是含有面積單位的數量，格子圖正好可以解釋這一定義。例如，圖1 中的平行四邊形的面積是16 平方厘米，一個方格面積按1 平方厘米計算，移多補少后正好覆蓋16 個格子。學生先后在三年級和五年級學習過面積，時隔兩年，如何使知識緊密銜接不脫節呢？格子圖就充當了黏合劑和雙面膠。

圖1

2.“格”來輔助，幫助思考

格子圖能為學生帶來明確的方向和距離的參考。學生在測繪時，如果在白紙上繪圖，不但會出現誤差，還會忽略圖形的主要幾何特征，而有了格子圖，“距離方位”顯而易見。格子圖釋放了更多自由思考和理性分析的空間。如在第七冊“平行四邊形和梯形”單元中，“平行”與“垂直”概念被正式提出。受生活情境負遷移的影響，學生已經形成“水平豎直交叉才是垂直”的思維定式，一旦互相垂直的兩條直線不在水平豎直方向，學生就無法理智判斷。此時，格子圖“出馬”，學生就能迅速厘清頭緒。

（1）圖2 中的兩條直線是什么幾何位置關系？（學生都能自信答道：“平行！”）

圖2

（2）圖3 的三幅圖中分別畫了一對線段，它們還互相平行嗎？（幫助學生在判斷平行時擺脫“長度”和“方向”的干擾，直擊概念的本質要素）

圖3

（3）請試著畫出與圖4 中的線段平行的其他線段。

圖4

學生的作品：

圖5

可見，學生能夠參考方格上的位置畫出傾斜的線段的平行線。這時格子圖的位置指示作用不再是直接映襯，而是間接推理，促進了學生對概念本質的理解。

（4）請判斷圖6中的三組線段是否相互平行？

圖6

有了之前的經驗積累，學生對格子圖的方位感理解得更為透徹和全面，此時再判斷自然是手到擒來。

格子圖的價值可以說是無限巨大，不怕做不到就怕想不到，除了數方格算面積，還可以充分挖掘方格本身具有的幾何特性：方格里含有平行線、直角；每個方格本身就是一個特殊的四邊形——正方形，在正方形內畫出對角線后，還可以將正方形分成兩個等腰直角三角形……可以說格子圖具有很強的可塑性，在教學因倍數時可以借助“用方塊拼搭矩形”的操作活動來揭示倍數和因數的概念和依存關系；教學比例時，可以利用方格自動記錄長度的特性來按比例縮放圖形；教學平移與旋轉時，可以方便地記錄圖形變換的角度和距離……這些都與格子圖自身“計數”與“顯形”的雙重功能有關。

3.數“格”結合，詮釋內涵

“數”與“形”是幾何的兩大主線，華羅庚說過：“數缺形時少直觀，形缺數時難入微。”格子圖就是一種天然的帶有數感的幾何圖形，可以變抽象為具體，轉抽象為形象，直擊數學概念內核。縱向比較格子圖出現的時間節點后，再橫向比較格子圖出現的不同版本，發現各版本教材都出現的百數圖，可以視為一個 10×10 的格子圖，當把 1～100 各數填入其中后，這些數字在特定的幾何位置上就會呈現一定的排列規律，研究這些數字的排列規律時，可以直接借用幾何特征來揭示。一數一格，直觀與抽象交織在一起，教師可提問：

（1）補完百數圖后試著尋找其中的規律。（從橫、豎、斜三個維度去研究）

（2）不看圖，如何根據規律預測某個數附近的數？如對于27，左側的數字比它小1，右側的數字比它多1；上面的數比它少10，下面的數比它多10。27這個數字所在的行和列存在什么關系？

（3）用一些“俄羅斯方塊”去遮蓋百數圖，露出一個數，讓學生推出其他遮擋數字。

這些猜數字游戲把格子圖數形結合的特征展露無遺，既帶有強烈的邏輯性，又帶有明顯的幾何特性，數字規律與幾何特性水乳交融，密不可分，既發展了學生的空間觀念，又訓練了學生的形象思維。

4.“格”來創新，盡顯直觀魅力

在“圖形與幾何”的教學中，即使沒有格子圖，也可以根據具體教學內容，靈活選擇點格與方格，將格子圖的作用發揮到極致：如果要強調長短，適用點格；如果要強調面積，適用方格。

例如，某教師執教“多邊形面積的復習課”時，整堂課就解決一個問題：要在長方形（10 米×5 米）的土地上種植一塊草皮，每平方米造價60 元，現在只有2400 元預算，最大可以種植多大面積的草皮？這塊草皮可能是什么形狀？

由題可知，預算只夠種40 平方米的草坪，在10 米×5 米的土地上如何設計這40 平方米的草坪呢？這是一道開放性很強的題目，需要學生調動所有學過的幾何圖形的面積公式來構思和推算。讓學生在白紙上設計，學生基本上是信手涂鴉，但以格子圖作背景，問題就會簡單很多。繪圖操作有了依據，學生就會自動參考網格線指示的方位和長度，畫出符合要求的圖形，思路一下子就打開了。

綜上，正是這種整齊劃一的格子圖，不僅使學生可以專注于不同幾何圖形的面積公式驗證與應用，而且還能訓練學生的思維，促進學生幾何直觀能力的形成。