一種固定時間收斂模型參考終端滑模控制方法

張驍駿 袁夏明 王向陽 朱紀洪 李春文

滑模控制方法是一類控制行為不連續的非線性控制方法,通過控制量切換迫使系統狀態沿著預定的滑模面運動,具有設計簡單、對匹配不確定性和外部擾動魯棒性強的特點,因而在機器人[1]、飛行器[2]、伺服系統[3]、發電機組[4]等對象中得到了廣泛的研究與應用.滑模控制方法設計時首先根據期望系統軌跡選擇滑模面,然后設計反饋控制律,使系統軌跡到達并駐留在滑模面上.滑模控制方法的缺點在于其控制律中包含不連續的高頻切換項會導致“抖振現象”.針對抖振現象,相關文獻提出了基于“邊界層”的準滑模動態方法[5]、動態滑模方法[6]、高階滑模方法[7]等解決方法.

傳統的滑模設計方法通常選擇線性超平面,收斂速度可以通過參數調節,但只能得到系統狀態的漸近收斂特性.終端滑模控制方法(Terminal sliding mode control,TSMC)在超平面設計中引入非線性函數,實現了系統狀態的有限時間收斂.Bhat等[8]給出了基于李雅普諾夫函數的有限時間穩定性定理和收斂時間估計.有限時間穩定理論的時間上界與初值有關,學者們進一步研究了具有固定時間上界的固定時間穩定性理論.Polyakov 等研究了基于李雅普諾夫方法[9]和隱李雅普諾夫方法[10]的固定時間穩定性理論,并應用于終端滑模控制器設計[9].標準的終端滑模控制在某些系統狀態下會出現奇異問題,限制了其實際應用.Feng等[11]探討了有限時間非奇異終端滑模面的設計問題,在此基礎上,Yang等[12]研究了固定時間收斂非奇異終端滑模面.Zuo等[13]針對二階非線性系統設計了新型固定時間終端滑模面,并使用了倒立擺模型作為基準測試平臺.在此基礎上,Li等[14]和Corradini等[15]分別設計新型非奇異終端滑模面,并使用該倒立擺模型進行了測試.Levant等[16]和Andrieu等[17]研究了基于齊次性理論的有限/固定時間收斂理論,并應用于觀測器[18]和魯棒微分器[19]設計.由于其快速收斂性和魯棒性,固定時間終端滑模控制器在飛行控制[20]、潛航器控制[21]、多智能體控制[22]、電力混沌系統控制[23]、電機無位置控制[24]等方面得到了廣泛的應用.

模型參考控制的目標是設計補償控制器使得被控對象的輸出盡可能跟蹤參考模型的輸出,使廣義誤差收斂至零[25].補償控制器用來補償被控對象與參考模型的狀態誤差、對象模型不確定性和外部擾動.模型參考自適應[25]基于穩定性理論設計自適應律調節補償控制器參數.在其基礎上,L1 自適應[26]引入低通濾波器使得自適應性能與魯棒性能解耦,保證閉環系統的魯棒性和動態性能.除此之外,還可以通過信號補償方法[27]、神經網絡[28]、滑模控制[29]等方法設計補償控制器.模型參考控制方法將跟蹤問題轉換為廣義誤差系統的鎮定問題,便于設計系統動態特性,在機械臂控制[30]、飛行控制[31]、混沌系統控制[32]等方面得到了廣泛應用.

現有模型參考方法只能得到廣義誤差漸近收斂的結論,本文將固定時間收斂終端滑模控制方法應用于模型參考方法的反饋控制器設計,使得被控對象狀態在固定時間內收斂到參考模型狀態.首先,在模型參考控制基礎上設計新的控制結構,引入輸入限幅和補償信號濾波,保證補償信號無損地輸入廣義誤差系統.然后設計了一種新型的固定時間終端滑模面,其可以較好地平衡遠離和靠近平衡點收斂速度.在其基礎上針對廣義誤差系統設計終端滑模控制器,使得廣義誤差信號在固定時間內收斂到零.使用李雅普諾夫方法證明了閉環系統的穩定性并給出了收斂時間上界的估計.最后,將該方法應用于存在極限環的非線性對象控制中,分別針對二階[33]和三階[34]對象進行了仿真,并與現有算法進行了比較,驗證了該方法的控制效果和魯棒性.

