一種面向異質(zhì)性時空場數(shù)據(jù)分析的張量模型

李 冬 雙，滕 玉 浩，羅 文,4，俞 肇 元,4*

(1.江蘇省作物遺傳生理國家重點實驗室/江蘇省作物栽培生理重點實驗室，揚州大學(xué)農(nóng)學(xué)院，江蘇 揚州 225009;2.江蘇省糧食作物現(xiàn)代產(chǎn)業(yè)技術(shù)協(xié)同創(chuàng)新中心，揚州大學(xué)，江蘇 揚州 225009;3.南京師范大學(xué)虛擬地理環(huán)境教育部重點實驗室，江蘇 南京 210023；4.江蘇省地理信息資源開發(fā)與利用協(xié)同創(chuàng)新中心，江蘇 南京 210023)

0 引言

地理時空場是空間位置參照和時間參照與屬性域之間的連續(xù)映射，表征了空間和時間上的連續(xù)演化現(xiàn)象。多樣的地理要素及其時空演變使地理時空場表現(xiàn)出明顯異質(zhì)性特點[1]，這種異質(zhì)性體現(xiàn)在維度異質(zhì)性和分布異質(zhì)性兩方面。其中維度異質(zhì)性指時間維度、空間維度和屬性維度在長度上往往是不均等的，如對于長時間觀測序列，時間維上的數(shù)據(jù)長度則顯著大于空間維上的數(shù)據(jù)長度；分布異質(zhì)性主要受空間、時間和屬性的不同影響，使地理數(shù)據(jù)在不同區(qū)域內(nèi)呈現(xiàn)出分布不均勻性、空間非均勻性和時間非平穩(wěn)性，從而表現(xiàn)出結(jié)構(gòu)異質(zhì)性特征[2]。異質(zhì)性時空場數(shù)據(jù)的處理和分析已成為時空場數(shù)據(jù)分析的熱點[3]。

現(xiàn)有時空場數(shù)據(jù)模型主要包括時空立方體模型、點云模型和參數(shù)化模型3類[4]。時空立方體模型可看作是由一系列規(guī)則柵格堆疊而成的多維矩陣，該類數(shù)據(jù)模型在規(guī)則時空場表征上有優(yōu)勢，但在時空場對象檢索、不同維度重組以及數(shù)據(jù)分析等方面的復(fù)雜度較高[5]；點云模型類似于時空點對象，為包含多個屬性值的多維點集結(jié)構(gòu)，該類模型可有效進(jìn)行維度擴(kuò)展和組合，但由于各質(zhì)點間關(guān)系模糊、結(jié)構(gòu)性差，不利于復(fù)雜的時空特征分析方法的構(gòu)建[6]；近年來，基于參數(shù)的場表達(dá)與分析在物理學(xué)、工程應(yīng)用等領(lǐng)域得到較大發(fā)展[7,8]，參數(shù)化模型多適用于結(jié)構(gòu)規(guī)律性強、機理過程相對明確的時空場的表征，但地學(xué)時空場數(shù)據(jù)往往表現(xiàn)出顯著的多尺度疊加的異質(zhì)性特征，機理過程不明確，導(dǎo)致參數(shù)化模型在地理時空場表達(dá)中應(yīng)用不多[9]。上述3類時空場模型多立足于對現(xiàn)有空間數(shù)據(jù)模型的時域拓展，在高維數(shù)據(jù)表達(dá)以及異質(zhì)性的時空數(shù)據(jù)分析支撐方面尚顯薄弱。

