基于累積前景理論和VIKOR的畢達(dá)哥拉斯猶豫模糊風(fēng)險(xiǎn)型多屬性決策方法

常 娟, 杜迎雪, 劉衛(wèi)鋒

(鄭州航空工業(yè)管理學(xué)院 數(shù)學(xué)學(xué)院,河南 鄭州 450046)

0 引言

在實(shí)際生活中經(jīng)常會(huì)遇到風(fēng)險(xiǎn)型多屬性決策問(wèn)題，例如：項(xiàng)目投資、方案評(píng)估、選址問(wèn)題等。其特點(diǎn)是決策時(shí)面臨多種自然狀態(tài)，各狀態(tài)發(fā)生的概率可預(yù)估，不同狀態(tài)下的屬性值不同。近些年來(lái)，風(fēng)險(xiǎn)型多屬性決策已成為決策理論的重要組成部分，在期望效用理論基礎(chǔ)上，取得了較多的研究成果[1～3]。考慮到在實(shí)際問(wèn)題中，決策者往往是有限理性的，在決策行為上并非總是追求效用最大，往往選擇最符合自己意愿的方案。為此，Kahneman和Tversky相繼提出前景理論(PT)和累積前景理論(CPT)用于不確定和風(fēng)險(xiǎn)條件下的決策分析。目前，PT已廣泛用于多種模糊信息的風(fēng)險(xiǎn)型多屬性決策問(wèn)題。其中，江文奇[4]結(jié)合PT針對(duì)混合風(fēng)險(xiǎn)型決策問(wèn)題提出擴(kuò)展VIKOR的決策方法；王霞[5]針對(duì)區(qū)間灰數(shù)風(fēng)險(xiǎn)型動(dòng)態(tài)多屬性決策問(wèn)題，結(jié)合PT給出一種動(dòng)態(tài)多屬性決策方法；孫慧芳等[6]則提出一種基于多參考點(diǎn)PT的灰靶決策方法用于三參數(shù)區(qū)間灰數(shù)的風(fēng)險(xiǎn)型多階段多屬性決策問(wèn)題；耿秀麗等[7]提出一種結(jié)合CPT和概率語(yǔ)言COPRAS的應(yīng)急決策方法；趙輝等[8]則在猶豫模糊環(huán)境下，多角度構(gòu)建優(yōu)化模型確定屬性權(quán)重，進(jìn)而在前景價(jià)值矩陣基礎(chǔ)上利用VIKOR法進(jìn)行方案排序。以上成果均為有效處理不同模糊類型風(fēng)險(xiǎn)型多屬性決策問(wèn)題提供較好的思路與方法。但是，隨著經(jīng)濟(jì)社會(huì)復(fù)雜多變，模糊決策情景也日益復(fù)雜，多種新形式的模糊數(shù)相繼被提出。