本文后續內容安排如下:第1 節給出預備知識和定理,并介紹了被控對象;第2 節提出了新的控制器結構和滑模面,針對誤差動態設計了固定時間終端滑模控制器,證明了閉環系統的穩定性并得到了收斂時間上界的估計;第3 節采用兩種仿真模型進行仿真驗證和比較;最后對本文進行了總結.

1 問題描述

1.1 系統模型

考慮如下具有模型不確定性和外部擾動的時變Byrnes-Isidori 標準型系統[35]

其中,x=[x1x2··· xn]T∈Rn為系統狀態變量,f(x)為非線性光滑函數,且f(0)=0.Δf(x,t)和d(x,t)分別表示模型不確定性和外部擾動,且存在上界使得|Δf(x,t)|＜D1,|d(x,t)|＜D2.合并表示為等價干擾的形式為dn(x,t)=Δf(x,t)+d(x,t),則有|dn(x,t)|＜D=D1+D2.

參考模型可以表示為

為了方便進行動態特性設計,一般采用線性定常系統,即fm(xm)=[-am1··· -amn]xm.輸入um=kgr(t),其中r(t)為指令信號,為參考模型直流增益的逆.本文的控制目標是使系統狀態x跟蹤參考模型狀態xm,從而實現對輸入信號r(t)的期望響應.

1.2 固定時間穩定預備知識

Bhat等[8]首先研究了有限時間收斂理論并給出了基于李雅普諾夫函數的判定條件

定義1[8].若系統(1)滿足:1)原點是漸近穩定平衡點;2)存在原點的開鄰域Dn和正定函數T(x0):Dn→R使得對于所有x0∈Dn{0}有

則原點是有限時間穩定的.當Dn=Rn時,原點是全局有限時間穩定的.

定理1[8].若存在連續正定方程V(x):Rn→R滿足

其中,參數α,p＞0,p＜1.則系統(1)是全局有限時間穩定的,且收斂時間為T(x0)≤1/(p(1-α))V(x0)1-α.

在有限時間收斂理論的基礎上,Polyakov等[9]研究了固定時間收斂理論及其判定條件.

定義2[9].若系統(1)滿足:1)原點是全局有限時間穩定平衡點;2)存在一個與初始值無關的收斂時間上界,即存在Tmax＞0使得T(x0)＜Tmax,?x0∈Rn.則原點是固定時間穩定的.

定理2[9].若存在連續正定方程V(x):Rn→R滿足

其中,參數α,β,p,q＞0,p＜1,q＞1,則系統(1)是全局固定時間穩定的,且收斂時間上界為T(x0)＜Tmax=1/(α(1-p))+1/(β(q-1)).

2 控制器設計

2.1 模型參考結構

在傳統的模型參考結構的基礎上,本文在補償控制器通道加入低通濾波器,在總輸入通道加入限幅,得到如圖1 所示的控制器結構.

圖1 模型參考控制器結構Fig.1 Structure of the model reference controller proposed

設計被控對象輸入u(t)為

其中,sat(u)為限幅函數,限幅值為被控對象輸入飽和邊界umax,參考輸入不會達到飽和邊界,引入函數 satn(u)表示施加在補償信號上的等效限幅函數,uC為固定時間補償控制器輸出.

設計參考模型輸入um(t)為

補償控制量沒有達到飽和邊界且高頻信號弱時,um(t)≈kgr(t).

將式(6)和式(7)分別輸入被控對象(1)和參考模型(2),得到系統閉環廣義誤差信號=xm-x的方程為

對于誤差系統,補償控制量uC不受限幅和濾波的影響,不影響誤差狀態收斂性;同時通過限幅函數sat(u)和低通濾波器C(u),將超過umax、高頻的補償信號輸入到參考模型中,避免輸入長時間飽和和高頻補償信號激發被控對象的未建模動態,導致系統不穩定.本文采用固定時間終端滑模方法設計控制量uC,使得廣義誤差信號在給定時間上界內收斂到原點,則被控對象實現了對參考模型狀態的跟蹤.