張量是矩陣的高維擴(kuò)展，可用于多變量、多坐標(biāo)系統(tǒng)對象的統(tǒng)一表達(dá)，是進(jìn)行地理時空場數(shù)據(jù)組織的有效工具。張量結(jié)構(gòu)的多維表達(dá)特性為時空場數(shù)據(jù)的表達(dá)提供了原生數(shù)學(xué)支撐。張量分解則通過對張量數(shù)據(jù)進(jìn)行投影映射，利用線性或?qū)哟位慕Y(jié)構(gòu)將高維時空場轉(zhuǎn)換成低維的張量、矩陣或向量[10,11]，實現(xiàn)對時空場中數(shù)據(jù)特征的解析和提取，可以挖掘不同維度數(shù)據(jù)間整體的耦合作用關(guān)系，并有效支撐時空場數(shù)據(jù)的組織和特征分析，已廣泛應(yīng)用于地理時空場數(shù)據(jù)特征提取、組織管理以及可視化分析等方面[12,13]。然而，經(jīng)典的張量分解模型主要利用矩陣化方式進(jìn)行降維，進(jìn)而在降維矩陣上通過諸如矩陣分解等方法進(jìn)行特征提取。準(zhǔn)確的張量分解多依托于兩類假設(shè)：1)觀測數(shù)據(jù)在不同維度上的數(shù)據(jù)長度相對一致[14]，該假設(shè)是為保證張量矩陣化后，不會因為矩陣在不同維度上數(shù)據(jù)長度差異過大導(dǎo)致矩陣分解獲得的特征存在明顯偏差；2)觀測數(shù)據(jù)的數(shù)值分布相對均一，不存在顯著的結(jié)構(gòu)差異或突變[15]，該假設(shè)可保證在張量矩陣化后，矩陣分解方法可提取出穩(wěn)定的特征分量。但異質(zhì)性的地理時空場數(shù)據(jù)多難以滿足上述兩類假設(shè)，影響張量在異質(zhì)性地理時空場數(shù)據(jù)分析中的適用性[16]。

從數(shù)據(jù)投影和數(shù)據(jù)分塊的視角對此類數(shù)據(jù)進(jìn)行局部拆分，進(jìn)而利用張量算子建立從局部到整體的特征分析框架，是解決異質(zhì)性張量特征分析問題的可行途徑。但數(shù)據(jù)的拆分不僅需要考慮原始時空場數(shù)據(jù)的組織管理，還需要考慮不同的數(shù)據(jù)投影或拆分結(jié)果，以及在張量分解過程中產(chǎn)生的過程數(shù)據(jù)的組織與管理。因此，從拆分的視角構(gòu)建異質(zhì)性時空場數(shù)據(jù)的張量數(shù)據(jù)模型易導(dǎo)致時空場數(shù)據(jù)模型構(gòu)建的復(fù)雜性，需要在現(xiàn)有張量分析的基礎(chǔ)上，通過有效的數(shù)據(jù)組織和變換，建立適用于異質(zhì)性時空場數(shù)據(jù)分析的張量模型。鑒于此，本文將張量引入異質(zhì)性時空場數(shù)據(jù)模型設(shè)計，研究基于張量的異質(zhì)性時空場數(shù)據(jù)的組織表達(dá)方法，結(jié)合不同類型的異質(zhì)性時空場數(shù)據(jù)特點，基于面向?qū)ο笤O(shè)計不同類型的異質(zhì)性時空場數(shù)據(jù)類、類中包含的屬性和操作以及不同類之間的邏輯關(guān)系，以期實現(xiàn)面向異質(zhì)性時空場數(shù)據(jù)分析的張量模型構(gòu)建；在此基礎(chǔ)上，以維度非對稱數(shù)據(jù)和結(jié)構(gòu)異質(zhì)數(shù)據(jù)特征提取為案例，分析所構(gòu)建模型對支撐異質(zhì)性時空場特征提取的優(yōu)勢。

