Proper條件下1-集合壓縮映射的不動點定理

涂 昆，蘇麗麗

(1.揚州大學數學科學學院，江蘇 揚州 225002；2.武警工程大學基礎部，陜西 西安 710086)

許多應用中的問題，比如物理、化學、生物、生態等科學中的許多實際問題，最終可以轉化為求如下非線性方程解的問題：

x=Ax+Bx,x∈C,

其中，C是Banach空間X中的非空有界閉凸子集，A和B是定義在X上的非線性算子.1954年，Krasnoselskii[1]證明了此方程在算子A+B映射下的不動點定理，其中A是緊連續映射，B是壓縮映射.

定理1假設C為Banach空間X中的非空有界閉凸子集，A、B是兩個由C到X的非線性映射，且滿足如下條件：

(i)A是緊的連續映射,

(ii)B是壓縮映射,

(iii)A(C)+B(C)?C,

則算子A+B在C中至少有一個不動點.

f:X→Y稱為壓縮映射，如果存在0

α(A)=inf{d>0:A?∪j∈FEj,F有限,d(Ej)≤

d},

其中d(Ej)表示Ej?X的直徑，更多關于非緊性測度及其應用的討論，參見文獻[4].雖然Sadovskii的定理直接覆蓋了Krasnoselskii的定理，但是通常仍然將和算子的不動點問題稱為Krasnozelskii型不動點問題，詳見文獻[5-10]及其相關參考文獻.

關于非擴張映射等度量性質的不動點已做了大量研究[11-14]，在這些研究的啟發下，許多數學家將研究重點轉向關于不動點性質的拓撲分支的研究，例如k-集合壓縮映射[15]、凝縮映射[2]、1-集合壓縮映射[16]等.其中，1-集合壓縮包含了完全連續映射、凝縮映射、非擴張映射、k-集合壓縮等.

Krasnoselskii定理的證明中使用了關于壓縮映射的一個關鍵性質，即如果D?X，f:D→X是一個壓縮映射，則映射I-f:D→(I-f)(D)是一個同胚映射.2010年，Falset[17]在f非擴張，且I-f為ψ-擴張的條件下證明了f的不動點存在性.

而后，Djebali等[18]注意到ψ-擴張是α-ψ-擴張的一個特例，將其不動點定理推廣到f為1-集合壓縮、I-f為α-ψ-擴張的條件下.而其證明利用了α的定義特征，具體地，利用了其定義中一個集合被有限個直徑可控的集合覆蓋這一特定性質.而非緊性測度的形式多樣，例如最近Cheng等[19]和Ablet等[20]證明了在任意Banach空間中都存在不等價的齊次非緊性測度，說明了非緊性測度的不可數性質.在本文中，利用公理化定義的非緊性測度μ，將文獻[18]中的結果推廣到任意的非緊性測度.注意到I-f的閉性，假設I-f是proper映射，而α-ψ-擴張即是一類特殊的proper映射.同時，類似地考慮了弱拓撲情形下的不動點定理.

1 μ-1-集合壓縮映射的不動點

在這一節中研究proper映射的閉性，通過逼近不動點方法證明μ-1-集合壓縮映射的不動點性質.文中(X,‖·‖)表示實Banach空間，B(0,r)表示原點在0半徑為r的閉球，B(X)表示X的單位球.

假設B(X)為X中所有非空有界子集構成的集族，那么函數μ:B(X)→[0,+∞)稱為X上的正則的非緊性測度，如果μ滿足對任意A,B∈B(X)，

(i)μ(A)=0?A相對緊，

(ii)μ(A)≤μ(B)，?A?B∈B(X)，

(iii)μ(coA)=μ(A)，

(iv)μ(A∪B)=μ(A)∨μ(B)，

(v)μ(A+B)≤μ(A)+μ(B)，

(vi)μ(kA)=|k|μ(A)，k∈R.

其中A∈B(X)，Hausdorff測度也滿足上述條件.另外，也有許多滿足這些條件的非緊性測度存在，具體測度的構造例子詳見文獻[4].

若函數μ:B(X)→[0,+∞)滿足μ(A)=0?A相對弱緊,及(ii)～(vi)，則μ稱為非弱緊性測度.de Blasi[21]引入的測度ω即滿足上述條件，對任意A∈B(X)，

ω(A)=inf{r>0∣A?K+rB(X)}.

其他一些應用廣泛的非弱緊性測度參見文獻[6].

定義1映射f:X→Y稱為(弱)proper映射，如果相對(弱)緊集B?Y的原像f-1(B)為相對(弱)緊集.

映射f:X→Y稱為α-ψ-擴張，若存在函數ψ:[0,∞)→[0,∞)滿足ψ(0)=0且當r>0時ψ(r)>0，使得對任意A∈B(X)，則有α(f(A))≥ψ(α(A)).

例1(i) 上半Fredholm算子是proper映射,

(ii)α-ψ-擴張映射是proper映射，特別地，當ψ是可逆的非減函數或連續函數時ψ-擴張映射是proper映射,

(iii) Tauberian算子是弱proper映射.

我們猜想proper映射和弱proper是不相容的，但是遺憾的是目前并不明確它們的確切關系.下面將證明proper映射的一個重要性質.

引理1假設C是Banach空間X中的非空閉子集，f:C→X是一個連續的proper映射，則f的像R(f)是閉集.

