怎樣用向量法解答立體幾何問題

景艾

立體幾何是高考的重要考點，常見的命題形式有判斷空間中點、線、面的位置關系、求空間角的大小、求空間距離等.有些立體幾何問題采用常規方法求解較為復雜，此時我們可轉換解題的角度，將問題與向量關聯起來，運用向量法來解題.這樣便將問題轉化為向量坐標運算問題，借助向量知識即可順利解題.下面結合實例來談一談向量法在解答立體幾何問題中的應用.

一、判斷空間中線面之間的位置關系

空間中線面之間的位置關系包括直線在平面內、直線與平面相交（包括垂直）、直線與平面平行.運用向量法判斷空間中直線與平面的位置關系，需分別求出直線的方向向量與平面的法向量? .如果? =λ ，那么直線和面平行，當直線與平面有交點時，直線在平面內;如果? =0，那么直線和平面垂直.在求平面的法向量時，需先設出法向量為? =（x，y，z），在平面找到兩個向量、，根據直線與平面垂直的判斷定理可得? =0、? =0，求出的坐標.

例1.如圖1所示，已知 ABCD 是邊長為4 的正方形， O 是點 S 在平面 ABCD 內的射影， O 到 AB， AD 的距離分別為2 和1 .若 SO =3，點 P 為 SC 的中點，那么在棱SA 上是否存在一點 Q，使得 OP⊥BQ，若存在，求出AQ 的長度.

解：

在建立空間直角坐標系后，分別求得各個點、線段的坐標，便可假設在棱 SA 上有一點 Q，使 OP⊥ BQ，根據向量的共線定理，引入參數λ，便可建立關于λ的關系式，通過向量運算求得λ的值，即可確定 Q 點的坐標.

二、求空間角的大小

空間中的角包括異面直線之間所成的角、直線與平面所成的角、二面角.運用向量法求空間角的大小，主要是運用向量的夾角公式：cos<，>=| ? |在求空間角的大小時，要先分別求得各條直線的方向向量、平面的法向量.異面直線所成的角為兩條直線的方向向量的夾角或其補角;直線與平面所成的角的正弦值為直線的方向向量與法向量的余弦值;二面角為兩個半平面的法向量的夾角或其補角.

例2.如圖3 所示，矩形 ACEF 所在的平面與正方形 ABCD 互相垂直，AB =? ，AF =1，請問能否在線段 AC（不包括端點）上找到一點 P，使異面直線 PF 與 CB 所成的角為60°，求出此時 P 的位置.

解：矩形 ACEF 所在的平面與正方形 ABCD 互相垂直，則 CD⊥ CB，所以 CD⊥平面 ACEF，則 CD⊥ CE，

以 C 為原點，

解答本題，需先根據矩形的性質和面面垂直的性質定理，建立空間直角坐標系，求得各點的坐標以及向量 P F、C B，根據向量的夾角公式建立關系式，便可確定 P 點的位置.

三、求空間距離

空間距離包括點到平面的距離、異面直線之間的距離、直線與平面之間的距離、兩個平面之間的距離.空間距離都可以轉化為求點到平面的距離.點到平面的距離公式為 d = ，其中為平面的法向量、A B 為平面外一點 A 與平面內一點 B 連線的方向向量.

例3.如圖5所示，在四棱錐 P -ABCD 中，ABCD 是一個直角梯形，側面 PAD⊥底面ABCD，

解：由題意可知，在△PAD 中 PA =PD，O 為 AD 中點，所以 PO⊥AD

又側面 PAD⊥底面 ABCD ，平面 PAD ∩平面 ABCD =AD，PO?平面 PAD，

所以 PO ⊥平面 ABCD，

連接 CO，在直角梯形 ABCD 中，BC∥AD，AD =2AB =2BC，

則 OD ∥ BC 且 OD =BC，所以四邊形 OBCA 是平行四邊形，所以 OC ∥ AD，

以 O 為原點，以 OC， OD， OA 為 x， y， z 軸建立空間直角坐標系 O -xyz，如圖6 所示，可得 O0，0，0， A0，-1，0， B1，-1，0， D0，1，0， C1，0，0，P0，0，1，

所以 C P =-1，0，1，C D =1，-1，0，

假設當線段 AQ 上存在點 Q0，y，00≤ y ≤1，

且它與平面 PCD 的距離為那么 C Q =-1，y，0，

設平面 PCD 的法向量為? =x0，y0，z0，

由⊥ C P，⊥ C D 可得? =1， 1， 1，

所以 d =? Q = ，即? =? ，

解得y =- 或（不合題意，舍去），

因此 QD =3 .

建立空間直角坐標系的原則是三個坐標軸所在的直線相互垂直，因此在建立空間直角坐標系時需找到三條相互垂直的直線，并使其相交于一點.然后分別求得各個點的坐標，得到C Q 和平面 PCD 的法向量的坐標，再將其代入點到平面的距離公式進行計算.

雖然向量法在解答立體幾何問題中應用廣泛，但是該方法只適用于方便建立空間直角坐標系的立體幾何問題，只有在空間坐標系中才能方便求得各個點的坐標、直線的方向向量以及平面的法向量，這樣才能通過向量運算求得問題的答案.

（作者單位：甘肅省景泰縣第二中學）