1 基于張量的時空場數(shù)據(jù)組織與操作

1.1 基于張量的時空場數(shù)據(jù)組織模型

基于張量的時空場數(shù)據(jù)組織模型需要考慮時空場數(shù)據(jù)所具有的維度不規(guī)則和分布不規(guī)則的特性(圖1)。對于維度非對稱數(shù)據(jù)，其不僅具有常規(guī)時空場數(shù)據(jù)的多維特性，且各維度數(shù)據(jù)長度差異較大。因此，為能從多維度聯(lián)合解析，同時也能有效兼顧各維度的差異性，可以引入維度集合拆分的思路。對于給定的張量形式表達(dá)的時空場數(shù)據(jù)A∈RX×Y×T，其數(shù)據(jù)維度集合{X,Y,T}可拆分為不同的維度組合{X,Y},{X,T},{Y,T}。原始張量數(shù)據(jù)可以被投影到這些不同維度組合上，形成一系列的維度子空間進(jìn)行數(shù)據(jù)組織。這些維度子空間不僅包含所有可能的維度組合，同時還可以從局部維度視角透視原始數(shù)據(jù)。由于這些維度子空間維度較低，且其各維度上的數(shù)據(jù)長度相較于原始數(shù)據(jù)更加均衡，因此，綜合不同維度子空間透視原始數(shù)據(jù)，可以削弱維度不規(guī)則對于數(shù)據(jù)整體特征揭示的影響。

圖1 基于張量的異質(zhì)性時空場數(shù)據(jù)組織Fig.1 Tensor-based organization of heterogeneous spatial-temporal field data

對于結(jié)構(gòu)異質(zhì)時空場數(shù)據(jù)，其不僅具有常規(guī)時空場數(shù)據(jù)的多維特性，而且其各個局部結(jié)構(gòu)差異較大，因此，需要有效兼顧數(shù)據(jù)整體的多維性和內(nèi)部結(jié)構(gòu)的差異性。借鑒數(shù)據(jù)劃分—合并的思想有助于降低數(shù)據(jù)內(nèi)部分布的異質(zhì)性。對于張量表達(dá)的時空場數(shù)據(jù)A∈RX×Y×T，可將其分割成大小一致的子張量塊{A1∈RX1×Y1×T1,A2∈RX2×Y2×T2,…,An∈RXn×Yn×Tn},構(gòu)建子張量塊相似度度量ρi,i+1=similarity(Ai,Ai+1)，similarity( )為相似度計算函數(shù)，由于數(shù)據(jù)的分量既可以是向量形式，也可以是矩陣形式，因此所使用的相似度計算函數(shù)可以分別采用余弦相似度和皮爾遜相關(guān)系數(shù)等實現(xiàn)，并結(jié)合相似性閾值(α)將子張量塊合并。張量塊的合并是一個迭代過程，合并的張量塊會根據(jù)判斷準(zhǔn)則決定是否繼續(xù)與相鄰塊合并。具體而言，若ρi,i+1≥α，則Ai={Ai,Ai+1}，即將子張量塊數(shù)據(jù)沿著某維度追加;若ρi,i+1<α，則Ai和Ai+1仍然組織為獨立的兩塊。基于上述規(guī)則對原始數(shù)據(jù)進(jìn)行重組后，其每個局部子張量塊數(shù)據(jù)內(nèi)部的特征相似，而相鄰子張量塊的特征差異較大。因此，可以在每個局部子張量上進(jìn)行特征分析，而后合并獲得整體張量的特征結(jié)構(gòu)。