作為直覺(jué)模糊集(IFS)的重要推廣，畢達(dá)哥拉斯模糊集(PFS)[9,10]兼顧IFS的優(yōu)勢(shì)，且將隸屬度和非隸屬范圍拓展了1.57倍，從而應(yīng)用更為廣泛。近年來(lái)，PFS已成為研究熱點(diǎn)，在決策理論和方法方面涌現(xiàn)出大量研究成果。例如，Zhang等[11]給出PFS的具體定義，并定義畢達(dá)哥拉斯模糊數(shù)(PFN)的運(yùn)算和距離、相似度等基本理論；隨后，曾守楨等[12]提出畢達(dá)哥拉斯模糊集的混合加權(quán)距離測(cè)度；Wan等[13]定義PFN新的序關(guān)系和知識(shí)測(cè)度等概念，并用于群決策。此外，畢達(dá)哥拉斯模糊還原性BM算子[14]、Heronian算子[15]、以及基于PT的畢達(dá)哥拉斯模糊有序加權(quán)距離TOPSIS法[16]相繼被提出，并用于決策問(wèn)題。雖然，畢達(dá)哥拉斯模糊集的相關(guān)理論和研究已趨成熟。但是，當(dāng)評(píng)估信息出現(xiàn)多樣化或決策意見(jiàn)難以一致時(shí)，PFN就無(wú)法刻畫(huà)這一狀況。為此，劉衛(wèi)鋒等[17]將對(duì)偶猶豫模糊集[18]進(jìn)行推廣，提出畢達(dá)哥拉斯猶豫模糊集(PHFS)。PHFS既能描述決策者評(píng)估時(shí)的優(yōu)柔寡斷和評(píng)估意見(jiàn)難以達(dá)成一致的狀況，又?jǐn)U充隸屬度、非隸屬度的范圍，因此在決策問(wèn)題中有重要的應(yīng)用價(jià)值。近幾年來(lái)，關(guān)于PHFS的研究也取得了一些進(jìn)展。例如，劉衛(wèi)鋒等[17,19]提出畢達(dá)哥拉斯猶豫模糊數(shù)(PHFN)，并研究其運(yùn)算、集成算子、廣義混合加權(quán)距離測(cè)度等；Wei等[20,21]提出畢達(dá)哥拉斯猶豫模糊Hamy平均算子和Bonferroni平均算子；文獻(xiàn)[22～24]分別將TODIM法、TOSIS法和VIKOR法拓展至畢達(dá)哥拉斯猶豫環(huán)境。可見(jiàn)，目前關(guān)于PHFS的研究成果尚不豐富，特別地，上述研究鮮有涉及風(fēng)險(xiǎn)型多屬性決策模型，且未考慮決策者的有限理性行為。

綜上，受文獻(xiàn)[4,8]啟發(fā)，本文針對(duì)屬性權(quán)重未知、且屬性值為PHFN的風(fēng)險(xiǎn)型多屬性決策問(wèn)題，鑒于決策者的有限理性行為，提出基于CPT的VIKOR決策方法。首先，通過(guò)定義PHFN的分散率構(gòu)建優(yōu)化模型確定屬性權(quán)重；其次，借鑒CPT的思想，以中位點(diǎn)為參考點(diǎn)，計(jì)算各狀態(tài)下各方案的價(jià)值函數(shù)，構(gòu)建綜合前景值矩陣；進(jìn)而在此基礎(chǔ)上，結(jié)合VIKOR法得到各方案的綜合效用值、個(gè)體遺憾值和折衷值，從而確定方案排序。最后，通過(guò)算例以及不同方法的對(duì)比來(lái)說(shuō)明所提方法的合理性、可行性。

1 相關(guān)概念

定義2[18]設(shè)論域X，稱Q={|x∈X}為X上的對(duì)偶猶豫模糊集(DHFS)。 其中ΓQ(x)，ΨQ(x)為[0,1]的非空有限子集，分別表示x關(guān)于集合Q的若干個(gè)可能隸屬度和非隸屬度構(gòu)成的集合，且對(duì)?x∈X,?μQ(x)∈ΓQ(x),?vQ(x)∈ΨQ(x),均有μQ(x)+vQ(x)≤1。

稱為畢達(dá)哥拉斯猶豫模糊數(shù)(PHFN)，為簡(jiǎn)便起見(jiàn)，可記為，全體畢達(dá)哥拉斯猶豫模糊數(shù)的集合記為Ω。

為比較PHFN的大小，文獻(xiàn)[17]和[20]分別定義PHFN的得分函數(shù)和精確函數(shù)。

定義4[17,20]設(shè)α=∈Ω，|Uα|和|Vα|分別表示集合Uα和Vα的基數(shù)，則稱

設(shè)α=,β=∈Ω，則

(1)若sα>sβ，則α>β；

(2)若sα=sβ，則(a)若pα>pβ，則α>β；(b)若pα=pβ，則α～β。

為計(jì)算PHFNα,β的距離，需要α,β的隸屬度集合和非隸屬度集合具有相同的基數(shù)。為此，Liang等[23]針對(duì)PHFNs提出根據(jù)決策者偏好對(duì)基數(shù)小的集合添加多個(gè)補(bǔ)充元素的方法，首先，定義補(bǔ)充隸屬度和非隸屬度。

