簡單重復，無窮奧妙

浙江東陽市吳寧第一小學（322100） 蔣海笑

北師大版教材第四冊第84、85頁編排的是“找規律”內容，教學目標主要是激活學生的生活經驗，指引學生在“感觸規律—展現規律—應用規律—編造規律”的四部曲中積累基本的操作活動經驗，初步意識到數學建模對解決問題的幫助；引導學生在發現、描述多次重復排列的物品或者圖案的排列規律時，能夠描述清晰；初步訓練學生通過對不同事物所展現的同一規律的類比歸納，概括出其本質的統一性，并能用恰當的語言表述規律的形態，形成符號語言意識，并會用數學符號記錄和刻畫規律本身；引導學生在經歷觀察、思考、描述等理論化和學科化的過程中，感受排列規律與現實生活密不可分，感知數學在生活中的有趣應用，體驗數學學習的快樂和趣味，培養學生對數學正確且積極的情感態度與價值觀。

【教學片段一】游戲引入，感受規律

第一輪：記防護口罩順序

師：老師手上提著兩摞防護口罩，有N95 也有普通醫用口罩。誰能在規定的時間內記住這摞防護口罩的排列情況，誰就是智者。

（課件閃現一串雜亂排列的防護口罩，讓學生觀察并嘗試記住排列次序）

師：哪位同學能夠將你記住的防護口罩類型從前到后描述一遍？

師：能準確記住這摞防護口罩先后次序的人寥寥無幾。我們再賽一場。（課件閃現一串規律排列的防護口罩）

師：請記住的同學高舉你的左手，讓老師看見你的自信。

師：老師發現準確記住第二摞防護口罩的同學人數暴增，難道是大家瞬間打通了任督二脈，突然開竅了嗎？

師：顯然，大家的智商沒有瞬間提高，只是因為第二摞防護口罩的排列是有規律可循的，所以記憶起來更加輕松。（首輪賽事收官，學生意猶未盡）

第二輪：記馬克筆順序

師：我們再賽一場，本輪比賽老師修改一下玩法，男女生分組進行對抗賽。

師：這有兩盒馬克筆，有紅、藍兩色，包裝數量各不相同，第一盒有17枝，第二盒有21枝。男女生各選一盒馬克筆，然后試圖記住馬克筆的顏色排列次序，看哪一組能最快記住，先記住者獲勝。

（學生自選一盒馬克筆后，課件呈現兩盒顏色擺放次序不同的馬克筆，男女生分組對壘）

師：為什么選擇馬克筆數量多的那組反而取勝？

生1：因為那盒馬克筆的顏色排列有規律。（如圖1）

圖1

師：凡是排列有規律可循的，即使數量再多，也容易被記住。

第三輪：說手機品牌順序

師：老師這還有兩排手機，既有華為手機，也有蘋果手機。你們覺得哪一排的手機品牌的先后次序更好記？

生2：第二排。因為有規律可循。

（教師把第二排的手機投影到電子白板上，如圖2）

圖2

師：說出第16 個是什么品牌的手機。

生3：蘋果手機。因為它的品牌陳放次序是有規律可循的。

【設計意圖：利用競賽喚醒學生的生活經驗，讓學生對所學知識產生濃厚興趣；通過核算積分的形式讓學生樂于接受挑戰，主動思考，積極應對，始終保持參與熱度，在不知不覺中初步感知到規律的存在。在競賽的刺激下，學生清醒地意識到，有規律的排列比雜亂無章的排列更容易記住，要想快速記住，必須找到排列規律。同時，從時下的流行元素中選擇口罩、馬克筆、手機來幫助學生建立豐富的直觀模型，讓學生在對不同事物擺放順序的記憶中體會重復的奧妙所在，這些感性的素材能夠最大限度地激發學生的學習興趣。

這一環節的三個實驗操作活動，不是簡單的重復和疊加，而是富有層次性和邏輯性的，一步步引發學生的思維躍升。第一個實驗是讓學生記住兩摞口罩的排列順序，讓學生初步感知有規律的排列比無規律的排列更好記憶，或者說有規律的排列具有記憶的特殊編碼；第二個實驗是讓學生記住一定數量的馬克筆的排列順序，不僅有有規律和無規律之別，還有數量之差，學生從中發現有規律的排列記憶效率大大高于無規律的排列；最后一個實驗，則將有規律的排列延伸至無限，并引導學生發現有規律的排列可以根據規律推測出任何一個位置的元素，而無規律的排列則不能，即無規律的排列只能確定眼前的有限數量。】

【教學片段二】交流反饋，表達規律

師：今天“記憶闖關”的游戲到此為止，在剛才的競賽中，同學們發現上述三組物品的擺放次序都是有規律可循的。（課件出示主題圖，略）

（一）認識規律

1.描述防護口罩的排列規律

德國漢諾威展覽公司國際關系總監Marco Siebert說：“全球化和數字化正在大力推動工業轉型。在漢諾威工業博覽會，全球商界、制造業界和政治界齊聚一堂，共同探討這兩大議題以及當前工業面臨的其他問題和挑戰。例如，我們如何確保算法能夠使機器合乎邏輯地處理和響應數據，而不做出惡意行動？”