1.2 基于張量的數(shù)據(jù)操作與分析流程

以張量為基礎(chǔ)，構(gòu)建具有靈活的維度運算特性和高維特征分析能力的張量算子，可以有效支撐張量的數(shù)據(jù)操作和運算。面向異質(zhì)性時空場數(shù)據(jù)操作，本文構(gòu)建了表1所示的張量數(shù)據(jù)操作算子，其中張量的維度拆分、數(shù)據(jù)投影和相似度計算等算子主要用于實現(xiàn)異質(zhì)性時空場數(shù)據(jù)的子空間構(gòu)建、張量分塊、張量合并等操作。考慮到高維相似度測算通常較為困難，本文設(shè)計的相似度算子首先利用張量分解得到低維特征分量，進(jìn)而通過分量間相似度計算函數(shù)估計高維數(shù)據(jù)的相似度。數(shù)據(jù)投影算子類似于二維矩陣中的特征分解，對于高維數(shù)據(jù)，則可利用張量分解算子實現(xiàn)高維異質(zhì)數(shù)據(jù)各維度特征的提取，進(jìn)而利用張量重構(gòu)算子實現(xiàn)對異質(zhì)性時空場數(shù)據(jù)不同維度的透視[17]。相較于傳統(tǒng)的矩陣分析，基于張量分解的數(shù)據(jù)操作可以避免傳統(tǒng)方法中諸如數(shù)據(jù)向量化造成的維度災(zāi)難[18]。通過在張量框架下構(gòu)建異質(zhì)性時空場數(shù)據(jù)的數(shù)據(jù)操作算子，可降低由時空場數(shù)據(jù)特性差異導(dǎo)致的數(shù)據(jù)操作復(fù)雜性。

表1 基于張量的數(shù)據(jù)操作Table 1 Tensor-based data manipulation

以張量算子為基礎(chǔ)，構(gòu)建異質(zhì)性時空場組織管理和時空分析的流程如圖2所示。在數(shù)據(jù)組織方面，將觀測到的異質(zhì)性時空場數(shù)據(jù)，根據(jù)時空特征組織成高階張量的形式，依據(jù)不同異質(zhì)性時空場的類型，構(gòu)建出對應(yīng)類型的組織模型；在數(shù)據(jù)操作方面，將張量分塊、合并等操作貫穿于整個數(shù)據(jù)組織和分析過程中，通過算子定義的方式實現(xiàn)各類張量操作的函數(shù)化和算子化，以適應(yīng)不同類型時空場數(shù)據(jù)的操作；在數(shù)據(jù)分析方面，利用張量分解得到異質(zhì)性時空場數(shù)據(jù)沿經(jīng)度、緯度、時間的變化特征，利用張量積運算即可重構(gòu)出經(jīng)度與緯度、經(jīng)度與時間、緯度與時間上的特征分布。

圖2 數(shù)據(jù)模型構(gòu)建流程Fig.2 Data model building process

2 異質(zhì)性時空場數(shù)據(jù)模型設(shè)計與實現(xiàn)

由于異質(zhì)性時空場數(shù)據(jù)的張量表達(dá)在不同類型數(shù)據(jù)之間存在差異性，為簡化不同數(shù)據(jù)之間處理和操作的難度，利用面向?qū)ο笏枷胫械姆庋b、繼承與多態(tài)等特性進(jìn)行異質(zhì)性時空場數(shù)據(jù)模型的構(gòu)建。首先，由于異質(zhì)性時空場數(shù)據(jù)的結(jié)構(gòu)比較復(fù)雜，且涵蓋不同類型，需要根據(jù)規(guī)則化的數(shù)學(xué)描述對不同類型的異質(zhì)性時空場數(shù)據(jù)進(jìn)行完備的張量描述，其不僅能夠描述常規(guī)張量的特性，還應(yīng)包含一些典型的異質(zhì)性特征，以便后續(xù)在這個規(guī)范化的數(shù)學(xué)描述體系上架構(gòu)分析方法。再者，考慮到異質(zhì)性時空場數(shù)據(jù)的結(jié)構(gòu)特殊性，常規(guī)的張量分析方法無法直接應(yīng)用，一個可行的方法是利用算子構(gòu)建，將異質(zhì)性時空場數(shù)據(jù)盡可能地規(guī)則化，在此基礎(chǔ)上，考慮將其與常規(guī)張量分析方法相結(jié)合，構(gòu)建適用于異質(zhì)結(jié)構(gòu)張量的數(shù)據(jù)分析方法。本文定義了數(shù)據(jù)模型中的類、類中包含的屬性和操作以及不同類之間的邏輯關(guān)系，即異質(zhì)性時空場數(shù)據(jù)模型的UML(Unified Modeling Language)(圖3)。