ξ=0.5時(shí)，在隸屬度集合中添加0.5(μ++μ-)，非隸屬度集合添加0.5(v++v-)，決策者是中立的；

ξ=0時(shí)，在隸屬度集合中添加μ-，非隸屬度集合添加v+，決策者是極度悲觀的。

經(jīng)過(guò)以上處理后, 定義如下PHFNs的距離。

2 基于CPT和VIKOR的畢達(dá)哥拉斯猶豫模糊風(fēng)險(xiǎn)型決策方法

2.1 決策問(wèn)題描述

鑒于PHFN在描述決策信息時(shí)的優(yōu)勢(shì)，當(dāng)多位專家評(píng)估決策信息時(shí)，利用PHFN表示屬性值，既擴(kuò)充了隸屬度和非隸屬度的范圍，又確保信息的完整性。因此，研究屬性值為PHFN的風(fēng)險(xiǎn)型多屬性決策問(wèn)題具有實(shí)際意義。

2.2 屬性權(quán)重確定方法

考慮到屬性信息中數(shù)據(jù)的一致性在決策過(guò)程中的影響，下面提出一種利用PHFN的分散率確定屬性權(quán)重的方法。首先，定義PHFN的分散率。

定義7設(shè)α=∈Ω，集合U={μ1,μ2,…,μlU},V={v1,v2,…,vlV},其中l(wèi)U和lV分別表示U和V的基數(shù)，記

利用拉格朗日輔助函數(shù)求解上述優(yōu)化模型，可得狀態(tài)sk下屬性權(quán)重為

2.3 決策步驟

針對(duì)畢達(dá)哥拉斯猶豫模糊風(fēng)險(xiǎn)型多屬性決策問(wèn)題，考慮到?jīng)Q策者面臨損失、收益的心理偏好，提出基于CPT和VIKOR的決策方法，具體步驟如下：

步驟2利用各屬性值的分散率確定屬性權(quán)重W=(w1,w2,…,wn)。

步驟4確定狀態(tài)sk下各屬性值的參考點(diǎn)Pjk,j=1,2,…,n,k=1,2,…,t具體方法如下：

i=1,2,…,m,j=1,2,…,n,k=1,2,…,t，通常可取參數(shù)σ=τ=0.88，λ=2.25。

通常可取參數(shù)γ=0.61,δ=0.69。

其中，參數(shù)η∈[0,1]為決策機(jī)制系數(shù)， 一般地，取η=0.5表示根據(jù)協(xié)商共識(shí)機(jī)制決策。

步驟7根據(jù)Qi值和以下條件、準(zhǔn)則對(duì)各方案排序：首先將Qi值按升序排列得Q(1)

條件1可接受優(yōu)勢(shì)度：Q(2)-Q(1)≥1/(m-1)；

條件2可接受的穩(wěn)定性：方案A(1)的群體效用值S(1)或個(gè)體遺憾值R(1)也最小。

準(zhǔn)則1若條件1和條件2均滿足，則Qi值越小相應(yīng)方案越優(yōu)；

準(zhǔn)則2若條件1不滿足，則選取滿足Q(i)-Q(1)≤1/(m-1)的最大i值，則A(1),A(2),…,A(i)均為折衷解；若條件2不滿足，則A(1),A(2)為折衷解。

3 決策應(yīng)用

3.1 決策算例

某風(fēng)險(xiǎn)投資公司尋求合適的投資項(xiàng)目，現(xiàn)有四個(gè)備選項(xiàng)目：物流云平臺(tái)(A1)、智慧教育服務(wù)平臺(tái)(A2)、新能源汽車直租平臺(tái)(A3)、農(nóng)業(yè)自營(yíng)B2B供應(yīng)鏈平臺(tái)(A4)。從技術(shù)可行性(e1)、收益能力(e2)、投資周期(e3)、預(yù)算控制(e4)四個(gè)方面對(duì)以上項(xiàng)目進(jìn)行評(píng)估。由于市場(chǎng)環(huán)境的不確定性，未來(lái)會(huì)有三種狀態(tài)：環(huán)境有利(s1)，環(huán)境穩(wěn)定(s2)，環(huán)境不利(s3)。經(jīng)評(píng)估，以上狀態(tài)發(fā)生的概率分別為p1=0.3,p2=0.6,p3=0.1。專家團(tuán)隊(duì)分別對(duì)各狀態(tài)下，每一備選項(xiàng)目的屬性指標(biāo)用[0,1]之間的數(shù)字表示滿意度和不滿意度。例如在狀態(tài)s1下，專家評(píng)定項(xiàng)目A1關(guān)于e1的滿意度為0.3，0.4和0.5，不滿意度為0.7和0.8。則狀態(tài)s1下A1關(guān)于e1的評(píng)估值用PHFNα111=<{0.3,0.4,0.5},{0.7,0.8}>表示。類似地，可確定其他評(píng)估值αijk，i=1,2,3,4，j=1,2,3,4，k=1,2,3，具體如表1所示。