2.2 滑動模態設計

本節提出一種新型終端滑動模態設計方法,該方法受到Corradini等[15]所提出的一類終端滑動模態的啟發.

定理3[15].對一類標量系統其中參數β＞0,h(x)為非線性函數,滿足h(0)=0,h′(x)≠0,x∈R{0},limx→0(h′(x))-1=0.若原點為全局漸近穩定平衡點,則該系統有限時間穩定,收斂時間為T=|h(x0)|/β.若存在上界Hmax使得|h(x)|＜Hmax,則T＜Hmax/β,系統固定時間收斂.一種典型的非線性函數為

定理3中所述滑動模態的固定時間收斂特性是通過h(x)有界得到的,在系統狀態遠離平衡點時收斂速度快,但可能導致輸入量過大;在靠近平衡點時收斂速度下降,慢于普通終端滑模.與基于定理2 的一般固定時間終端滑動模態sigpx=sign(x)|x|p相比,設計參數較少,不便于平衡不同位置的收斂速度.本文將傳統終端滑動模態與定理3 中的滑動模態(9)結合,設計了一種新型終端滑動模態.考慮一類標量系統

其中,參數α,β,p,q＞0,p＜1,選擇非線性函數為

定理4.式(10)所表示的系統固定時間收斂到平衡點,且收斂時間上界為

證明.令z=|x|,可得

若z0＞1,設z在T1時刻收斂到z=1,則由式(13)可得

若z0≤1,設z在T2時刻收斂到z=0,則由式(13),可得

z收斂等價于x收斂,則式(10)所表示的系統在固定時間內收斂到原點,且收斂時間上界為

選取不同的參數如表1 所示,考察參數對于標量系統收斂特性的影響.式(10)系統收斂過程如圖2所示.

圖2 標量系統收斂過程Fig.2 Convergence process of the scalar system

表1 標量系統參數和收斂時間 (s)Table 1 Coefficients and convergence time (s)of the scalar system

參數1 等價于Corradini等[15]采用的方法,對比參數1和參數2 可以看出,本文的增加項提高了標量系統在靠近平衡點區域的收斂速度.以參數2為基準,參數3～6 分別體現了α,β,p,q對標量系統收斂速度的影響:第1 項參數α,p主要影響靠近平衡點區域的收斂速度;第2 項參數β,q主要影響遠離平衡點區域的收斂速度;系數α,β對下降速率影響較大,系數越大,收斂越快;指數項p,q影響相對較小.

采用單級倒立擺基準測試模型[13-15]對設計方法進行考察,并與現有方法進行對比[12-15].由于系統收斂時間依賴于參數選擇,為便于比較,調整參數使得初始下降速率基本相同.跟蹤誤差收斂曲線如圖3所示.可以看出,本文所提出的滑動模態設計方法的收斂速度優于現有方法,與Corradini等[15]方法相比在靠近平衡點處收斂速度更快.

圖3 基準模型跟蹤誤差曲線Fig.3 Tracking error curve of the benchmark model

2.3 二階系統控制器設計

首先以二階系統為例設計控制器,廣義誤差信號可以表示為

基于式(10)定義滑模變量和趨近律

其中,參數αi,βi,pi,qi＞0,pi＜1,當廣義誤差信號到達滑模面時,s()=0,則有誤差系統按照式(10)的設計滑動模態收斂到原點.

針對式(18)所定義的滑模變量和趨近律,設計非線性控制律(19).其中u1用于抵消誤差動態,u2為滑模運動控制項,u3為趨近運動控制項.

定理5.采用式(19)所述非線性控制律的二階廣義誤差系統固定時間穩定,且收斂時間上界為

證明.將輸入式(19)代入式(17),得到滑模變量的導數如式(21)所示.