圖3 異質(zhì)性時空場數(shù)據(jù)的UML圖Fig.3 UML diagram of heterogeneous spatial-temporal field data

該數(shù)據(jù)模型中，異質(zhì)性時空場數(shù)據(jù)模型通過基類TensorBase、文件操作類TensorIO、數(shù)據(jù)操作類TensorOP、數(shù)據(jù)分析類TensorAn與數(shù)據(jù)可視化類TensorVisual實現(xiàn)對時空場數(shù)據(jù)的傳輸、計算分析與可視化；繼承基類TensorBase，衍生出兩個子類，分別為維度非對稱張量類AsyTensor以及結(jié)構(gòu)異質(zhì)張量類HetTensor。其中，基類TensorBase通過眾多變量實現(xiàn)對異質(zhì)時空場的描述，并聚合TensorIO、TensorOP、TensorAn與TensorVisual類實現(xiàn)對異質(zhì)時空場的計算和分析，繼承基類的子類可以對方法進(jìn)行繼承或重寫，為不同數(shù)據(jù)類型提供統(tǒng)一的接口；文件操作類TensorIO包含數(shù)據(jù)的讀入與輸出;數(shù)據(jù)操作類TensorOP貫穿于整個數(shù)據(jù)模型的建立過程中，包含張量重構(gòu)、合并、連接等運算；數(shù)據(jù)分析類TensorAn定義了常用的特征提取方法，如張量Tucker分解、張量CP分解、主成分分析等，用于異質(zhì)性時空場規(guī)則化之后的特征提取。子類AsyTensor以及HetTensor分別用于存儲維度非對稱和結(jié)構(gòu)異質(zhì)時空場數(shù)據(jù)，其不僅繼承或重寫了基類TensorBase的屬性與方法，還包含具有自身特點的方法，如非對稱數(shù)據(jù)的維度拆分方法dimDivision( )以及結(jié)構(gòu)異質(zhì)數(shù)據(jù)的數(shù)據(jù)合并方法tensorCombine( )等。最后利用數(shù)據(jù)分析類TensorAn中定義的方法，完成對異質(zhì)性時空場數(shù)據(jù)的特征提取，并通過算子的重載以滿足不同類型張量分析的算法。具體實現(xiàn)流程(圖4)為：通過文件操作類TensorIO獲取數(shù)據(jù)，根據(jù)異質(zhì)性類型，通過調(diào)用對應(yīng)子類中的方法，將異質(zhì)性時空場組織成規(guī)則的張量，進(jìn)而通過TensorAn中定義的分析方法完成異質(zhì)性時空場的特征提取。

圖4 異質(zhì)性時空場數(shù)據(jù)分析步驟Fig.4 Steps for analysis of heterogeneous spatial-temporal field data

3 應(yīng)用案例

3.1 數(shù)據(jù)組織

基于C++語言建模與構(gòu)建分析系統(tǒng)，編寫基于張量的異質(zhì)性時空場數(shù)據(jù)模型以及相關(guān)操作方法，構(gòu)建系統(tǒng)底層API；GUI層基于Wxwidgets架構(gòu)，并利用VTK(Visualization Tool Kit)實現(xiàn)基于張量的異質(zhì)性時空場數(shù)據(jù)的可視化表達(dá)。為驗證本文提出的基于張量的異質(zhì)性數(shù)據(jù)模型的優(yōu)勢，選取NOAA(https://psl.noaa.gov/data/20thC-Rean/)發(fā)布的多氣候模型融合形成的氣象再分析氣候模式數(shù)據(jù)構(gòu)建驗證實驗。NOAA再分析數(shù)據(jù)只是數(shù)據(jù)本身，實驗分別對維度非對稱數(shù)據(jù)和異質(zhì)性數(shù)據(jù)進(jìn)行建模，其對應(yīng)數(shù)據(jù)模型中AsyTensor類和HetTensor類，并將基于張量的數(shù)據(jù)模型的分析方法與基于傳統(tǒng)時空數(shù)據(jù)模型的分析方法進(jìn)行對比。

