基于勒讓德多項式逼近的鉆孔巖性分布特征預測模型

王權銘 楊宇江，2 路增祥，2 馬 馳 曹 朋

(1.遼寧科技大學礦業工程學院，遼寧 鞍山 114051;2.遼寧省金屬礦產資源綠色開采工程研究中心，遼寧 鞍山 114051;3.北京科技大學土木與資源工程學院，北京 100083)

穿孔作業是露天礦山開采中高耗能、高耗時的生產工序[1-6]，縮短穿孔作業時間是提高礦山生產效率、降低生產成本的有效措施之一。礦巖的物理力學特性及其分布特征對于確定穿孔位置、間排距等炮孔設計參數，選擇鉆機鉆頭，調整鉆速和鉆壓等影響重大[7-9]，且直接影響著鉆機的穿孔速度，進而影響了礦山的開采效率[10-12]。準確預測采場巖性及其分布特征能夠為礦山穿孔爆破設計工作提供基礎資料，也能幫助鉆機操作人員預判穿孔位置礦巖的可鉆性，更好地操控鉆機作業[13-15]，以縮減穿孔時間，提高礦山開采效率。

為研究精確可靠的巖性預測方法，劉向君等[16]提出了以神經網絡技術為基礎的巖石強度預測方法;王棣等[17]采用神經網絡BP算法建立了能夠估計二維地震剖面的地層巖性預測方法;曹正林等[18]認為鉆井參數與巖性有直接或間接的關系，據此可在鉆進過程中隨時了解地下巖層情況。張建林等[19]根據波阻抗與巖性之間具有一定的概率相關關系，綜合應用多學科信息，建立了預測巖性圈閉隨機模擬方法。劉向君等[20]針對在室內常溫常壓下進行巖石微可鉆性試驗存在的可鉆性數據離散、隨機、有限、成本高等問題，采用物理模型方法推導出利用了聲波測井資料預測巖石可鉆性的計算模型，并結合S油田實際資料開展了鉆速預測方法研究。此外，支持向量機[21]、灰色理論[22]也被應用于巖性預測工作中。上述研究大多采用機器學習方法對巖性進行預測，雖然該類方法可以從變動的樣本數據中進行動態學習，但所需鉆孔數據量較大，有時需要人為建立某種模型對其進行指數倍的篩選，使得該類方法應用存在一定的局限性。

上述研究在促進巖性預測發展方面具有重要價值，但大多是圍繞石油勘探鉆井問題展開，針對金屬礦山露天采場巖性預測的研究涉及較少。本研究以最佳函數逼近法為基礎，采用勒讓德多項式建立金屬礦山露天采場的巖性預測模型，利用有限的鉆孔巖性分布特征信息，預測待穿孔位置的礦巖分布特征，為礦山穿爆設計和穿孔施工提供依據。

1 基本原理

1.1 函數逼近法

函數逼近法是一種應用較廣泛的函數擬合方法[23]。使用該方法建立預測模型時既不需要大量的數據進行推導，也不需要根據特定模型進行處理，具有簡單、靈活等特點。

式中，C[a，b]表示在[a，b]上連續的全體函數組成的集合;span{·}為向量張成的線性空間;Q*(x)為f(x)在子集φ∈C[a，b]中的最佳平方逼近多項式;ρ(x)為權函數。

式(1)等價于求多元函數I(a0，a1，…，am)的最小值，其最小值為

式中，aj為回歸系數;I(a0，a1，…，am)為關于a0，a1，…，am的二次函數;m表示m元函數。

式(2)是關于aj(j=0，1，…，m)的線性方程組。設φ0(x)，φ1(x)，…，φm(x)是權函數ρ(x)的正交函數族，得到

式中，ak代表第k個線性方程組的回歸系數;[f(x)，φk(x)]表示首項系數為1的最大公約式。

1.2 勒讓德多項式

勒讓德多項式是權函數ρ(x)≡1在區間[-1，1]上由{1，x，…，xn}正交化得到的多項式[24]:

式中，n為階數。

作為一種正交多項式，勒讓德多項式具有系數之間相互獨立的特點，其正交對數矩陣具有較小的偶然性且只會影響其中的某一項，使用勒讓德多項式預測可以極大地減少誤差。因此該方法被廣泛用于預測模型構建、誤差分析、參數選擇等方面[25]。

2 巖性分布特征預測模型

露天礦穿孔作業過程中，會遇到具有不同力學特征的礦巖體。根據礦巖特性的不同，適時調整鉆機的鉆速及鉆壓，有利于提高穿孔速度。根據先期地質鉆孔所揭露的地層特征信息，建立待穿孔位置的礦巖層巖性預測模型，對于預判礦巖分布特征具有重要的工程意義。

將已知的鉆孔地層特征作為樣本信息，以最佳函數逼近法為基礎，采用勒讓德多項式建立穿孔位置的巖性預測模型，流程如圖1所示。

圖1 基于勒讓德多項式的巖性預測建模流程Fig.1 Thology prediction modeling process based on Legendre polynomial

對已知鉆孔穿過的各巖層依次記為yi，則區間變換表達式為

式中，t為勒讓德變量;yi為鉆孔的層段編號，i=1，2，…，n;a為巖層最頂端標高;b為某巖層的底面標高。

此時，t取值處于[-1，1]區間，相應的概率密度為f(yi)，其均值M0和原點矩MK可進行如下計算:

根據辛欽大數定律[24]，原點矩和K階原點矩相等，即

式中，AK表示K階原點矩。

由于勒讓德多項式具有正交性和奇偶性，由其遞推公式可得到:

以勒讓德多項式進行幾何參數化建模，用λ表示第i個鉆孔基于勒讓德多項式的誤差值進行建模。對勒讓德多項式以λ為基函數進行展開，得到:

式中，a0、a1、…、an為回歸系數。

用最小二乘法展開式(9)得到:

式中，k為鉆孔穿越巖層的總層位數;i表示第i個鉆孔;λi為第i個鉆孔基于勒讓德多項式的誤差值;ti表示第i個鉆孔勒讓德變量值;Pn(ti)表示n階勒讓德多項式值。

由式(4)與式(9)可得到如下預測模型:

簡化式(12)，可得到:

則預測誤差值δ可進行如下計算:

式中，DL為預測鉆孔與某一個已知鉆孔間的直線距離。

3 預測模型可靠性驗證

3.1 基礎鉆孔資料

根據某鉛鋅礦床的ZK2201和ZK4201鉆孔數據，驗證預測模型的可靠性。兩鉆孔所揭露的巖層分布特征見表 1。ZK2201、ZK4201鉆孔和預測鉆孔ZK3201的位置關系如圖2所示。

表1 ZK 2201、ZK 4201鉆孔位置的巖層信息Table 1 Rock stratum information of ZK 2201 and ZK 4201 drilling hole

圖2 預測鉆孔與基礎鉆孔巖性及厚度對比Fig.2 Comparison of lithology and thickness between predicted borehole and base boreholes

3.2 待穿孔位置巖層特征信息預測

以待穿孔鉆孔位于ZK2201和ZK4201鉆孔正中間為例(該處實際存在ZK3201鉆孔，為驗證預測結果的可靠性，假定其巖層信息未知)，根據表1給出的已知鉆孔巖層特征信息，采用建立的模型預測待鉆鉆孔的巖層信息。

根據表1中各巖層的厚度，采用式(11)、式(12)、式(14)計算，可得到待穿孔處對應的巖層厚度誤差及對應的勒讓德多項式函數值見表2。

表2 待穿孔處對應誤差及勒讓德多項式函數值Table 2 Corresponding errors and Legendre polynomials function values at the hole to be drilled

對表2，根據式(11)取k=9，n=3(勒讓德階數)，建立矩陣關系式:

對式(15)求解，得到對應的回歸系數為a0=0.259 7，a1=0.118 4，a2=-0.131 4，a3=0.028 4。

根據計算式(13)得到的回歸系數，由預測模型建立待穿孔處的勒讓德基函數的誤差擬合多項式模型:

根據式(8)和表2，由式(16)可得到:

根據表1，取層段最小值為待預測層段數量，為9 個層段，即i=0，1，2，…，8。對式(18)賦予不同的值，每隔1層段將2次鉆孔數據進行一次比較，可計算出待穿孔位置處不同巖層的厚度。結合ZK2201鉆孔和ZK4201鉆孔巖性柱狀圖，根據表1及待穿孔處巖性預測結果，得到預測鉆孔與基礎鉆孔的巖性及其厚度對比如圖2所示。

3.3 預測結果

將待穿孔位置的巖性特征預測結果與該位置的實際鉆孔(ZK3201)巖性特征信息進行了對比，結果見表3。

表3 待穿孔位置巖性特征預測結果與實際ZK 3201鉆孔信息對比Table 3 Comparison of lithological feature prediction results of the position to be drilled with information of actual ZK 3201 drilling hole

由表3可知:預測的巖性厚度與標高分布與該處的實際鉆孔信息基本相同，預測結果與實際信息誤差相對較小，如圖3所示。

預測誤差大小與基礎鉆孔的數量、間距以及預測鉆孔與某一個已知鉆孔間的直線距離大小相關。由圖3可知:在本研究給定條件下，由于自然界巖體在空間展布上的不均勻性和復雜性，基礎鉆孔數量僅有2個且相距較遠，采用勒讓德多項式建立的鉆孔巖性預測模型對待預測位置處的鉆孔巖性進行預測，最大誤差為3.12%，總體誤差相對較小。在礦山實際穿孔作業中，當炮孔距離較小(一般為2.5～4.5 m)，且可利用的鉆孔信息較多時，本研究方法的預測誤差會進一步減小。采用本研究方法進行鉆孔巖性分布預測，在一定程度上可以滿足礦山穿孔作業需要。

4 結 論

(1)構建了基于勒讓德多項式的待鉆孔位置的巖性分布特征預測模型。該模型以勒讓德多項式為基礎，結合概率密度多項式函數逼近法，通過建立鉆孔信息與鉆孔距離之間的關系計算誤差范圍，在獲得兩個鉆孔數據的情況下，即可預測出兩個鉆孔間任意位置處待穿孔位置的巖層分布特征。

(2)采用礦山實際鉆探鉆孔信息數據驗證了所建預測模型的準確性。結果表明:預測最大誤差為3.12%，能夠滿足露天礦山穿孔作業對巖性預測的需要，有助于實現穿孔作業智能控制，提高鉆機穿孔效率。

(3)本研究構建的模型對于層狀分布的巖層(如煤系)有較好的適用性，但由于勒讓德多項式的局限性，后期仍需進一步優化模型，提高其普適性。