具有輸入約束和輸出噪聲的不確定系統(tǒng)級聯(lián)線性自抗擾控制

高陽 吳文海 王子健

不確定系統(tǒng)的控制是控制科學的核心問題[1].圍繞此問題,涌現(xiàn)出大量的現(xiàn)代控制方法,如自適應控制、魯棒控制、內(nèi)模原理、滑模控制等[2],但這些方法在處理不確定性時,往往因特定的局限性而不利于工程實用.反倒是經(jīng)典的PID 控制,以其 “天生”的抗干擾性和模型不依賴性,至今仍廣泛應用于工業(yè)控制領(lǐng)域.沿承PID 控制的思想精髓[3],韓京清[4]在對依賴于精確數(shù)學模型的現(xiàn)代控制理論進行深刻反思的基礎(chǔ)上,于20 世紀90 年代提出了更為高效的自抗擾控制(Active disturbance rejection control,ADRC)技術(shù).大量理論[5-7]和應用[8-9]方面的研究表明,ADRC 不依賴被控對象的精確數(shù)學模型,對具有未建模動態(tài)、參數(shù)攝動和外界干擾的系統(tǒng)均能實施有效控制,具有很強的魯棒性和抗干擾性.

然而,受限于原始ADRC 所采用的非線性、非光滑反饋結(jié)構(gòu),其理論分析十分困難,需調(diào)節(jié)的控制器參數(shù)也較多.為簡化ADRC 的分析與實現(xiàn),文獻[10-12]針對不同類型的不確定系統(tǒng),研究了線性ADRC (Linear ADRC,LADRC)方法并著重分析了LADRC 的收斂性,揭示了系統(tǒng)性能與控制參數(shù)的定量關(guān)系.此外,文獻[13]提出了一種基于高增益觀測器的LADRC 方法,并進一步放寬假設(shè)條件給出了收斂性證明.然而,上述研究除針對系統(tǒng)的不確定因素外,均沒有考慮其他限制條件.而在實際系統(tǒng)的輸入、輸出環(huán)節(jié)中,往往會存在兩類不容忽視的問題:輸入約束和輸出噪聲.

輸入約束通常是由執(zhí)行機構(gòu)的物理和結(jié)構(gòu)限制所致,以位置飽和最為常見,如不及時采取措施加以擬制,可能會導致系統(tǒng)動態(tài)性能變差甚至不穩(wěn)定.對此,主要有兩種處理策略:1)直接對執(zhí)行機構(gòu)的飽和特性進行設(shè)計,利用光滑函數(shù)近似飽和函數(shù),然后將逼近誤差作為系統(tǒng)擾動,對新系統(tǒng)設(shè)計魯棒自適應控制器[14-15];2)在忽略執(zhí)行機構(gòu)約束的情況下,預先設(shè)計滿足要求的控制器,然后在控制器中引入輔助信號對輸入飽和進行補償[16-18].策略1)雖然具有較好的抗飽和效果,但需要依賴約束的具體信息,且控制器設(shè)計復雜,實時性較差;相比之下,策略2)能夠極大地簡化控制器的設(shè)計,計算靈活高效,且不影響約束范圍內(nèi)的系統(tǒng)性能,因而廣泛應用于工業(yè)實際中.

另外,在量測輸出時不可避免地還會引入高頻噪聲,而噪聲對于LADRC 性能的影響是十分顯著的.這是因為,LADRC 的核心技術(shù)是線性擴張狀態(tài)觀測器(Linear extended state observe,LESO),增大觀測器增益可提高其跟蹤性能,但同時也會放大高頻噪聲,進而引起系統(tǒng)控制量的大幅度高頻振顫,這對于執(zhí)行機構(gòu)而言是不可承受的.為解決觀測器性能與其對噪聲敏感性的矛盾,國內(nèi)外學者提出了多種不同方案.文獻[19]設(shè)計了一種增益可切換觀測器,即采用大增益重構(gòu)系統(tǒng)狀態(tài),當觀測誤差減小到一定值后切換為小增益,以減小高頻噪聲的影響.文獻[20]和文獻[21]則分別通過在高增益觀測器中引入隨機逼近策略和快速濾波器來處理量測噪聲,從而最大限度地保持了觀測器的原本特性.而文獻[22-23]直接設(shè)計了一種增益在線調(diào)整的自適應觀測器來解決該問題,雖然較前兩種方案有更好的噪聲擬制效果,但觀測器設(shè)計復雜,工程實現(xiàn)難度大.對此,工程上往往采用簡單的濾波器處理方式,但這會造成濾波后輸出信號的幅值和相位損失.

