求函數(shù)解析式的三種途徑

黃靚

求函數(shù)解析式的途徑有很多種，如引入待定系數(shù)法、賦值、采用解方程組法、換元、配方等.一般需根據(jù)已知的關(guān)系式、函數(shù)的性質(zhì)來選擇合適的途徑進行求解.本文重點談一談三種求函數(shù)解析式的途徑.

一、引入待定系數(shù)

當(dāng)已知函數(shù)的類型時，我們可直接引入待定系數(shù)，采用待定系數(shù)法求解.設(shè)出相應(yīng)的函數(shù)解析式，如設(shè)對數(shù)函數(shù)的解析式為 y =logax;設(shè)冪函數(shù)的解析式為 y =ax ;設(shè)二次函數(shù)的解析式為 y =ax2+bx+c;等等.然后將已知的信息，如點的坐標(biāo)、關(guān)系式等代入函數(shù)和解析式中，求得待定系數(shù)的值，即可得到函數(shù)的解析式.

例1.

解：

因此，函數(shù) f x的解析式為 f x=2x2-x +3 .

由已知的函數(shù)關(guān)系式可以確定函數(shù) f x是一個二次函數(shù)，于是引入待定系數(shù)a、 b、 c，設(shè)出函數(shù)的解析式，建立關(guān)于a、 b、 c 的關(guān)系式，便能利用待定系數(shù)法求得函數(shù)的解析式.

二、賦值

若已知關(guān)系式中含有多個變量，或沒有明確的關(guān)系式，可采用賦值法來逐步確定函數(shù)的性質(zhì)，以明確函數(shù)的解析式.在賦值時，要根據(jù)已知式子的特點選取滿足題意的值，將其代入題目中進行求解.一般選取較為簡單的值，如1、-1、0、-x、，這樣便于簡化運算.

例2.設(shè) f（x）是定義域為R 的周期函數(shù)，最小正周期為 2，且 f（1+x）=f（1-x），當(dāng) -1≤ x ≤0時， f（x）=-x .求函數(shù) f（x）在R上的解析式.

解：

解答本題，需多次賦值.先分別令x =x+1、 x +2，根據(jù)函數(shù)的周期性和 f（1+x）=f（1-x）判斷出函數(shù)的奇偶性，然后令x =-x，根據(jù)-1≤ x ≤0時的表達式以及函數(shù)的單調(diào)性求得函數(shù)的解析式.

三、采用解方程組法

若已知條件中同時出現(xiàn)fφx和fδx，且存在關(guān)系δx=? 或δ x=φx，就可以運用解方程組法來求函數(shù)的解析式.第一步是換元，即令t =φx，解出 x =φ-1x，并將其中的 x 替換成或者-t，建立方程組;第二步是解方程組，將方程組中的fè（?） ?（?）或者 f -t消去，得出 f t的解析式;最后一步是用 x 將 f t中的 t 替換，即可得到函數(shù) f x的解析式.

例3.已知 f x-2fè（?） ?（?）=3x +2，求函數(shù) f x的解析式.

解：

因此，函數(shù) f x的解析式為 f x=-x -? -2 .

解方程組法主要是利用換元法建立關(guān)于 f x的方程組，通過解方程組來求得函數(shù)的解析式.

總之，在求函數(shù)的解析式時，同學(xué)們要明確問題的本質(zhì)和類型，選擇與之相應(yīng)的途徑進行求解.有時，在解同一道題目時，可靈活運用兩種或者兩種以上的方法，這樣有利于提升解題的效率.

（作者單位：江蘇省啟東市匯龍中學(xué)）