例析有關三角函數周期性問題的解法

師斌

周期性是三角函數的一個重要性質.一般地，函數 y = sin（ωx +φ），x ∈ R 及函數 y = cos（ωx +φ），x ∈ R （ A ，ω， φ為常數，且 A≠0，ω>0）的周期為 T =? ;函數 y =tan（ωx +φ）， x ≠ kπ+? ，k ∈Z （ A，ω，φ為常數，且 A ≠0，ω>0）的周期為 T =? .有關三角函數周期性的問題主要有兩種命題形式：求三角函數的周期和判斷三角函數是否為周期函數.這兩類問題最后都會歸結為求三角函數的周期.求三角函數的周期，通常需先利用三角函數中的基本公式將三角函數化簡，然后根據函數周期的定義以及三角函數的周期公式來求解.下面結合實例來說明.

例1.已知 n， α為任意實數，求三角函數sin（nx +α）的周期.

解：

解答本題主要運用正弦函數的周期性以及函數周期的定義：若 f（x）=f（x +a），則 f（x）的周期為 T =a .明確了正弦函數的最小正周期為2π后，便可利用此性質對目標三角函數式進行變形、整理，得到sin（nx +α）= sin[n（x+ ）+α]，求出三角函數的周期.

例2.函數 f（x）=sinx -4 sin3 cos 的最小正周期為______.

解：f（x）= sinx -2 sin2 sinx = sinxcosx = sin2x，所以函數的最小正周期 T =π .

在求三角函數的周期時，同學們要首先明確正弦、余弦、正切函數的周期性，即sin（x +2kπ）= sinx （k ∈Z）; cos（x +2kπ）= cosx（k ∈ Z）; tan（x +kπ）=tanx （k ∈ Z）;再根???? 據正弦、余弦函數的周期公式 T =? ，或正切函數的周期公式 T = 進行求解.

例3.求函數 y = sin 3x + sin4x 的周期.

解：設函數fx= sin 3x，gx= sin4x，令函數fx， g（x）周期分別為 T1， T2則 T1= 2π T2= π

故函數 y = sin 3x + sin4x 的周期為2π.

該目標函數式為兩個正弦函數的和，需分別運用正弦函數的周期公式求得兩個正弦函數的周期，然后取其周期分子的最小公倍數以及分母的最大公約數，即可得到目標函數式的周期.

例4.證明：函數 y = sin 不是周期函數.

分析：本題從正面求解較為困難，需從反面入手，運用反證法進行證明.首先假設函數為周期函數，分別求得當x =0和x = T 時的函數值，證明所得的結果與假設相矛盾，從而證明該函數不是周期函數.

證明：由y = sin 可知函數的定義域為[0，+∞） ， 假設函數 y = sin 存在周期 T，

則sin = sin 對于一切 x ≥0恒成立，令 x =0 ，則 sin? =0，所以? =kπk ∈ N①，令 x = T ，則 sin? = sin? = sinkπ=0，

則? =nπn ∈ N②，

將② ÷①得? =? =? ，即? =? ，

由于為無理數，這與n，x∈ N 相矛盾，

故假設不成立，所以函數 y = sin 不是周期函數.

有關三角函數周期性的問題經常出現在各類試題中，且三角函數的周期性是求解三角函數問題的重要依據.因此，同學們在日常學習中，要熟練掌握三角函數周期性，熟悉有關三角函數周期性的題目，靈活運用周期的定義以及三角函數的周期性來解題.

（作者單位：新疆哈密市第十五中學）