針對上述現(xiàn)狀和問題,本文在文獻[13]的基礎(chǔ)上,繼續(xù)研究了具有輸入受限和輸出噪聲的不確定系統(tǒng)的LADRC 方法.首先,定量分析了LESO 對噪聲的放大機理,明確了噪聲對LADRC 系統(tǒng)的影響;在此基礎(chǔ)上,改進了具有工程實用性的濾波器噪聲處理方式,提出了一種基于濾波器的級聯(lián)LADRC方法,可實現(xiàn)對濾波后輸出幅值和相位損失的有效補償;最后,基于策略2)給出的飽和處理方案,進一步提出了一種基于濾波器的抗飽和級聯(lián)LADRC 方法,使有效濾波的同時解決了系統(tǒng)輸入飽和的問題.

1 問題描述及預備知識

1.1 系統(tǒng)描述

考慮如下的SISO (Single input single output)不確定非線性系統(tǒng):

其中,x為系統(tǒng)狀態(tài)變量;y為具有高頻噪聲vfn的系統(tǒng)量測輸出;f(·)為系統(tǒng)不確定的內(nèi)部動態(tài);w為外部干擾;b為時變不確定的控制增益,滿足b1＜b＜b2,b1,b2為常數(shù);υ為執(zhí)行器輸入,u(υ)為受飽和特性影響的執(zhí)行器輸出,其數(shù)學模型為

其中,umax＞0,umin＜0 為已知的飽和界限值.

取常數(shù)b0∈(b1,b2),而將 (b-b0)u(υ)作為未知的控制擾動,并將系統(tǒng)所有的不確定性當作總擾動g(·)=f(·)+w+(b-b0)u(υ),取狀態(tài)變量x1=x,x2==x(n-1),然后將總擾動擴充為新的狀態(tài)變量xn+1=g(·),并記n+1=h,令x=[x1x2···xn+1]T,可得系統(tǒng)(1)的擴張狀態(tài)空間方程

為便于分析,對系統(tǒng)(3)作如下假設(shè):μ＞0

假.設(shè)1.量測噪聲有界且滿足|vfn|≤μ,常數(shù)

假設(shè)2.存在常數(shù)M＞0,使得|h|≤M在區(qū)間[0,∞)上一致成立.

注1.由于h=g˙(·)不僅是時間t的函數(shù),還是x和u的函數(shù),因而直接設(shè)定|h|≤M這一條件很難得到預先檢驗;而根據(jù)此前研究可知[13],若放寬對系統(tǒng)總擾動的假設(shè),可得到|h|為關(guān)于系統(tǒng)估計和跟蹤誤差的函數(shù),但這會增加系統(tǒng)分析的復雜性.實際上,直接假設(shè)h有界并不影響對系統(tǒng)控制性能的分析,只是會改變分析過程中的一些常系數(shù)值.

1.2 線性自抗擾控制

對于系統(tǒng)(1),當不考慮輸入約束和輸出噪聲時,可設(shè)計如下的LADRC 控制器[13]:它由線性跟蹤微分器(Linear tracking differentiator,LTD)、線性擴張狀態(tài)觀測器和線性狀態(tài)誤差反饋(Linear state error feedback,LSEF)三部分組成.

