談談兩類三角函數問題的解法

盧琳

三角函數是高中數學中的重要內容，其命題形式多樣，常見的有根據條件求三角函數的值、求最值、求角的大小、解答與圖象有關的問題、化簡三角函數式等.本文重點探討下列兩類三角函數問題及其解法.

一、根據條件求三角函數的值

根據條件求三角函數的值一般有兩種類型：①給值求值;②給角求值.在求三角函數的值時，要先明確已知條件，將其與所求目標關聯起來，辨析其差別，如角、函數名稱、冪之間的差異，靈活運用三角函數中的基本公式，如誘導公式、二倍角公式、兩角的和差公式、輔助角公式等，使問題中的角、函數名稱、冪逐步向目標式靠攏.同時，要盡量將題目中所涉及的角與特殊角30°、45°、60°、90° 等關聯起來，以便運用這些特殊角的三角函數值求得問題的答案.

例1 .已知 sin α+ sinβ=? ，cos α+ cosβ= ，試求 cos（α-β） ， tan（α+β）的值.

解析：首先看角，目標式中的角為α-β、α+β，則需用到和差化積公式;再看函數名稱，目標式中含有正切函數式，但已知關系式中卻含有正弦函數式、余弦函數式，因此需要運用 sin2θ+ cos2θ= 1、tan θ=? sin θ

解：∵ sin α+ sinβ= ①， cos α+ cosβ= ②，∴①2+ ②2得1+ 2cos α cosβ+ sin α sinβ+1 =? ，∴ cos（α-β）=- ，

∴2 sin2α+β cosα-β= 1③，

2 cos 2α+β cosα-β= 1④，

∵ cos α-β≠0 ，

∴將③÷ ④得tanα+β= 3

α+β

∴ tanα+β=? = ?.

二、求最值

三角函數中的最值問題一般要求根據所給的關系式，求某個三角函數式在定義域內的最值，或求某個角的最大、最小值.解答三角函數最值問題，往往要先根據已知條件，選擇合適的公式進行三角恒等變換，將目標式化簡為某一個角的三角函數式或者關于某個三角函數的二次函數式，這樣便可直接根據三角函數的有界性、單調性以及二次函數的單調性求得最值.

例2 .求函數 f x= cos2x + sinxcosx +1 的最大值.

解：

由于 x ∈ R，所以當2x+ =2kπ+ ，即 x =kπ+ （k ∈ Z）時，f xmax =? .

目標式中含有二次冪、正弦函數式、余弦函數式，因此需運用二倍角公式、輔助角公式將目標式化簡為正弦函數式，再根據正弦函數的有界性求得最值.

例3.已知 x ∈[- ， ]，求函數 y =4 sin2x -12 sinx-1的最值.

解：

該目標式中含有二次冪，因此需將sinx換元，將函數式轉化為關于t 的一元二次函數式，把問題看作復合函數的最值問題，分別在定義域內討論兩個函數?? t = sinx、y =4t2- 12t -1 的單調性，再根據“同增異減”的原則判斷出目標函數的單調性，便能根據函數的單調性和正弦函數的有界性求得最值.

可見，解答三角函數問題，需首先根據已知條件和所求目標選擇合適的公式，通過三角恒等變換對三角函數式進行化簡，使問題中的角、函數名稱、冪統一，然后再靈活運用三角函數的性質、圖象來解答.

（作者單位：江蘇省靖江市劉國鈞中學）