步驟1由于各屬性值均表示滿意和不滿意的程度，故表1無(wú)需規(guī)范化。

步驟2計(jì)算各狀態(tài)下屬性值的分散率，得各狀態(tài)下的屬性權(quán)重為：

W1=(0.2596,0.2469,0.2372,0.2564)

W2=(0.2495,0.2540,0.2496,0.2469)

W3=(0.2539,0.2501,0.2520,0.2440)

進(jìn)而得到屬性權(quán)重為：W=(0.2530,0.2515,0.2461,0.2495)。

步驟3選取參數(shù)ξ=0.5，利用定義5對(duì)表1中屬性值進(jìn)行基數(shù)處理，并選取參考點(diǎn)，例如，狀態(tài)s1下基數(shù)處理后的屬性值和參考點(diǎn)如表2所示。

表1 畢達(dá)哥拉斯猶豫模糊決策矩陣

表2 基數(shù)處理后狀態(tài)s1下的畢達(dá)哥拉斯猶豫模糊決策矩陣參考點(diǎn)

步驟4計(jì)算狀態(tài)sk下，αijk相對(duì)于參考點(diǎn)Pjk的價(jià)值函數(shù)v(αijk)，結(jié)果如下:

接下來(lái)，計(jì)算各屬性值的綜合前景值。例如，A1關(guān)于e1在各狀態(tài)下的價(jià)值函數(shù)分別為：-0.3863,0.2021,-0.6988,按升序排列后，A1關(guān)于e1的價(jià)值前景可表示為：(-0.6988,0.1;-0.3863,0.3;0.2021,0.6)，則計(jì)算A1在e1下的綜合前景值為:

V(α11)=(w-(0.1)-w-(0))·(-0.6988)+(w-(0.1+0.3))-w-(0.1))·(-0.3863)+(w+(0.6)-w+(0))·0.2021

=0.1701·(-0.6988)+(0.3917-0.1701)·(-0.3863)+0.4739·0.2021=-0.1087

同理，計(jì)算其他綜合前景值，得到綜合前景值矩陣:

步驟5計(jì)算各方案的Si、Ri和Qi值(取參數(shù)η=0.5)，具體結(jié)果如表3所示:

表3 各方案的Si、Ri、Qi值

步驟6根據(jù)VIKOR法的條件和準(zhǔn)則，可得各方案的排序?yàn)锳1?A2?A4?A3，最優(yōu)方案為A1。

3.2 參數(shù)分析

為分析基數(shù)處理時(shí)態(tài)度參數(shù)ξ的取值對(duì)決策結(jié)果的影響，下面分別選取ξ=0,0.25,0.75,1，得到各方案的決策指標(biāo)Si，Ri和Qi值如表4所示。

可見(jiàn)，在參數(shù)ξ的5種取值下，各方案的排序均為A1?A2?A4?A3，最優(yōu)方案均為A1，以上結(jié)果表明:

(1)ξ的取值只是體現(xiàn)了在基數(shù)處理時(shí)決策者添加數(shù)據(jù)的風(fēng)險(xiǎn)態(tài)度，決策者可以根據(jù)個(gè)人對(duì)屬性值的表達(dá)形式的大小偏好，選取ξ值添加數(shù)據(jù)，基數(shù)處理后的屬性值將整體偏大或整體偏小。