則誤差系統全局漸近穩定,s最終收斂到0.又由式(21)和定理4,可得系統趨近滑模面的到達時間為

系統到達滑模面后s=0,隨后沿著滑模面收斂到原點,由式(18)和定理4 可得收斂時間為

綜上所述,系統在固定時間內收斂到原點,收斂時間上界為誤差系統的相平面圖如圖4 所示.

圖4 誤差系統相平面圖Fig.4 Phase plane plots of error dynamic

相軌跡穿過S3后沿著預定軌跡運動,不會再次進入奇異區,因此,系統仍然是固定時間穩定的,收斂時間上界為

系統動態到達滑模面后,控制量中的不連續項可能會導致抖振問題,引入連續函數(29)近似切換函數以減少抖振影響,參數ρ越大越接近切換函數.

2.4 高階系統控制器設計

高階系統廣義誤差信號可以表示為

由于第2.2 節所述終端滑動模態適用于相對階為1 的系統,因此高階系統需要設計具有遞歸結構的滑動模態

其中,參數αi,βi,pi,qi＞0,pi＜1.將誤差動態代入式(31),得到滑模變量sn-1的導數如式(32)所示

將其代入式(32),可得滑模變量sn-1的導數為

則閉環系統漸近穩定,各階滑模變量依次收斂,收斂時間上界為

3 仿真驗證

3.1 二階翼搖模型驗證

翼搖是大后掠角飛機在大迎角時出現的一種滾轉通道自激振蕩的現象.Capello等[33]通過風洞實驗建立了兩種飛機機型的翼搖運動模型,并使用L1 自適應算法實現了對于該現象的抑制.在此基礎上,學者們使用基于擴張狀態觀測器的魯棒控制[36]、自適應控制[37]等方法對該模型進行研究.

翼搖運動模型可以表示為

兩種機型的模型參數如表2和表3 所示[33].

表2 模型A 的氣動數據Table 2 Aerodynamic coefficients for Model A

表3 模型C 的氣動數據Table 3 Aerodynamic coefficients for Model C

迎角αAOA=0.57 時的模型C 開環響應相平面如圖5 所示,系統開環響應存在極限環.

圖5 模型C 開環響應極限環Fig.5 Open-loop response of Model C exhibiting limit cycle

參考模型選擇為

采用第2.1 節所述控制結構,則廣義誤差信號可以表示為

采用第2.3 節所述方法設計固定時間收斂終端滑模控制器為

選取控制器參數為α1=α2=3,β1=β2=1,p1=q1=5/9,p2=q2=3/9,收斂時間估計為Tmax=1.9 s.

外部擾動d?(t,?(t),?′(t))=10 sin(2πt)+20 sin(πt)+w,w為白噪聲.采用simulink 搭建模型,龍格庫塔方法進行仿真,步長為0.0001 s.分別仿真不同初始滾轉角收斂特性、不同迎角情況下的滾轉角收斂特性和對階躍信號的跟蹤.采用繪制輸入曲線.

1)使用模型A 測試不同初始滾轉角下控制器的收斂性能.固定迎角αAOA=0.61,初始滾轉角選擇為?0=-1.22,-0.52,-0.26,0.26,0.52,1.22.參考信號恒為零,得到仿真結果如圖6 所示.

圖6 不同初值模型A 閉環響應Fig.6 Closed-loop response of Model A for several initial

可以看出,控制器(42)可以實現對不同初始角度的鎮定.隨著初值增加,收斂時間增加不大,在0.4 s以內,遠小于估計上界,體現了控制器的固定時間收斂特性.

2)使用模型C 測試不同狀態下控制器的魯棒性,以迎角αAOAm=0.61 時的模型參數作為已知模型,初始滾轉角?0=0.35,初始迎角分別設置為αAOA0=0.48,0.57,0.65,0.74.實際仿真迎角在已知迎角附近變化,取αAOA=αAOA0+0.044 sin(2t).仿真結果如圖7所示,不同迎角下滾轉角誤差響應(圖7(a))幾乎相同,輸入(圖7(b))補償了不同迎角下的模型誤差和擾動,體現了控制器對于模型不確定性和外部擾動的魯棒性.

