解答與圓有關的定點問題的兩個措施

孫昌盛

在解析幾何試題中常常會出現與圓有關的定點問題.此類問題一般會涉及動點或者變量，難度通常較大.解答此類問題，往往要深入挖掘圖形的幾何特征，靈活運用平面幾何的知識，將動點或變量轉化為確定的點的坐標或數值.下面詳細介紹兩個解答與圓有關的定點問題的“措施”.

一、利用圓系方程

若圓 C1：f1（x，y）=0和圓 C2：f2（x，y）=0相交，那么 f1（x，y）+λf2（x，y）=0表示過兩個圓交點的動圓.相反，若一個圓能夠表示為上述形式，那么這個圓必定過兩圓的交點.若問題中涉及兩個圓的交點，就可根據兩個圓的方程建立圓系方程，通過解方程組求得定點的坐標.

例1 .已知圓 O 的方程為 x2+y2= 1，它與 x 軸交于 P，Q 兩點，M 是圓 O 上異于 P，Q 的任意一點，過點 A（3，0）的直線l2與 x 軸垂直，且與直線 PM，QM 交于 P，Q 兩點，求證：以 PQ 為直徑的圓 C 總過定點，并求出該定點的坐標.

證明：令y =0，由 x2+y2= 1可得 x =±1，即P（- 1，0）， Q（1，0）.

又直線 l2過點 A 且與 x 軸垂直，所以直線l2的方程為 x =3，

設 M（s，t），所以直線 PM 的方程為 y = （x +1）. 由?（ì）y（x）? （x +1）， 得 P′（3，） ，同理可得：

Q′（3，），

所以以 P′Q′為直徑的圓 C′的方程為（x -3）x -3+è（?）y - ?（?）è（?）y - ?（?）=0，

又 s2+t2= 1，則（x2+y2- 6x +1）+? y =0，

若圓 C′經過定點，則 y =0，由 x2- 6x+1 =0得 x =3 ±2? ，

所以圓C′總經過定點（3±2? ， 0）.

通分析題目可知，以 P′Q′為直徑的圓 C 是動圓，且與圓 O 相交，于是將動圓的方程改寫為圓系方程，進而求出定點的坐標.

二、運用恒等式的性質

一些幾何對象的測度或比值在動態變化的過程中始終保持不變.要求得定點的坐標，我們需挖掘出這些幾何對象的測度或比值，建立恒等式，利用恒等式的性質來解題.在解題時，可先通過分析與動點、變量相關的因素，引入合適的參數，建立關系式，從而將問題轉化為等式恒成立的問題，通過代數運算求得問題的答案.

例2 .已知圓 M 的方程為 x2+（y -2）2= 1，點 P 在直線 l： x -2y =0上，過點 P 作圓 M 的切線 PA，PB，切點為 A，B .證明：經過 A，P，M 三點的圓必過定點，并求出定點的坐標.

證明：

由于點 P 在直線 l 上運動，因此引入參數x0，設出點 P 的坐標 （x0， x0），并用該參數來表示經過 A、 P、 M 三點的圓，由于定點與點 P 的位置無關，所以將圓的方程整理為關于x0的恒等式，根據 x0有無數個取值，建立方程，求出定點的坐標.

解答與圓有關的定點問題，需明確定點與哪些變量、動態的因式有關，然后構建圓系方程，合理引入參數，建立與定點相關的關系式，求得問題的答案.

（作者單位：江蘇省鹽城市大岡中學）