1.2.1 線性跟蹤微分器

LTD 在LADRC 中相對獨立,其作用在于跟蹤給定的輸入信號v0并得到輸入的各階微分信號即有i=1,2,···,n.令v=[v1可將LTD 表示為

1.2.2 線性擴張狀態(tài)觀測器

LADRC 的模型不依賴性和魯棒性正是基于LESO 對系統(tǒng)總擾動的實時估計,因而LESO 是LADRC的核心技術(shù).令為系統(tǒng)狀態(tài)x的估計,利用實時的輸入u、輸出y可構(gòu)造如下的LESO:

1.2.3 線性狀態(tài)誤差反饋

定義系統(tǒng)的狀態(tài)誤差e1=z1-v1,e2=z2-v2,···,en=zn-vn,并考慮對總擾動xn+1的實時補償,令可設(shè)計如下的LSEF:

2 高頻量測噪聲對LESO 的影響

2.1 理論分析

首先,忽略輸入飽和的影響.定義LESO 估計誤差ε=x-z,其中,對其沿式(3)和式(5)求導,可得

定理1.對于滿足假設(shè)1和假設(shè)2 的不確定系統(tǒng)(1),設(shè)計LESO(5),則對任意的t∈(t0,∞),存在依賴于t0的常數(shù)T＞0和獨立常數(shù)B＞0,使得對任意的r∈(0,1),滿足

注2.若無特別說明,文中‖·‖指Euclid 范數(shù).

證明.取Lyapunov 函數(shù)V:Rn+1→R為

因此?t＞t0,求解式(15),可得

由式(17)可知,當系統(tǒng)輸出不含噪聲 (μ=0)時,r越小,LESO 估計誤差越小,且有 limr→0‖ε‖=0;但系統(tǒng)包含量測噪聲時,r不能任意小,且當r=(nB4μ/B3)1/(n+1)時,有

式(18)表明,r在(0,1)內(nèi)取值越小,被估計狀態(tài)xi階數(shù)越高,LESO 對噪聲放大效果越顯著;尤其對系統(tǒng)總擾動的估計zn+1→xn+1,受高頻噪聲的影響最大,這必然使總擾動不能被實時抵消,影響LADRC 的控制性能.□

2.2 算例驗證

例1.考慮如下的SISO 二階不確定系統(tǒng):

假設(shè)系統(tǒng)未知的內(nèi)部動態(tài)和外部干擾分別為

量測噪聲為vfn=μvfno,μ=0.025為噪聲強度,vfno為[-1,1]上均勻分布的白噪聲.

首先,忽略量測噪聲.利用LADRC 式(4)～(6)對系統(tǒng)(19)進行控制,設(shè)定參考輸入v0=1,取b0=1;依據(jù)文獻[13]給出的參數(shù)整定原則,取控制器系數(shù) [a1,a2,a3]=[-1,-3,-3],[k1,k2,k3]=[3,3,1],[l1,l2]=[-1,-2],調(diào)節(jié)控制器增益R=10,r=0.002.通過對系統(tǒng)不確定性的準確估計和補償,可得到較為理想的系統(tǒng)單位階躍響應和控制輸入,如圖1 所示.

圖1 忽略量測噪聲時的閉環(huán)系統(tǒng)響應Fig.1 Closed-loop system responses ignoring measurement noise

但當存在量測噪聲時(不改變控制器參數(shù)),由于LESO 對噪聲的放大效應,導致系統(tǒng)總擾動x3=f+w不能被準確估計,控制量受其影響作同等幅度的高頻振顫,系統(tǒng)輸出亦在設(shè)定值附近高頻波動,如圖2 所示.此外,LESO 在估計系統(tǒng)狀態(tài)x1,x2,x3時,對噪聲的放大效應是逐級增強的,其中對x3的估計誤差達到 103級,這與式(18)計算的結(jié)果是一致的.另取r=0.005和0.01對x3進行估計,如圖3 所示.比較圖2(c)～2(d)可以看出,隨著r的增大,LESO 對噪聲的敏感度迅速減弱,但同時也加劇了系統(tǒng)輸出的振蕩,降低了系統(tǒng)的動態(tài)穩(wěn)定性.