師：防護口罩的排列規律到底是怎樣的，誰來具體陳述一下？

生1：防護口罩的排列規律是一個N95、一個普通醫用口罩、一個N95、一個普通醫用口罩。

師：簡單地說，就是N95、普通口罩、N95、普通口罩、N95、普通口罩……

師：如果將口罩一直碼放下去，有盡頭嗎？

生2：無休止。

師：怎么辦？

生3：用省略號來表示。

師：此處省略號省略的內容是什么？

生4：省略的是后面排列的防護口罩。

生5：重復出現。（板書：重復出現）

師：是的，防護口罩就是以“一個N95、一個普通醫用口罩”為一組不斷地重復出現。

（教師一邊說一邊演示課件）

師：誰能模仿老師的做法，完整描述口罩是如何排列的？

生6：口罩是按照“一個N95、一個普通醫用口罩”為一組不斷地重復出現的。

2.描述馬克筆的排列規律

師：馬克筆的排列又有怎樣的內在規律呢？每個人先獨立思考，然后組內交流探究，最后匯報展示。

師：馬克筆的排列規律也是在對某一組進行不斷重復。是哪幾枝馬克筆在不斷地重復出現呢？

生7：紅、紅、藍。

師：除了顏色排列上存在規律，還有其他發現嗎？

師：型號上有怎樣的規律？（小號、小號、大號）

師：怎樣描述更加簡練呢？

3.描述品牌手機的排列規律

師：不同品牌手機的排列又有怎樣的規律呢？

【設計意圖：通過指引學生觀察、發現、描述規律，培養學生的觀察、分析、歸納能力以及概括表達能力，這些能力都是綜合性的。在一個完整連貫的活動中將學生的上述能力訓練到位，學生能把直觀感性的規律轉化為形象理性的思維，強調邏輯性和分組歸類，為后面利用規律進行數學運算打好基礎，同時學生的領悟力和數學轉化能力也得到了提升。特別是引導學生發現“同一盒馬克筆中，可按照顏色排列和型號排列，將不同的規律交融在一起”，能夠培養其發散思維。

當學生熟知排列規律的區別后，回歸到第一個實驗，讓初步感知的排列規律具體化。第一個實驗中學生只知第二堆口罩的排列有規律，但不知道具體的規律是什么，更不知道該如何描述規律，即用標準的數學語言來表述。在該環節中，要讓學生學會規范表述。學生嘗試對三個實驗的排列規律進行表達后，教師要優化并提煉出最佳表述。其中，學生通過對馬克筆的排列規律的表述，進一步發現馬克筆的排列規律可以從兩個角度去觀察，一是型號，二是顏色。在不同的參照標準下，描述的規律會不一樣。對同一事物在不同參照標準下進行表述的錘煉，正是對數學語言的多元化重構。】

（二）表示規律

師：說一說，你想用什么符號記錄規律？

師：任選一組有規律排列的物品，自選符號記錄。

（板書：文字、圖標、色彩、數字、字母）

【設計意圖：讓學生經歷從生活現象到數學知識轉型升級的過程，讓他們用自己心儀的符號來刻畫規律，進行數學化處理，能充分挖掘他們的智慧，激發他們的創造力，而學生對自己創造的記錄法也會印象深刻，終生難忘。這種自我創造的知識比任何灌輸的知識都牢靠。自創表示規律的方法，就是一個“符號化、數學化”的認知層次提升的過程，數形結合思想在無形中得到滲透。】

（三）概括規律

師：這些規律有什么相同之處？（小組合作探究，交流反饋，并集中匯報展示）

生：都有一個基礎單元組不斷重復。

師：德國的科學家開普勒有句名言，“數學就是在變化莫測中找到一個恒量。”

【設計意圖：通過組內交流互動，學生的表達水平和團隊意識得到提高，推理和概括能力也在無形中得到提升。尤其是引用科學家的話，把數學知識的文化性推向一個高峰。】

【教學片段三】高層拓展，運算規律

第一關：演一演

跟著老師一起做：聽口令行事——咚、恰、恰。

配合動作：擺手、踢腿、踢腿。

（讓學生試圖用不同的肢體動作或聲音表演這些有規律的節拍）

第二關：填一填（呈現幾組有規律擺放的物品、文字、圖形、數字、符號）

下圖的括號中該填什么？

AABBAABB（ ）

★○○★○○★○○★○○（ ）

第三關：拓展延伸

（1）OΔOΔOΔ……照此規律排下去，第15 個圖案是什么？

（2）123423413412_______

【設計意圖：盤旋上升、拾級而上的練習題，真正做到了“照顧學生的個體差異”及分層教學；豐富了規律的內涵，擴大了規律的外延，避免學生狹隘地認為規律只存在于排列的物品或有形的文字圖案中，使其意識到規律還可以存在于無形的音律和變化的肢體動作中，為后續學習做鋪墊。

最簡練的數學語言永遠是符號，數學符號是數學語言的精妙所在，數學規律和定律無論用哪一個國家的語言表達都冗長費解，只有翻譯成數學符號才簡潔明了。排列規律亦是如此。我們可以用△、○、☆等任意圖形來代表不同的事物，甚至可以用字母來表示，而用字母A、B、C、D 表示點和線段，一直以來也是幾何的書寫傳統；表示無限延伸的省略號也是一種數學符號，而表示余數以及無限（極限）思想時，也是用這個符號。符號的簡潔化直接帶來規律的直觀化，避免了許多排列規律的語言負擔，因為符號本身就帶有規律，包括“馬克筆”那種雙重標準的規律，用符號也可以輕松解決，如用A1表示大號紅色，用A2 表示大號藍色，用a1 表示小號紅色，用a2表示小號藍色。】

簡單的重復可以制造出許多意想不到的規律。生活中不缺美，缺的是用數學的眼光來審視美，用數學的思維來解構美。我們要學會用數學的方式來創造美，讓數學變成一門美妙的學科。