在“圖形與幾何”教學中培養學生的空間觀念

上海市嘉定區教育學院（201800） 湯麗紅

空間觀念是“數學十大核心概念”之一。空間觀念主要是指能根據物體特征抽象出幾何圖形，根據幾何圖形想象出所描述的實際物體，想象出物體的方位和物體之間的位置關系，描述圖形的運動和變化，依據語言描述畫出圖形等。培養學生的空間觀念非常重要，下面筆者就結合實際教學，對培養學生空間觀念的途徑做初步探索。

一、在視覺直觀中發展空間觀念

空間觀念的形成基于對事物的觀察與想象。觀察是分析和解決問題的基礎，是認識事物最直接的方法，也是發展數學技能的基本方法之一。觀察策略對認識幾何概念、理解和掌握圖形的特征、提升空間想象力等都有十分重要的作用。觀察策略在“圖形與幾何”的教學中是必不可少的。

1.在比較中觀察

教學中，教師通常會把相似或相反的事物放在一起，讓學生在認識各個事物特征的基礎上，發現它們的相同點與不同點。

例如，教學“長方形和正方形的初步認識”時，學生通過對長方形和正方形的觀察、對比，列出了長方形和正方形的異同點（見表1），從而發現兩者之間的關系：正方形是特殊的長方形。

表1 長方形和正方形的異同點

通過觀察、對比，學生對圖形的特征進行抽象與概括，從而發展空間觀念。

2.在變化中觀察

學生對于實物、圖片、圖形等的直觀認識應重在觀察、比較、辨析異同，不僅要觀察物體的表面特征，還要抓住其本質。在教學中，教師通常會在不改變幾何圖形特征的情況下，通過變換圖形位置或改變圖形形狀讓學生認識幾何圖形的本質。

例如，教學“線段”時，當學生發現線段都是直直的、有兩個端點后，教師出示一組圖形讓學生判斷是否是線段（如圖1）。

圖1

有學生認為⑤和⑥不是線段，理由是⑤太粗、⑥太短。對于學生的這個觀點，教師并沒有直接下定論，而是讓學生各抒己見，在爭論中逐漸理解線段可長可短、可粗可細，位置也可變化，只要它是直直的、有兩個端點，那它就是線段。

3.在有序中觀察

在“圖形與幾何”單元中有數圖形個數的題目（如圖2），這類題學生的正答率比較低。教學中，教師可先給學生獨立思考的時間，再讓學生交流，分享不同的想法。有的學生是隨便數的；有的學生是先數邊長是1 cm 的正方形的個數（9 個），再依次數出邊長是2 cm、3 cm 的正方形的個數（分別有4個和1個），最后把邊長是1 cm、2 cm、3 cm 的正方形的個數相加，得出這個圖形中一共有14 個正方形；還有的學生數的方法與第二種類似，就是數的順序不同。教師對三種不同數法給予肯定的同時，引導學生思考：哪種數法能做到不重復、不遺漏，又有序？學生得出結論：面對比較復雜的圖形時，先分類，再計數，能做到不重復、不遺漏，又有序。

圖2

二、在動作直觀中發展空間觀念

對學生而言，獲取知識的最好途徑就是動手操作。學生只有在活動的基礎上才能構建幾何知識體系。空間觀念的形成離不開動手實踐，只有讓學生自主參與、親歷體驗，他們才能充分表達自己的想法。

1.操作

小學生的思維處于由直觀形象思維向抽象邏輯思維過渡的階段。教學“圖形與幾何”時，學生往往離不開動手操作，教師只有充分調動學生的各種感官，才有助于學生積累學習經驗。教師可以結合教學內容適當地安排拼擺、折疊、劃分、測量、割補以及制作模型等活動，以便促進學生空間觀念的發展。

