基于響應面模型的螺旋迷宮泵結構優化*

戎 欣 朱宏武

(中國石油大學(北京) 機械與儲運工程學院)

0 引言

螺旋迷宮泵與其他小流量泵相比，具有增壓性能好，對含砂、含氣等介質不敏感等優點，并且在黏性介質的運輸中，螺旋迷宮泵的性能與介質黏度呈正相關，因此可用于石油化工、制藥、冶金、電力等行業中。由于目前已知結構的迷宮泵效率非常低，限制了其發展，許多學者研究了迷宮泵在輸送含氣、高黏性等介質方面的優勢，但在螺旋迷宮泵的結構優化方面的研究卻很少[1－3]。

泵結構的優化常通過試驗設計方法得到數據樣本，通過優化模型和優化算法對輸入參數與輸出參數之間的函數關系進行估計，并尋求最優控制參數組合。在水力優化過程中，仍然借助設計經驗進行優化，優化結果往往不能達到理想化。相較于上述模型，響應面的本質是用數據代替模型，根據試驗設計所獲得的樣本點來估計整個設計空間的變化規律，并將輸入與輸出之間的函數關系用圖形表達出來。響應面為輸出參數提供了估計值，只需要通過響應面就可以得到輸出函數值，而不需要對原始模型進行運算，因此可以節省大量計算時間。張德勝等[4]以氟塑料兩相流離心泵為研究對象，以葉輪的主要幾何參數為優化參數對泵進行結構優化，達到了提高氟塑料兩相流離心泵的效率及降低磨損率的目的。高瑜等[5]根據結構參數對目標函數的影響程度確定優化參數后，以泵的效率、軸功率和揚程為優化目標，構造了結構參數與目標函數之間優化模型，并分析了結構參數之間的交互作用。

螺旋迷宮泵的結構極其復雜，轉子和定子都有不同的結構參數，并且在流體域的設置中，還會涉及到動靜交界面的處理問題，致使目標函數和優化參數之間的關系很難顯式表達，而且有的優化參數并不連續(如定、轉子螺紋頭數要根據實際工程進行取整)，傳統的梯度優化方法對本研究并不適用。為此，本文采用響應面技術，以矩形螺旋迷宮泵主體部分的流體域為研究對象，對定子和轉子的結構參數進行優化，以提高螺旋迷宮泵的效率和揚程為目標尋找最佳的結構參數組合。

1 螺旋迷宮泵流體域定常計算

1.1 模型及其參數

螺旋迷宮泵的主要增壓部件是1 對具有相反螺紋的轉子和定子，且轉子與定子之間留有0.2～0.4 mm 的徑向間隙，工作時轉子的旋轉方向與其自身螺紋方向相反。螺旋迷宮泵的螺旋槽很淺，流體在流動過程中會在定轉子螺槽內產生橫向或縱向的渦流，因此該泵主要依靠螺槽內的渦旋來實現定轉子之間流體的動量傳遞[6]。

選取矩形螺旋迷宮泵為研究對象，該泵的設計參數如下:流量Q＝100 m3/h，揚程H＝17 m，轉速n ＝3 000 r/min。轉子及定子的幾何參數如表1所示。圖1 為定轉子主要幾何參數的示意圖。

表1 模型泵幾何參數Table 1 Geometric parameters of the model pump

圖1 定轉子尺寸參數說明圖Fig.1 Size parameters of stator and rotor

1.2 網格劃分及網格無關性驗證

采用UG 軟件對迷宮泵的進出口段、轉子及定子進行三維造型，為使湍流在管內得到充分發展，將進出口段延長至管徑的5 倍。為了對定轉子間隙處的網格進行加密，將contact region 處的relevance設置為最大值100。圖2 為定轉子部分的網格剖面圖。為確定合適的網格數，對計算域進行了網格無關性驗證，結果如圖3 所示。

圖2 定轉子流體域計算模型及部分網格剖面圖Fig.2 Model of stator and rotor fluid domain and its partial grid section

由于螺旋迷宮泵結構特殊，泵的揚程和效率與定轉子間隙的大小有很大關系，網格越細越能捕捉到定轉子間隙對泵性能的影響，所以當網格數增加時，模型泵的揚程和效率都會出現波動。由圖3 可以看出，當網格總數為5 198 481 時，泵的揚程和效率趨于穩定。此時，進口段、出口段、轉子以及定子的網格數分別為514 273、518 554、2 501 373和1 664 281。