3.2 異質(zhì)性時空場數(shù)據(jù)分析

面向典型的異質(zhì)性時空場數(shù)據(jù)，基于TensorIO讀取數(shù)據(jù)。依據(jù)輸入時空場的異質(zhì)性類型，將原始數(shù)據(jù)組織成對應(yīng)類型的子類張量，并調(diào)用子類中對應(yīng)的方法完成數(shù)據(jù)的規(guī)則化，進(jìn)而調(diào)用TensorAn中的方法完成特征提取，如張量CP分解tensorCP( )、張量Tucker分解tensorTucker( )等。

3.2.1 維度非對稱時空場數(shù)據(jù)分析 對于維度非對稱時空場數(shù)據(jù)，為便于構(gòu)建不同維度組合下的子空間，應(yīng)盡可能多選取數(shù)據(jù)集的維度數(shù)。本文選取包含經(jīng)度維、緯度維、高度維和時間維的四維數(shù)據(jù)集(空間分辨率為2°×2°)，并將其存儲為(經(jīng)度×緯度×高度×?xí)r間)時空場數(shù)據(jù)Air1∈R180×90×24×756，該數(shù)據(jù)空間與時間維度上數(shù)據(jù)長度差異較大，存在明顯的維度非對稱性。維度非對稱時空場數(shù)據(jù)的特征提取方法(算法1)實現(xiàn)流程為：首先將原始時空場數(shù)據(jù)按照不同維度組合進(jìn)行切片，然后計算切片數(shù)據(jù)的信息熵并進(jìn)行數(shù)據(jù)降維，得到不同維度組合下的子空間，應(yīng)用主成分分析等方法得到降維后各子空間數(shù)據(jù)的特征結(jié)果。

算法 1:維度非對稱時空場數(shù)據(jù)的特征提取方法

Input:Spatio-temporal field data (STField) with imbalanced dimensions,the dimensions that need to be analyzed.

Output:A series of features ofSTFieldfrom the dimensional perspectivesI,J...

1.slice=tensorSlice(STField,I,J…);//沿著給定的維度I,J…切割數(shù)據(jù)STField

2.entropy=getEntropy(slice);//計算切割后數(shù)據(jù)的信息熵

3.reduction=tensorReduction(STField,I,J…,entropy);//降低數(shù)據(jù)維度，使降維后數(shù)據(jù)只與給定的維度有關(guān)

4.feature=PCA(reduction);//對降維后數(shù)據(jù)應(yīng)用主成分分析

5.returnfeature;

為驗證本文維度非對稱數(shù)據(jù)模型的優(yōu)勢，將基于維度子空間組織的特征分解與直接基于原始數(shù)據(jù)的特征分解進(jìn)行對比。其中，Air_Tucker與Air_CP分別為直接對原始數(shù)據(jù)進(jìn)行張量Tucker分解與張量CP分解的結(jié)果，Air_PCwx為對基于維度子空間組織的張量分解結(jié)果。為驗證這些特征分量與厄爾尼諾南方濤動(ENSO)事件的對應(yīng)性，選取表征ENSO事件強度的MEI(Multivariate ENSO Index)分別與所提特征分量進(jìn)行對比，并計算對應(yīng)的相關(guān)系數(shù)。從特征曲線對比看(圖5)，本文方法提取的特征曲線在周期和走向上與MEI指數(shù)的對應(yīng)性較好，Air_PCwx、Air_Tucker和Air_CP與MEI的相關(guān)系數(shù)分別為0.697、0.259和0.137，表明本文方法可以更精確地解析ENSO信號。但CP分解在2001年以后，曲線走向與MEI相比發(fā)生明顯偏差；Tucker分解在1950-1965年之間，較MEI指數(shù)呈現(xiàn)出較大的偏差。