圖7 不同迎角模型C 閉環響應Fig.7 Closed-loop response of Model C for several angle of attack

3)使用模型A 考察控制器對階躍信號的跟蹤性能.并與現有的模型參考類方法(L1 自適應[26],信號補償[27])和基于現有非奇異固定時間終端滑模面(Corradini等[15],Li等[14],Yang等[12])的模型參考方法進行比較.以αAOAm=0.61 時的模型參數作為已知模型,初始滾轉角?0=0.70,實際仿真迎角為αAOA=(0.61+ 0.087 sin(2t)).仿真結果如圖8 所示.從仿真結果可以看出,本文所采用的控制器收斂時間最短,可以一直保持較快的下降速度,并且初始階段輸入量較小,沒有達到飽和邊界.文獻[15]和文獻[14]所設計的滑模面在初始階段下降較快,但誤差接近原點時收斂速度減緩;文獻[12]和L1自適應[26]整體收斂速度較慢;信號補償[27]方法收斂速度較快,但會出現誤差超調,整體收斂時間慢于本文算法.

圖8 模型A 對階躍信號跟蹤響應Fig.8 Closed-loop response to step signal tracking of Model A

3.2 三階模型驗證

采用文獻[34]所用的3 階非線性模型進行驗證,被控對象如式(43)所示

其開環特性如圖9 所示,存在三維空間極限環.選取參考模型參數 [-1-2.414-2.414].廣義誤差信號表示為

圖9 模型(43)開環響應特性Fig.9 Open-loop response of model (43)

選取控制器參數為α=[0.8 2.1 2.1],β=[0.04 0.4 0.4],p=[7/9 5/9 5/9],q=[5/9 4/9 4/9],收斂時間上界估計為Tmax=19.7 s,初始狀態x0=[4-2-1]T.文獻[15]方法參數為[0.12 0.55 0.6].

圖10 為期望輸入為階躍信號時的仿真結果.從仿真結果可以看出,本文算法可以一直保持較快的下降速度,收斂時間T=2.8 s.從輸入曲線可以看出,基于文獻[15]終端滑模面所設計的控制器在收斂時間相近的情況下,初始輸入較大,達到了限幅值,因此導致補償信號輸入參考模型中,使得參考模型狀態向被控對象實際狀態逼近.雖然導致最終跟蹤期望輸入r(t)較慢,但保證了廣義誤差信號收斂速度不變,避免了長時間飽和可能導致的系統不穩定,體現了本文所采用的控制結構的優勢.信號補償算法[27]和L1 自適應[26]的特性與二階系統仿真結果基本相同.

圖10 閉環系統對階躍信號跟蹤響應Fig.10 Response to step signal tracking of closed-loop system

綜上所述,本文所采用的控制結構可以避免長時間飽和和高頻補償信號輸入被控對象,引起系統不穩定;所設計的終端滑模面在整個下降過程中可以保持較快的下降速度,較好地平衡了遠離平衡點處和靠近平衡點處的收斂特性,避免了初始狀態誤差較大時補償輸入過大;可以保證被控對象的狀態在固定時間內跟蹤參考模型狀態.

4 結束語

本文針對存在模型不確定性和外部擾動的時變非線性系統研究了固定時間終端滑模模型參考控制方法:1)設計了新型模型參考控制結構,在加入輸入限幅和補償信號濾波的同時,保證了廣義誤差系統收斂特性;2)設計了新型終端滑模面,較好地平衡了遠離平衡點和靠近平衡點的收斂特性;3)針對高階系統設計了遞歸結構終端滑模控制器.本文控制器保證了誤差動態在固定時間內收斂到原點,使得被控對象能夠在固定時間內收斂并跟蹤參考模型動態,便于進行閉環系統動態設計.后續工作考慮采用自適應算法或擾動觀測器動態調整切換項增益以減少控制量抖振,考慮結合魯棒微分器和反步法設計高階系統控制器,避免解析求解導致高階系統控制器過于復雜.