例如，在教學“平行四邊形的認識”時，學生通過三次不同的操作活動，親歷平行四邊形的形成過程。第一次：用兩條寬度不同的長方形彩帶交疊出不同形狀的平行四邊形，在“實驗—觀察—概括”的過程中初步認識平行四邊形。第二次：以問題“平行四邊形具有怎樣的特征”為任務驅動，用自己喜歡的方法自主探究平行四邊形的特征，在“觀察—猜想—驗證”的過程中發現平行四邊形的特征。第三次：想一想“如果用兩條寬度相同的長方形彩帶交疊，會出現什么圖形”，學生在“猜想—實驗—驗證”的過程中探究平行四邊形的特例，并梳理出平行四邊形、長方形、正方形之間的關系。通過教師的精心設計，學生在操作活動中既親歷平行四邊形的形成過程，又發展了空間觀念。

2.畫圖

特級教師曹培英在《跨越斷層，走出誤區：數學課程標準核心詞的解讀與實踐研究》一書中提出：畫圖是學習幾何知識、發展空間觀念的常規直觀手段。教學“圖形與幾何”時常常會用到畫圖這一策略，通過畫圖可以豐富學生的幾何認知，幫助學生理解幾何概念，變抽象為直觀，發展學生的空間觀念。有一些幾何問題往往是以大段文字的形式出現的，如果學生的空間想象力和理解能力比較弱，那么就很難解決問題。但畫圖能夠架構起圖形與文字間的橋梁，溝通算法與算理，有利于培養學生的空間觀念。

例如，有這樣一題：市民廣場原先有一個長方形水池，長7.5 米（如圖 3），改建后，這個水池的長增加了2 米，寬不變，占地面積增加了10.8 平方米，現在這個水池的占地面積是多少平方米？

圖3

如果不畫圖，很多學生想象不出改建后的水池的樣子，毫無解題思路。可如果根據題目條件畫出增加的部分（如圖4），就讓抽象的數學條件變得直觀，能求出長方形水池的寬，那么改建后水池的面積也就可以算出來了。

圖4

三、在表達說理中發展空間觀念

特級教師曹培英老師在《跨越斷層，走出誤區：數學課程標準核心詞的解讀與實踐研究》一書中還提出：小學生正處在以表象為主的直觀辨認水平向以特征為主的初級概念判斷水平發展，這種發展的中介，就是用語言概括、描述物體的特征。教學中，教師應引導學生抽象概括，把圖形及其位置關系的本質特征表達出來，在說理中發展學生的空間觀念。

例如，教師在教學時設計下題。

圖5

學生已經認識了正方形、長方形、平行四邊形和梯形，也知道了這些圖形的特征及它們的關系。當只露出這些圖形的一部分時，學生就要調用已有的認知經驗，根據露出的部分圖形推測出完整的圖形。比如對第一個圖形，有學生這樣表達：“首先，正方形和長方形都有四個直角，而這個圖形露出的兩個角都不是直角，所以這個圖形不可能是正方形，也不可能是長方形。然后我看到這個圖形的一組對邊是平行的，又只看到了另一組對邊的其中一條邊，那么另一組對邊有可能平行，也可能不平行，所以它可能是平行四邊形，也可能是梯形。”

接著，教師利用多媒體驗證學生的猜想。這個環節不僅激發了學生的學習興趣，給予學生思維的空間，彰顯學生的思維差異，更有助于學生在說理中深刻理解四邊形，有利于學生空間觀念的發展。

四、在想象辨析中發展空間觀念

課程標準中提出的幾何學習目標：根據物體特征抽象出幾何圖形，根據幾何圖形想象出以文字描述的實際物體。如何更好地實現這一目標呢？教師在教學中如果能提出有思維空間的問題，引導學生通過觀察進行思辨，經歷想象與再現過程，便能更好地促進學生空間觀念的發展。

例如，在教學“正方體的展開圖”時，很多教師都會引導學生進行操作活動，通過拼搭學具來加深對正方體展開圖的認識。的確，操作有助于學生積累學習經驗，幫助學生根據物體特征抽象出幾何圖形，但學生脫離了學具之后，就不一定能根據幾何圖形想象出以文字描述的實際物體。在操作活動之后，教師要引導學生經歷抽象推理的過程，只有這樣才能讓學生展開想象。