圖5 不同方法的分解結(jié)果對比Fig.5 Decomposition result comparison of different methods

3.2.2 結(jié)構(gòu)異質(zhì)時空場數(shù)據(jù)分析 對于結(jié)構(gòu)異質(zhì)時空場數(shù)據(jù)，為便于數(shù)據(jù)塊切割，從簡單的三維數(shù)據(jù)進(jìn)行嘗試。因此，選取的時空場數(shù)據(jù)集在高度上只取表層(空間分辨率為2.5°×2.5°)，并將數(shù)據(jù)集存儲為(經(jīng)度×緯度×?xí)r間)時空場數(shù)據(jù)Air2∈R144×73×365。由于該數(shù)據(jù)是多年平均數(shù)據(jù)，容易受全年不同時期的氣候事件影響，在時間上呈現(xiàn)出結(jié)構(gòu)異質(zhì)的特點。構(gòu)建結(jié)構(gòu)異質(zhì)時空場數(shù)據(jù)的特征提取方法(算法2)實現(xiàn)流程為：首先將原始數(shù)據(jù)切割為一系列的數(shù)據(jù)塊，并計算相鄰塊之間的相關(guān)系數(shù)，根據(jù)相關(guān)系數(shù)結(jié)果和給定的閾值，將數(shù)據(jù)塊進(jìn)行重組(圖6)。由于重組后數(shù)據(jù)塊的內(nèi)部結(jié)果相對一致，因此在每個重組數(shù)據(jù)塊上應(yīng)用張量分解可以很好地提取出該類數(shù)據(jù)的整體特征，同時也有助于消除由數(shù)據(jù)差異導(dǎo)致的估計偏差問題。

圖6 異質(zhì)性時空場數(shù)據(jù)組織Fig.6 Organization of heterogeneous spatial-temporal field data

算法2:結(jié)構(gòu)異質(zhì)時空場數(shù)據(jù)的特征提取方法

Input:Spatio-temporal field data (STField)with heterogeneous structure

Output:A series of features of the sub-tensor block ofSTField

1.block1,block2,block3,…,blockn=tensorDivide(STField);//將數(shù)據(jù)STField切割為一系列的塊

2.p1,2,p2,3,…,pn-1,n=similarity(block1,block2,block3,…,blockn);// 計算相鄰數(shù)據(jù)塊之間的相似性

3.subTensor1,…,subTensorn=tensorCombine(block1,block2,…,blockn,p1,2,p2,3,…,pn-1,n);// 根據(jù)相似性重組數(shù)據(jù)塊

4.int i=0;//對重組后的數(shù)據(jù)塊單獨應(yīng)用張量分解

5.whileiisthenumberofsubTensordo

6.feature=tuckerDecp(subTensori);

7.add feature tofeatrueList;

8.returnfeatrueList;

為驗證本文結(jié)構(gòu)異質(zhì)時空場數(shù)據(jù)模型的優(yōu)勢，將基于張量塊數(shù)據(jù)模型的張量分解(簡稱為局部分解)和直接基于原始數(shù)據(jù)的張量分解(簡稱為整體分解)結(jié)果進(jìn)行對比，并繪制這兩種分解結(jié)果在各維度上的相對誤差率如圖7所示。從誤差的整體比較看，局部分解結(jié)果在時空維度上的相對誤差率均小于全局分解的相對誤差率，說明基于所構(gòu)建的分塊數(shù)據(jù)模型的張量分解可以顯著提高異質(zhì)性變化顯著數(shù)據(jù)的特征估計的準(zhǔn)確性，且誤差分布更平穩(wěn)。