圖2 考慮量測噪聲時的閉環(huán)系統(tǒng)響應Fig.2 Closed-loop system responses considering measurement noise

圖3 不同r值對系統(tǒng)控制性能的影響Fig.3 Effect on system control performance with different values ofr

3 基于濾波器的級聯(lián)LADRC 方法

3.1 傳統(tǒng)濾波控制策略

在實際系統(tǒng)中,為了消除高頻量測噪聲的影響,通常利用低通濾波器對輸出信號進行濾波,再將濾波后的信號送入控制器.濾波器的形式為

其中,y0為濾波后的信號,m為濾波器的階數(shù).此時LESO(5)變?yōu)?/p>

然而,濾波器(20)在消除噪聲的同時,還會改變系統(tǒng)輸出的幅值和相位,使y0與x(即濾波器輸出與未加入噪聲的系統(tǒng)原輸出)之間存在差異,這種差異將在LESO(21)中被放大,從而導致原系統(tǒng)的狀態(tài)不能得到良好估計.

例2.將系統(tǒng)(19)的輸出通過一階低通濾波器(22)后,利用LADRC 式(4)、式(21)和式(6)進行控制,取r=0.002,ω=5,其他參數(shù)不變,結(jié)果如圖4所示.

圖4 加入濾波器對系統(tǒng)控制性能的影響Fig.4 Effect on system control performance adding filter

可以看出,通過濾波器后高頻噪聲被濾除,但LESO 對系統(tǒng)狀態(tài)x1的估計誤差卻很大(對x2,x3同樣如此),這是由于z1實際上是對y0的估計,而y0與x之間存在差異,從而導致系統(tǒng)較大的控制慣性,最終影響了LADRC 的跟蹤性能(y0→v0).

3.2 新型濾波控制策略

為了補償因濾波所造成的幅值和相位損失,將濾波器(20)的輸出 擴充為系統(tǒng)(1)新的狀態(tài)變量xf=y0,即將濾波器(20)與系統(tǒng)(1)組成復合系統(tǒng),以利用LADRC 進行估計和補償.本質(zhì)上,該系統(tǒng)相當于一個不受噪聲影響的m+n階串級系統(tǒng)

對于系統(tǒng)(23),其控制層級為控制量u驅(qū)動x,再將x作為虛擬控制量uf驅(qū)動xf,最終達到控制的目的.由于ff(·)和f(·)均具有不確定性,因此根據(jù)式 (1)～(6)的控制思想,可構(gòu)造一個級聯(lián)LADRC 結(jié)構(gòu)來獲取控制量uf和u,如圖5 所示,其中系統(tǒng)總擾動

圖5 基于LADRC 的級聯(lián)控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)Fig.5 Structure of cascade control system based on LADRC

其中,Af,bf,cf,df是分別與A,b,c,d形式相同的m+1維矩陣或向量.

注3.對于低通濾波器(20),雖然其高階形式具有更好的濾波效果,但同時也可能破壞系統(tǒng)的穩(wěn)定性.因此,在CLADRC 系統(tǒng)(24)和(25)中采用一階低通濾波器(22)即可,因為由此所造成的差異還可通過LADRC1 予以補償.

例3.針對例1 的系統(tǒng)采用CLADRC(25)進行控制,其中濾波器仍采用式(22),并取參照文獻[13]的參數(shù)選取原則,取調(diào)節(jié)控制器增益Rf=2,rf=0.1,R=50,r=0.1,其他參數(shù)與例1 相同,仿真結(jié)果如圖6 所示.

圖6 基于CLADRC 的閉環(huán)系統(tǒng)響應Fig.6 Closed-loop system responses based on CLADRC

比較圖4 可以看出,該控制策略利用LADRC1 的補償作用,消除了由濾波所造成的不利影響,改善了對系統(tǒng)狀態(tài)的估計效果 (z1→x1),實現(xiàn)了對參考輸入的精確穩(wěn)定跟蹤 (y0→v0),同時避免了控制量的大幅高頻振顫,從而驗證了該方法的有效性.

4 基于濾波器的抗飽和級聯(lián)LADRC方法

在上述研究的基礎(chǔ)上,繼續(xù)考慮系統(tǒng)(1)存在輸入飽和的情況.不難理解,當執(zhí)行器由于飽和而不能響應控制器的輸出時,將會使系統(tǒng)響應變得遲緩,引起滯后和振蕩,甚至導致系統(tǒng)不穩(wěn)定.