教學中，當學生經歷了將正方體展開，再折成正方體這個操作過程之后，教師給出一些用6 個正方形拼成的圖形，讓學生不操作學具而直接展開想象，判斷哪些圖形能夠折成正方體。學生在腦海中通過翻、折、拼、轉，思維實現了從立體到平面，再從平面到立體的飛躍，甚至還給出了一個推理的過程：選擇一個正方形作為正方體的底面，依次將各個對應的面找到，用簡單的六個字概括就是“上”“下”“前”“后”“左”“右”。看似簡單的想象過程，卻讓學生經歷了嚴謹的抽象推理過程，幫助學生擺脫了依賴實際物體的習慣，有利于學生空間觀念的發展。

五、在溝通聯系中發展空間觀念

幾何知識是由一個個章節、一個個知識點連接而成的。如果教師能根據知識點之間的內在聯系巧妙設計學習活動，就能引導學生厘清知識點之間的關系，溝通它們之間的內在聯系，進一步發展學生的空間觀念。

例如，在教學“梯形”時，當學生已經認識梯形，知道梯形各部分的名稱，并能正確辨析梯形后，教師提出問題：“梯形與你之前學過的平行四邊形、三角形之間有怎樣的關系呢？”學生看著屏幕上的梯形陷入了沉思。不一會兒就有學生激動地回答：“我知道！當梯形的上底慢慢延長，直到與下底一樣長時，它就變成了平行四邊形。”又有學生搶著回答：“我要補充！當梯形的下底慢慢縮短，直到變成與上底一樣長時，它也變成了平行四邊形。我還發現當梯形的上底或下底縮短成一個點時，它就變成了三角形。”教師根據學生的說法利用多媒體演示梯形變成平行四邊或三角形的過程。以上教學中，教師巧妙地連通了梯形與平行四邊形、三角形的內在聯系，有機滲透了轉化思想方法，進一步發展了學生的空間觀念。

六、在學以致用中深化空間觀念

若將空間觀念的培養與生活情境緊密結合，會收到事半功倍的教學效果。教學中，教師可以結合生活情境巧設問題，讓學生在解決生活問題的過程中充分展現思維過程，進一步發展空間觀念。

例如，在教學“長方體的表面積”后，教師設計以下練習。

勞動技術課上，小亮要做一個無蓋的盒子，老師提供了6 種規格的木板，在不切割木板的情況下，選擇其中幾種規格的木板來做盒子。請將選擇的木板序號和塊數填入表格中（見表2），并計算出該盒子的表面積。（接縫處忽略不計）

表2 選用木板情況及盒子表面積

交流反饋時，學生給出了三種不同的答案：②號木板2 塊，④號木板2 塊，⑥號木板1 塊，這個盒子的表面積是164 cm2；②號木板2 塊，④號木板1塊，⑥號木板2塊，這個盒子的表面積是152 cm2；②號木板1 塊，④號木板2 塊，⑥號木板2 塊，這個盒子的表面積是144 cm2。

教師順勢小結：“不同的選擇，做出來的無蓋盒子的表面積也不同。”說完話鋒一轉，馬上追問：“三種答案的背后有什么相同點？”經過討論，學生一致認為，實際上這個盒子的長、寬、高是相同的。在解決這道題時，首先根據長方體的特征（共有6 個面，其中相對的2 個面完全相同）在頭腦中想象出長方體，再選擇合適的木板，因為是無蓋的盒子，所以只要求出5 個面的面積總和，這樣去掉6 個面中的任意1 個面都行，因此會有三種不同的答案。在開放的問題情境中，學生不僅發展了空間觀念，也體驗到了學習數學的價值。

培養學生的空間觀念不是一蹴而就的，而是需要教師在研讀教材與分析學情的基礎上精心設計教學活動，引領學生經歷想象、探究的過程，將空間觀念的培養落到實處。