圖7 不同分解方法的相對誤差率對比Fig.7 Relative error rate comparison of different decomposition methods

從上述兩類典型的非規(guī)則時空場數(shù)據(jù)的分析流程看，相較于傳統(tǒng)張量分析，基于所構(gòu)建數(shù)據(jù)模型的時空分析方法在原始張量分解基礎(chǔ)上，增加了數(shù)據(jù)切片、分塊、合并等復(fù)雜度較低的數(shù)據(jù)操作，此類操作的計算復(fù)雜度相較于張量分解過程中所涉及的大型矩陣的計算復(fù)雜度幾乎可以忽略不計。從時間復(fù)雜度上看，對維度非對稱張量計算復(fù)雜度影響較大的主要是子空間劃分的規(guī)則和規(guī)模。僅就本文所使用數(shù)據(jù)的分析結(jié)果看，Air1數(shù)據(jù)的維度非對稱張量分解雖較傳統(tǒng)的張量分解耗時多2.01 s，但對ENSO等復(fù)雜信號的揭示更加精確。 而對異質(zhì)性時空場數(shù)據(jù)，其計算復(fù)雜度主要與數(shù)據(jù)分塊的模式(分塊數(shù)和分塊的大小)有關(guān)，其中數(shù)據(jù)分塊模式取決于數(shù)據(jù)的異質(zhì)性特征，即依賴于具體的數(shù)據(jù)。在本文設(shè)計中，分塊模式需要根據(jù)相似度計算函數(shù)和相似性閾值確定。僅就本文所使用數(shù)據(jù)的分析結(jié)果看，Air2數(shù)據(jù)的最佳分塊數(shù)是5，總的分塊及分解時間為2.27 s，整體分解時間為5.88 s。整體效率的提升是由于切割之后的張量數(shù)據(jù)塊更小，每塊在張量分解時耗時更短。因此，分塊張量分解不僅對原始數(shù)據(jù)逼近得更加精確，而且比傳統(tǒng)張量分解耗時少。

4 結(jié)語

本文針對現(xiàn)有張量分析在支撐異質(zhì)性時空場數(shù)據(jù)所面臨的特征估計偏差等問題，利用張量結(jié)構(gòu)對高維數(shù)據(jù)的支撐特性和張量算子的維度融合特性，從局部到整體的分析視角出發(fā)，建立了涵蓋張量子空間和張量塊結(jié)構(gòu)的異質(zhì)性時空場描述模型和操作算子。結(jié)合面向?qū)ο笏枷朐O(shè)計了不同類型的異質(zhì)性時空場數(shù)據(jù)類、類中包含的屬性和操作以及不同類之間的邏輯關(guān)系，構(gòu)建了異質(zhì)性時空場數(shù)據(jù)模型。基于氣象再分析實驗案例表明，該數(shù)據(jù)模型可有效支撐異質(zhì)性時空場數(shù)據(jù)的組織，而且在支撐時空場數(shù)據(jù)分析方面，比傳統(tǒng)張量方法的特征估計精度更高。

本文所提數(shù)據(jù)模型直接面向高維異質(zhì)時空場數(shù)據(jù)，為異質(zhì)性較強的時空統(tǒng)計方法的高維推廣提供了有利借鑒。在應(yīng)用支撐上、可為機器學(xué)習(xí)、關(guān)系推斷和微弱信號的提取和濾波，以及更精細(xì)數(shù)據(jù)的時空分區(qū)、耦合關(guān)系計算和作用機制的計算等領(lǐng)域提供方法借鑒。未來繼續(xù)突破的工作包括：1)數(shù)據(jù)的異質(zhì)性特征測度體系構(gòu)建；2)地理時空場異質(zhì)性類型的自動識別和分類；3)融合數(shù)據(jù)特征的異質(zhì)性時空場數(shù)據(jù)的自動分塊策略構(gòu)建。