“三招”破解導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)不可求問(wèn)題

葛松

在導(dǎo)數(shù)問(wèn)題中經(jīng)常會(huì)出現(xiàn)一類導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)不可求的問(wèn)題.此類問(wèn)題一般較為復(fù)雜，由于導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)不可求，我們很難根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，判斷出函數(shù)的單調(diào)性，求得函數(shù)的極值.當(dāng)零點(diǎn)不可求時(shí)，很多同學(xué)往往不知所措.下面，筆者介紹三個(gè)破解導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)不可求問(wèn)題的“妙招”.

一、多次求導(dǎo)

在導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)不可求出時(shí)，可對(duì)導(dǎo)函數(shù)再一次進(jìn)行求導(dǎo)，討論二階、三階導(dǎo)函數(shù)的解析式及其性質(zhì).在解題時(shí)，同學(xué)們要勇于嘗試，通過(guò)再次或多次求導(dǎo)，逐步判斷出函數(shù)的增減性，求得函數(shù)的最值，獲得問(wèn)題的答案.

例1 .已知函數(shù) f x=x（ex -1）-ax2，當(dāng) x ≥0時(shí)，f x≥0，求 a 的取值范圍.

解：

解答本題，一共進(jìn)行了三次求導(dǎo)，使得最后一階的導(dǎo)數(shù)變得簡(jiǎn)單，這樣便能夠用后一階導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)來(lái)判斷前一階函數(shù)的增減性，使問(wèn)題順利得解.

二、設(shè)而不求

當(dāng)導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)不可求時(shí)，也可以通過(guò)設(shè)而不求的方法來(lái)解題.先設(shè)出零點(diǎn)，將其看作已知的值，把函數(shù)的定義域劃分為幾個(gè)單調(diào)區(qū)間，在每個(gè)單調(diào)區(qū)間上討論函數(shù)的單調(diào)性，求得函數(shù)的極值、最值.

例2.

解：

本題中求導(dǎo)后的函數(shù)為超越式方程，其零點(diǎn)存在，但零點(diǎn)不可求，于是設(shè)出零點(diǎn)x0，并確定其范圍，然后根據(jù)導(dǎo)函數(shù)與函數(shù)單調(diào)性之間的關(guān)系確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，確定函數(shù)的最小值點(diǎn)為x0，建立關(guān)于x0 的不等式，即可求得 t 的最值.

三、采用放縮法

既然導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)不可求，我們不妨轉(zhuǎn)換解題的思路，不用導(dǎo)數(shù)法，而是運(yùn)用放縮法來(lái)解題.在解題時(shí)，可根據(jù)一些重要的不等式結(jié)論，如 ex ≥1 +x、lnx +1≤x、（1+x）n ≥1 +nx（n ≥1，n ∈ N）等來(lái)對(duì)函數(shù)式進(jìn)行合理放縮.一般在這些重要不等式取等號(hào)時(shí)，函數(shù)式取得最值.

例3 .

證明：

解答本題的關(guān)鍵是根據(jù)重要不等式ex ≥1 +x，將目標(biāo)不等式進(jìn)行放縮，然后運(yùn)用不等式的傳遞性證明結(jié)論.

雖然導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)不可求問(wèn)題很難處理，但是我們只要仔細(xì)研究導(dǎo)函數(shù)，對(duì)其進(jìn)行多次求導(dǎo)，設(shè)出零點(diǎn)，合理進(jìn)行代換;對(duì)函數(shù)式進(jìn)行合理放縮，就能順利解題.此類問(wèn)題的運(yùn)算量較大，同學(xué)們?cè)诮忸}的過(guò)程中要謹(jǐn)慎計(jì)算，避免出錯(cuò).

（作者單位：安徽省潁上第一中學(xué)）