(2)ξ的不同取值未對(duì)最終的決策結(jié)果造成影響。這是由于對(duì)屬性值進(jìn)行基數(shù)處理目的在于計(jì)算各屬性值和參考點(diǎn)的距離，文中以中位點(diǎn)為參考點(diǎn)，隨著ξ值增大，處理后的屬性值都有不同程度的增大，隨之中位點(diǎn)也增大。此時(shí)，各屬性值與中位點(diǎn)的距離存在較為一致的變化。因而在屬性值和參考點(diǎn)的距離基礎(chǔ)上得到的收益-損失值，以及最終確定的Si，Ri和Qi值，各方案之間有較為一致的變化。例如，從表4可以看出，相比ξ=0時(shí)，ξ在其他取值下各方案的Si值大多數(shù)是同時(shí)增加或者同時(shí)減小，各方案的Ri值除A1外則是更為穩(wěn)定，因此對(duì)Si和Ri標(biāo)準(zhǔn)化后得到的Qi值所確定的方案排序未受到影響。

表4 不同ξ值的決策結(jié)果

3.3 不同方法對(duì)比分析

為驗(yàn)證所提方法的有效性，在各狀態(tài)下分別使用文獻(xiàn)[23,24]所提畢達(dá)哥拉斯猶豫模糊TOPSIS和VIKOR法,利用期望效用值對(duì)各方案排序，可得排序結(jié)果均為A1?A2?A3?A4。

相比文獻(xiàn)[23,24]所提方法，A1,A2排序與本文方法一致，而A3,A4的排序不同。這是由于，TOPSIS法和VIKOR法均以正、負(fù)理想方案為參考點(diǎn)，在加權(quán)平均基礎(chǔ)上得到貼近度和VIKOR的各項(xiàng)決策指標(biāo)，但加權(quán)平均容易導(dǎo)致補(bǔ)償性結(jié)果，而且整個(gè)決策過(guò)程沒(méi)有考慮決策者相對(duì)于參考點(diǎn)收益和損失心理。而本文所提基于CPT的VIKOR法，以中位點(diǎn)作為參考點(diǎn)，由表2可以看出方案A3,A4的各項(xiàng)屬性值相對(duì)于參考點(diǎn)，A3損失的情況要比A4多，而決策者面臨損失時(shí)更為敏感，因此本文所提決策方法得到A4?A3的結(jié)果符合決策者實(shí)際心理。

總之，通過(guò)具體案例及不同方法對(duì)比分析說(shuō)明，針對(duì)風(fēng)險(xiǎn)型畢達(dá)哥拉斯猶豫模糊多屬性決策問(wèn)題，基于CPT的VIKOR法的決策結(jié)果合理，能有效的反映決策者的有限理性行為，有助于提升決策結(jié)果的準(zhǔn)確性。

4 結(jié)語(yǔ)

針對(duì)權(quán)重未知的畢達(dá)哥拉猶豫模糊風(fēng)險(xiǎn)型多屬性決策問(wèn)題，考慮到未來(lái)狀態(tài)的不確定性和決策者的有限理性行為，提出基于CPT的VIKOR決策法。該方法利用PHFN表示屬性值，可以更為細(xì)致、全面的反映決策信息；通過(guò)原始決策信息的分散率，建立優(yōu)化模型確定屬性權(quán)重，避免信息偏差。相比傳統(tǒng)VIKOR法，將決策者面對(duì)收益和損失的風(fēng)險(xiǎn)偏好融入決策模型，在CPT基礎(chǔ)上提出的VIKOR決策法，兼顧群體效用和個(gè)體遺憾值，所得方案排序更為全面、合理，決策過(guò)程更貼近現(xiàn)實(shí)。該方法是畢達(dá)哥拉猶豫模糊決策理論的重要補(bǔ)充。但是，本文所提的屬性權(quán)重的確定方法僅依賴于屬性值，算例中各屬性權(quán)重區(qū)分度不高，沒(méi)有體現(xiàn)決策者對(duì)屬性重要性的判斷，因此，探討主客觀賦權(quán)法將更有利于決策結(jié)果的合理性。