例4.針對例3 的CLADRC 系統(tǒng),在不改變控制器參數(shù)的情況下,設(shè)定執(zhí)行器飽和的界限值為umax=26,umin=-17,仿真結(jié)果如圖7 所示.

圖7 顯示,在執(zhí)行器受限的情況下,系統(tǒng)實際控制量長時間處于飽和振顫狀態(tài),閉環(huán)系統(tǒng)響應變得振蕩而無法及時穩(wěn)定.當進一步縮小飽和約束的范圍時,閉環(huán)系統(tǒng)將處于發(fā)散狀態(tài).

圖7 輸入飽和約束下的CLADRC 閉環(huán)系統(tǒng)響應Fig.7 Closed-loop system responses with input saturation based on CLADRC

產(chǎn)生上述現(xiàn)象的本質(zhì)是由于執(zhí)行器飽和而導致系統(tǒng)狀態(tài)不能被準確估計,為此,進一步提出了一種基于濾波器和誤差補償策略的抗飽和級聯(lián)LADRC 方法.該方法的作用機理是將執(zhí)行器輸入和輸出的差值信號再反饋到LESO 的輸入端,使LESO獲取更詳細的系統(tǒng)信息,進而利用LADRC 的估計和補償作用來消除這個差值,達到抗飽和的目的.對于由式(1)和式(20)組成的級聯(lián)系統(tǒng),設(shè)計具有抗噪聲和抗飽和能力的LADRC 控制器為

其中,kc為補償增益,增大kc可提高誤差補償速度,但同時可能引起LESO 不穩(wěn)定,因此需要適當調(diào)節(jié).

例5.將控制器(26)作用于例4 中的被控對象,調(diào)節(jié)kc=0.8,其他控制器參數(shù)仍不變,仿真結(jié)果如圖8 所示.

可以看出,該抗飽和方案通過誤差補償有效減小了設(shè)計控制量υ,使實際控制量u能夠很快脫離飽和并維持在約束范圍內(nèi),系統(tǒng)響應基本不受輸入飽和的影響(即圖8(a)中的y01與圖6(a)中的y0基本一致),同時也不影響CLADRC 的抗噪聲能力,驗證了該方法的有效性.

圖8 基于抗飽和CLADRC 的閉環(huán)系統(tǒng)響應Fig.8 Closed-loop system responses based on anti-saturation CLADRC

進一步地,將飽和約束的范圍壓縮為原來的60%至umax=11,umin=-15 時,不改變控制器參數(shù),系統(tǒng)仍能保持較好的跟蹤性能 (y02→v0),而不采用該策略的閉環(huán)系統(tǒng) (kc=0)響應將很快發(fā)散至無窮大處,表明該方法對輸入飽和的界限還具有一定的魯棒性.

5 結(jié)束語

本文研究了一類具有輸入約束和輸出噪聲的不確定非線性系統(tǒng)的線性自抗擾控制問題.首先針對輸出中常見的高頻量測噪聲,分析了LESO 對噪聲的放大機理及其與LESO 增益的定量關(guān)系,明確了噪聲對具有高增益特性的LADRC 系統(tǒng)的影響.在此基礎(chǔ)上,提出了一種基于濾波器的級聯(lián)LADRC 方法,在濾除噪聲的同時還克服了因濾波所造成的輸出幅值和相位損失,確保了閉環(huán)系統(tǒng)的精確穩(wěn)定跟蹤.最后考慮執(zhí)行器受限的情況,利用LADRC 的實時估計/補償能力,進一步提出了一種基于濾波器和誤差補償策略的抗飽和級聯(lián)LADRC 方法,又解決了系統(tǒng)輸入飽和的問題.上述控制方法在克服輸入約束和輸出噪聲的同時,始終保持了自抗擾控制結(jié)構(gòu)的不變性,因而具有一定的適用性.通過算例仿真,驗證了該方法的有效性.