圖3 網格無關性驗證Fig.3 Grid independence verification

1.3 控制方程和邊界條件

采用流量入口和靜壓出口，流體在壁面處的流動均為無滑移模式。由于定子與轉子、進出口之間均存在交互作用，且定子和轉子的頭數較多，所以不能設置為周期性交界面。轉子域設置為旋轉參考系，定子域設置為固定域。采用普通連接(General Connection) 中的GGI 方法實現各個計算域之間的數據耦合。這種方法可以在交界面處建立穩妥、穩定的連接，盡管交界面兩側的網格節點不一致。轉子域和進口段、出口段、定子域之間的連接選擇凍結轉子法(Froze Rotor)，該方法可以在參考坐標系變化時不考慮交界面上的瞬態影響，以減小計算量，節約計算成本。

1.4 試驗驗證

為驗證數值模擬方法的正確性，將計算結果與江蘇大學的矩形螺旋迷宮泵的試驗數據進行對比[2]。介質為水，常溫。圖4 為螺旋迷宮泵的試驗結果與模擬結果對比圖。由圖4 可以看出，數值計算結果與試驗數據比較接近，經計算，揚程和效率的誤差均控制在5%以內，這表明該數值計算方法可靠，即可通過數值模擬對螺旋迷宮泵的性能進行預測。

圖4 試驗結果與模擬結果對比圖Fig.4 Comparison between test results and simulation results

2 結構優化設計方法

2.1 優化目標

將迷宮泵揚程H、轉軸輸入功率Pz和效率η作為優化目標，計算公式為[7]:

式中:po和pi分別為出口和進口處的總壓，Pa；zo和zi分別為出口和進口處的高度，m；Pz為軸功率，W；T 為輸入扭矩，N·m；Q為體積流量，m3/s；ρ為輸送介質的密度，kg/m3；g為重力加速度，m/s2。

2.2 優化方案

響應面是根據數據組構造出輸入與輸出參數的近似估計模型。具體過程如下:首先在UG 中對螺旋迷宮泵建立參數化三維模型，通過ANSYS Workbench 的參數化功能對模型泵的結構參數進行識別并控制，并在流體計算模塊中設置需要輸出的目標函數，建立結構參數與目標函數的對應關系。采用優化空間填充設計(Optimal Space-Filling Design，OSFD) 確定所需試驗點，在響應面模塊下對試驗點進行逐一計算，并根據獲得的試驗數據，在響應面優化模塊中擬合出結構參數與效率和揚程之間的數學模型，即以響應面為基礎的優化模型。在此基礎上，利用多目標遺傳優化算法對這一模型進行計算，從而得到符合要求的一系列解，并根據實際工程需要選取其中一個解作為最終的結構優化尺寸[8－10]。

2.2.1 確定優化參數

由于轉子和定子的結構一共涉及到16 個結構設計參數，且各個參數之間具有交互作用。首先根據模型尺寸之間的關聯性將設計參數簡化。為保證螺旋角不變，設置定子內徑dns與定子導程ss的比值為k1，轉子外徑dnr與轉子導程sr的比值為k2，轉子齒深tr與定子齒深ts的比值為k3。表2 為簡化后的結構設計參數及其取值范圍。

表2 設計參數及其取值范圍Table 2 Design parameters and value range

為排除對螺旋迷宮泵的外特性影響較小的參數，對參數進行靈敏度分析來選擇需要優化的設計參數。本文采用ANSYS Workbench 的Parameters Correlation 模塊來獲得各設計參數對優化目標的靈敏度分布。該模塊采用Spearman Correlation Coefficient 法來進行參數靈敏度分析。這種方法可以用來衡量變量之間聯系的強弱。絕對值越大表示輸入參數對輸出參數的影響越大，數值為正時表示輸出參數與輸入參數呈正相關。該方法的相關性系數定義如式(4) 所示[11－12]。

式中:Ri和Si分別為觀測值i的取值等級，R～和S～分別為變量x和變量y的平均等級，N是觀測值的總數量，di ＝Ri－ Si表示二列成對變量的等級差數。

圖5 為各設計參數對迷宮泵揚程和效率的靈敏度分析結果。由圖5 可以看出，定子齒深對該泵的揚程和效率最靈敏，而螺旋體長度對效率的靈敏度非常低，僅為－0.012，因此可以忽略螺旋體長度對螺旋迷宮泵效率的影響。定子外徑對模型泵的效率和揚程的靈敏度都比較低，僅為－0.021 和0.019。考慮到本研究側重提高模型泵的效率，因此在后續優化過程中將定子外徑和螺旋體長度取為定值(定子外徑取初始值88.8 mm，螺旋體長度為初始值160 mm)，不再參與優化過程，以縮短優化計算時間。

圖5 設計參數對迷宮泵揚程和效率的靈敏度分析結果Fig.5 Analysis on sensitivity of design parameters to the head and efficiency of the labyrinth screw pump