證明假設序列(yn)n∈N∈R(f)收斂到y0∈X，則對任意n∈N,存在xn∈C使得yn=f(xn).由于{yn}是相對緊集，則{xn}是相對緊集.進而，存在子序列{xnk}及x0∈C，使得xnk收斂到x0.由f的連續性可知，ynk收斂到f(x0).進一步可以得到y0=f(x0)，故而定理得證.

同理可以得到關于弱proper映射的閉性.

推論1假設C是Banach空間X中的非空弱閉子集，f:C→X是一個弱連續的弱proper映射，則f的像R(f)是閉集.

在實際應用中，往往驗證一個映射弱序列連續比驗證其弱連續容易，故而當f為弱序列連續時有同樣的結論.

推論2假設C是Banach空間X中的非空弱閉子集，f:C→X是一個弱序列連續的弱proper映射，則f的像R(f)是閉集.

Djebali等[18]利用Kuratowski測度定義的特殊性質，證明了當f為α-1-集合壓縮且I-f為α-ψ-擴張映射時的不動點定理.接下來，要在I-f為proper條件下將此定理推廣到任意的非緊性測度μ.

定義2設X為Banach空間，連續映射f:X→X將X中的有界集映射成有界集，μ是X上的非(弱)緊性測度.稱為μ-1-集合壓縮，如果對任意A∈B(X)

μ(f(A))≤μ(A).

定理2設C是X中的非空有界閉凸集，μ是一個非緊性測度，f:C→C為μ-1-集合壓縮且I-f是proper映射，則f至少有一個不動點.

類似地，利用推論1可得當μ是弱非緊性測度，f是弱連續時的不動點定理.

定理3設C是X中的非空有界閉凸集，μ是一個非弱緊性測度，f:C→C為弱連續的μ-1-集合壓縮且I-f是弱proper映射，則f至少有一個不動點.

推論3設C是X中的非空有界閉凸集，μ是一個非弱緊性測度，f:C→C為弱序列連續的μ-1-集合壓縮且I-f是弱proper映射，則f至少有一個不動點.

2 Krasnoselskii型不動點定理

在這一節中，利用上一節的結論，研究和算子的不動點性質，并將其應用到積分方程.一個連續算子A被稱為完全連續的，如果A將有界集映射成相對緊集.

定理4設X是一個Banach空間，C為X中的非空有界閉凸子集，μ是一個非緊性測度.若算子A,B:C→X滿足

(i)A是完全連續,

(ii)B是μ-1-集合壓縮且I-(A+B)是proper映射,

(iii)A(C)+B(C)?C，

則A+B存在不動點.

證明由條件(iii)可知，A+B為C到C的自映射，由定理2得，A+B存在不動點.

定理5設X是一個Banach空間，C為X中的非空有界閉凸子集，μ是一個非緊性測度.若算子A,B:C→X滿足

(i)A是完全連續,

(ii)B是μ-1-集合壓縮且I-B有連續的逆映射,

(iii)A(C)+B(C)?C，

則A+B存在不動點.

證明任取x∈C，則對任意y∈C，Ax+By定義了算子Ax:C→C.由條件(ii)可得Ax是μ-1-集合壓縮且注意到具有連續逆的映射是proper映射，故I-Ax是proper映射，進而由定理2可知存在y∈C使得y=Ax+By，即(I-B)-1Ax=y.進一步地，(I-B)-1A是從C到C的連續的自映射.由于A是完全連續，故而(I-B)-1A是完全連續映射，由Schauder不動點定理可得，存在不動點x0∈C，使得(I-B)-1A(x0)=x0，命題得證.

注1稱f:D(f)?X→X為ψ-擴張映射，如果存在連續或非減的函數ψ:[0,∞)→[0,∞)，滿足ψ(0)=0且當r>0時，ψ(r)>0，使得對任意x,y∈D(f)，有‖f(x)-f(y)‖≥ψ(‖x-y‖).Falset[17]證明了ψ-擴張映射是一類具有連續逆的映射.因而，文獻[17]中的定理3.7和文獻[18]中的定理3.7是定理5的推論.

例2設T∈R，X=C([0,T],R)表示連續函數空間賦予上確界范數，討論如下積分方程

(1)

其中f和g滿足如下條件：

(i)f:[0,T]×R→R為連續函數，且f:I×X→X為α-1-集合壓縮，其中I為單位映射；

(ii)I-f(t,·)為ψ-擴張；

(iii)g:[0,T]×R→R為連續函數且存在m,k∈L1([0,T],R+)和增函數Ω:R+→R+，使得對任意x∈R，a.e.t∈[0,T]，有

‖g(t,x)‖≤m(s)Ω(|x|)+k(t).

且對任意x∈R，g(·,x)可測，g(t,·)連續a.e.t∈[0,T]；

當f和g滿足上述條件時，方程(1)有解.

證明設算子A,B:X→X定義為對任意u∈X，

B(u)(t)=f(f,u(t)).

下證A+B有不動點.由Ascoli定理可知，算子A是連續的緊算子.由(i)可得B為α-1-集合壓縮.

進一步由(ii)可得I-B為ψ-擴張.事實上，設h(t,·)為ψ-擴張，則對任意u,v∈X

‖h(t,u)-h(t,v)‖≥ψ(‖u-v‖)，

即

sup{|h(t,u(s))-h(t,v(s))|:t,s∈[0,T]}≥

ψ(‖u-v‖)，

在上式中取s=t即得I-B為ψ-擴張.

‖A(u)+B(v)‖≤‖f(t,v(t))‖+

‖k‖1，