合理引入待定系數，快速求得數列的通項公式

由遞推式求數列的通項公式問題通常較為復雜.要想順利求得數列的通項公式，需將遞推式進行合理的變形，將問題轉化為常規的等差、等比、常數列或易于求解的數列通項公式問題.待定系數法是解答此類問題的有效方法之一.運用待定系數求數列的通項公式，需根據遞推式的結構特征引入恰當的待定系數，設出與遞推式結構類似的式子，然后將其變形，通過對比系數建立關于待定系數的方程或方程組，求得待定系數的值，便能將遞推式轉化為等差、等比數列的通項公式，從而構造出等差、等比、常數列，再根據等差、等比數列的通項公式進行求解，即可順利求得數列的通項公式.

例1.已知數列an中，a1= 1， an+1 =3an +5 ?2n +4，求數列an的通項公式.

解：

由形如 an +1 =Aan +Bqn +1 + C 的遞推式求數列的通項公式，需靈活運用待定系數法.可先根據遞推式確定an 的系數 A，然后引入待定系數x、 y，設遞推式為 an +1 +x ?qn +1 +y =Aan +x ?qn +y，再將該式變形，使系數對應相等，構建關于x、 y 的方程組，通過解方程組求得x、 y 的值，就可構造等比數列，根據等比數列的通項公式求得數列的通項公式.對于本題，我們可引入待定系數α、β，構造出等比數列an +5×2n +2.

例2.已知數列an滿足 a1= 8， an+1 =3an +3n+1 +2，求數列an的通項公式.

解：

因此，數列an的通項公式為 an=n +2?3n - 1.

對于形如 an+1 =Aan +B ?An +1 + C 的遞推式，可運用待定系數法求數列的通項公式.在確定 A 的值后，需引入待定系數 x，設? =? +mm為常數，將其整理為與遞推式的結構一致的式子，比較其系數即可建立關于x 的方程，求得x 的值，就能構造出新就能順利求得數列的通項公式.

例3.在數列an中， a1= 8， an+1 =2an +4× 3n+1 +2n +1，求數列an的通項公式.

解：令 an +1 +α ?3n +1 +βn +1+γ =2（an + α?3n +βn +γ），整理得： an +1 =2an - α?3n +βn +γ -β，

則α =-4，β= 2，γ= 3，

所以an +1 -4× 3n +1 +2n +1+3 =2（an -4× 3n +2n+3），

則數列an -4×3n +2n +3為首項為1，公比為2 的等比數列，因此，數列an的通項公式為 an =4× 3n + 2n -1 -2n -3 .

運用待定系數法由形如 an +1 =Aan +Bqn +1 + C 的遞推式求數列的通項公式，往往需引入系數 x、 y、γ ，并設遞推式為 an +1 +x ?qn +1 +y n +1+γ =Aan +x ?qn +yn +γ，然后根據遞推式建立關于系數 x、 y、γ 的方程組，求得x、 y、γ 的值，構造出等比數列an +x ?qn +yn +γ，再根據等比數列的通項公式求解.

除了上述三種類型的遞推式，對于形如 an +2=? Aan+1 +Ban 、an+1 =Aan +B ?An +1 + Cn +D 的遞推式，也可采用待定系數法求數列的通項公式.在引入待定系數時，要先仔細觀察遞推式的結構特征，設出能構造出常規數列的式子，同時要引入盡量少的待定系數，這樣能減少運算量.

（作者單位：甘肅省隴南市成縣第一中學）