2.2.2 設計樣本空間

影響響應面模型的精度有以下因素:樣本點的數量和位置以及響應面的類型。因此在響應面的構建過程中樣本點的選擇很關鍵。生成樣本點的方法有很多種，最常見的抽樣方法是拉丁超立方設計(Latin Hypercube Sampling Design，LHSD)，而優化空間填充設計 (Optimal Space-Filling Design，OSFD) 在拉丁超立方設計上進行了優化，具有比LHSD 更強的空間填充能力，適合生成更復雜的響應面。因此本文采用OSFD 來生成樣本點[13]。

基于9 個輸入參數，OSFD 生成了283 個數值試驗。設計空間中的試驗點分布及計算結果如表3所示。

表3 試驗點分布及計算結果Table 3 Distribution of sample points and calculation results

2.2.3 響應面分析

數值試驗的結果用于生成響應面。在本文中響應變量有3 個，分別是泵的增壓、效率和軸功率。

本案例的輸入參數之間存在著高度非線性關系，因此選擇神經網絡型響應面進行建模。該方法的突出優點是魯棒性和自適應性，當輸入參數過多或者響應存在噪聲時，可以自動根據樣本抽取對問題求解有用的特征，以此來得到較好的結果。響應面可以看出不同輸入參數的組合對目標函數的效果，并根據響應面確定優化結果的取值范圍[14]。由于本研究的輸入參數過多，故以定子齒深、轉子頭數和k3之間的交互作用對模型泵揚程的影響為例進行分析，結果如圖6 所示。

圖6 交互作用對螺旋迷宮泵揚程和效率影響的響應面Fig.6 Response surfaces of effect of interaction on the head and efficiency of the labyrinth screw pump

在參數的選取上，定子頭數和轉子頭數需要按照工程條件取整，因此在涉及到螺紋頭數的響應面都是不連續的。由圖6a 和圖6d 可以看出，ts、k3越大，H越大，但對于η，無論k3如何變化，η都隨著ts先增大后減小，因此k3的取值在1.0～1.5的范圍比較合適，ts取值在2～5 范圍比較合適。由圖6b 和圖6e 可以看出，當zr在3～10 范圍時，H隨著ts增大而增大，當轉子頭數大于10 時，H值表現為先增大后減小，而η的變化趨勢始終是先增大后減小，且轉子頭數小于10 時效率較大，因此zr在3～10 范圍內比較合適。分析圖6c 和圖6f 可以得出相同的結論。

2.2.4 優化結果分析

在得到多目標遺傳算法優化的最優解集后，需要找出盡可能多的符合優化條件的最優解。表4 為效率大于40%的解集中3 個最優化方案的對比。

從表4 可以看出，3 種方案對泵的效率和揚程都有很大提升。綜合考慮揚程和效率，選擇方案1作為優化結果。表5 為優化前、后的螺旋迷宮泵的具體結構參數對比。

表4 優化設計方案對比Table 4 Comparison of optimized design schemes

表5 優化前、后模型泵的結構參數對比Table 5 Structural parameters of the model pump before and after optimization

對優化后得到的設計參數進行三維建模與數值計算。由于定轉子間隙發生了變化，需要重新進行網格無關性驗證。前處理中的邊界設計條件不變。表6 為優化前、后最佳工況點處的目標值對比。由表6 可以看出:相較于原模型，優化后模型泵的揚程為38.85 m，提升了76.67%；效率為48.15%，提升了90.06%。

表6 優化前、后最佳工況點處目標值的對比Table 6 Target values at the optimal operating point before and after optimization

圖8 為模型泵優化前、后效率與增壓曲線對比。由圖8 可以看出，在流量為6～8 m3/h 時，效率增長率呈上升趨勢，并在靠近7 m3/h 工況處達到最大。優化后揚程和效率均明顯高于原模型，螺旋迷宮泵的泵送性能得到明顯改善，證明本優化結果可信。

圖8 優化模型與原始模型性能對比Fig.8 Performance comparison between the optimized model and the original model

3 結論

(1) 基于響應曲面法得到的泵性能參數的數學模型計算結果與試驗結果相近，因此，基于響應曲面法的螺旋迷宮泵優化設計方法可靠。

(2) 優化后，各流量工況下螺旋迷宮泵的效率和揚程均得到顯著提升，額定工況下的優化模型效率為48.15%，揚程為38.85 m，相較于原模型，效率提升了90.06%，揚程提升了76.67%。

(3) 曲面響應法能夠真實反映螺旋迷宮泵主要結構的設計變量與優化目標之間的高度非線性關系及交互性影響，為螺旋迷宮泵的增壓性能和效率的控制提供了直觀、高效且可靠的優化分析方法。